Pas de panique ! Tu n'as jamais mis le nez dans ce chapitre, mais tu as un contrôle bientôt. On va te donner l'essentiel pour reconnaître les figures et comprendre les bases, vite fait bien fait. Accroche-toi, on va à l'essentiel.
Prérequis : polygones et angles
Un polygone est une figure fermée formée de segments appelés côtés. Un triangle a 3 côtés et 3 sommets. Un quadrilatère en a 4.
Un angle se mesure en degrés (symbole °). Il se situe à un sommet, entre deux côtés.
Les triangles : trois types à retenir
- Équilatéral : 3 côtés de même longueur, 3 angles égaux (60°).
- Isocèle : au moins 2 côtés de même longueur. Les angles à la base sont égaux.
- Rectangle : un angle droit (90°), marqué par un petit carré.
N'importe quel triangle qui n'est ni équilatéral, ni isocèle, ni rectangle est dit quelconque.
Les quadrilatères : cinq familles
- Carré : 4 côtés égaux, 4 angles droits.
- Rectangle : 4 angles droits, côtés opposés égaux.
- Losange : 4 côtés égaux, angles pas forcément droits.
- Parallélogramme : côtés opposés parallèles et égaux.
- Trapèze : exactement une paire de côtés parallèles (les bases).
Le carré est à la fois un rectangle et un losange.
À toi de jouer
1. Complète le nom du triangle à partir de sa description.
a) Triangle ABC : AB = BC = 4 cm, AC = 5 cm. C'est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Triangle DEF : DE = EF = FD = 6 cm. C'est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Triangle GHI : $\widehat{H} = 90°$. C'est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
a) Triangle ABC : AB = BC = 4 cm, AC = 5 cm. C'est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Triangle DEF : DE = EF = FD = 6 cm. C'est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Triangle GHI : $\widehat{H} = 90°$. C'est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) isocèle (en B)
b) équilatéral
c) rectangle (en H)
b) équilatéral
c) rectangle (en H)
2. Observe les trois figures et écris sous chaque figure le nom du quadrilatère (carré, rectangle, losange).
Figure 1 :
Figure 1 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Figure 2 :
Figure 2 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Figure 3 :
Figure 3 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Figure 1 :
Figure 1 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Figure 2 :
Figure 2 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Figure 3 :
Figure 3 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Figure 1 : carré
Figure 2 : rectangle
Figure 3 : losange
Figure 2 : rectangle
Figure 3 : losange
3. Complète les phrases.
a) Un triangle qui a trois côtés de même longueur est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Un triangle qui a un angle droit est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur est un $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Un quadrilatère qui a une seule paire de côtés parallèles est un $\underline{\hspace{1.1em}}$.
a) Un triangle qui a trois côtés de même longueur est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Un triangle qui a un angle droit est un triangle $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Un quadrilatère qui a 4 angles droits et 4 côtés de même longueur est un $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Un quadrilatère qui a une seule paire de côtés parallèles est un $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) équilatéral
b) rectangle
c) carré
d) trapèze
b) rectangle
c) carré
d) trapèze
Ah, voilà que ça te revient ! On va remettre de l'ordre dans les propriétés et apprendre à calculer un angle manquant. Tu vas voir, c'est logique.
Rappel : propriétés des triangles
Les propriétés importantes à retenir :
- Triangle isocèle : les angles à la base sont égaux.
- Triangle équilatéral : tous les angles valent 60°.
- Triangle rectangle : un angle mesure 90°.
Somme des angles d'un triangle
Dans n'importe quel triangle, la somme des trois angles est toujours égale à 180°.
Si tu connais deux angles, tu trouves le troisième avec :
$\widehat{C} = 180° - \widehat{A} - \widehat{B}$
Méthode pour identifier un quadrilatère
1. Compte les paires de côtés parallèles : 0 → quelconque, 1 → trapèze, 2 → parallélogramme (ou un cas particulier).
2. Si c'est un parallélogramme, vérifie si tous les côtés sont égaux (losange) ou si les angles sont droits (rectangle).
3. S'il a les deux, c'est un carré.
4. Vérifie les diagonales : égales (rectangle, carré), perpendiculaires (losange, carré), de même milieu (tout parallélogramme).
À toi de jouer
1. Dans le triangle ABC, on donne $\widehat{A}=50°$ et $\widehat{B}=65°$. Calcule $\widehat{C}$ en complétant les trous.
La somme des angles d'un triangle est $\underline{\hspace{1.1em}}$°. Donc $\widehat{C} = \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
La somme des angles d'un triangle est $\underline{\hspace{1.1em}}$°. Donc $\widehat{C} = \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Corrigé
180
180, 50, 65
65
180, 50, 65
65
2. Triangle isocèle DEF, avec DE = DF et $\widehat{D}=40°$. Calcule $\widehat{E}$ et $\widehat{F}$ en remplissant les étapes.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Somme des angles : $\widehat{D} + \widehat{E} + \widehat{F} = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Donc $\widehat{E} + \widehat{F} = \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Comme $\widehat{E}=\widehat{F}$, chaque angle vaut $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Somme des angles : $\widehat{D} + \widehat{E} + \widehat{F} = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Donc $\widehat{E} + \widehat{F} = \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Comme $\widehat{E}=\widehat{F}$, chaque angle vaut $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Corrigé
égaux
180
180, 40, 140
140, 70
Ainsi $\widehat{E}=\widehat{F}=70°$.
180
180, 40, 140
140, 70
Ainsi $\widehat{E}=\widehat{F}=70°$.
3. Triangle GHI rectangle en G, avec $\widehat{H}=34°$. Complète pour trouver $\widehat{I}$.
$\widehat{G} = \underline{\hspace{1.1em}}°$ (angle droit).
$\widehat{I} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
$\widehat{G} = \underline{\hspace{1.1em}}°$ (angle droit).
$\widehat{I} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Corrigé
90
90, 34, 56
$\widehat{I}=56°$.
90, 34, 56
$\widehat{I}=56°$.
C'est parti pour 5 calculs d'angles quasi identiques. Tu vas voir, ça devient automatique.
À toi de jouer
1. 1) Triangle ABC : $\widehat{A}=45°$, $\widehat{B}=80°$. Calcule $\widehat{C}$.
$\widehat{C} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$
$\widehat{C} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
45, 80, 55
$\widehat{C}=55°$
$\widehat{C}=55°$
2. 2) Triangle DEF isocèle en D ($\widehat{D}=30°$). Calcule $\widehat{E}$ et $\widehat{F}$.
$\widehat{E}+\widehat{F} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$
$\widehat{E} = \widehat{F} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
$\widehat{E}+\widehat{F} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$
$\widehat{E} = \widehat{F} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
30, 150
150, 75
$\widehat{E}=\widehat{F}=75°$
150, 75
$\widehat{E}=\widehat{F}=75°$
3. 3) Triangle GHI rectangle en G, $\widehat{H}=27°$. Calcule $\widehat{I}$.
$\widehat{I} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$
$\widehat{I} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
90, 27, 63
$\widehat{I}=63°$
$\widehat{I}=63°$
4. 4) Triangle JKL : $\widehat{J}=62°$, $\widehat{K}=73°$. Calcule $\widehat{L}$ sans trou.
Corrigé
$\widehat{L} = 180° - 62° - 73° = 45°$
5. 5) Triangle MNO : $\widehat{M}=105°$, $\widehat{N}=30°$. Calcule $\widehat{O}$ sans trou.
Corrigé
$\widehat{O} = 180° - 105° - 30° = 45°$
Maintenant on passe aux exercices type contrôle. Tu vas justifier, rédiger, résoudre. Tout ce qu'il faut pour être prêt.
À toi de jouer
1. 1) Reconnaître les triangles : donne le type de chaque triangle (équilatéral, isocèle, rectangle ou quelconque) et justifie brièvement.
a) Triangle ABC : AB = BC = 7 cm, AC = 10 cm.
b) Triangle DEF : DE = EF = FD = 5 cm.
c) Triangle GHI : GH = 8 cm, HI = 6 cm, GI = 10 cm et on sait que $\widehat{H} = 90°$.
a) Triangle ABC : AB = BC = 7 cm, AC = 10 cm.
b) Triangle DEF : DE = EF = FD = 5 cm.
c) Triangle GHI : GH = 8 cm, HI = 6 cm, GI = 10 cm et on sait que $\widehat{H} = 90°$.
Corrigé
a) Isocèle en B (deux côtés égaux, AB = BC).
b) Équilatéral (trois côtés égaux).
c) Rectangle en H (un angle droit).
b) Équilatéral (trois côtés égaux).
c) Rectangle en H (un angle droit).
2. 2) Vrai ou Faux ? Si c'est faux, corrige l'affirmation.
a) Un losange a ses diagonales perpendiculaires.
b) Un rectangle est un parallélogramme particulier.
c) Un trapèze n'a aucun côté parallèle.
d) Un carré a des diagonales égales et perpendiculaires.
a) Un losange a ses diagonales perpendiculaires.
b) Un rectangle est un parallélogramme particulier.
c) Un trapèze n'a aucun côté parallèle.
d) Un carré a des diagonales égales et perpendiculaires.
Corrigé
a) Vrai.
b) Vrai.
c) Faux : un trapèze possède exactement une paire de côtés parallèles.
d) Vrai.
b) Vrai.
c) Faux : un trapèze possède exactement une paire de côtés parallèles.
d) Vrai.
3. 3) Calcule la mesure de l'angle manquant. Montre ton calcul.
a) Triangle ABC avec $\widehat{A}=40°$ et $\widehat{B}=85°$. Calcule $\widehat{C}$.
b) Triangle isocèle DEF, DE = DF, avec $\widehat{D}=55°$. Calcule $\widehat{E}$ et $\widehat{F}$.
c) Triangle GHI rectangle en G, $\widehat{H}=42°$. Calcule $\widehat{I}$.
a) Triangle ABC avec $\widehat{A}=40°$ et $\widehat{B}=85°$. Calcule $\widehat{C}$.
b) Triangle isocèle DEF, DE = DF, avec $\widehat{D}=55°$. Calcule $\widehat{E}$ et $\widehat{F}$.
c) Triangle GHI rectangle en G, $\widehat{H}=42°$. Calcule $\widehat{I}$.
Corrigé
a) $\widehat{C}=180°-40°-85°=55°$.
b) $\widehat{E}+\widehat{F}=180°-55°=125°$, donc $\widehat{E}=\widehat{F}=62,5°$.
c) $\widehat{I}=180°-90°-42°=48°$.
b) $\widehat{E}+\widehat{F}=180°-55°=125°$, donc $\widehat{E}=\widehat{F}=62,5°$.
c) $\widehat{I}=180°-90°-42°=48°$.
4. 4) Identifier une figure : ABCD est un quadrilatère tel que AB = CD = 4 cm, BC = AD = 7 cm, et les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu. Quelle est la nature de ABCD ? Justifie en citant les propriétés des côtés et des diagonales.
Corrigé
Les côtés opposés sont égaux deux à deux, donc ABCD est un parallélogramme. De plus, les diagonales se coupent en leur milieu, ce qui confirme qu'il s'agit d'un parallélogramme.
5. 5) Problème d'angles : dans le triangle ABC, les angles vérifient $\widehat{A}=2x$, $\widehat{B}=3x$ et $\widehat{C}=5x$.
a) Exprime la somme des angles en fonction de x.
b) Utilise la propriété de la somme des angles pour calculer x.
c) Déduis les mesures de $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.
d) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie.
a) Exprime la somme des angles en fonction de x.
b) Utilise la propriété de la somme des angles pour calculer x.
c) Déduis les mesures de $\widehat{A}$, $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.
d) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifie.
Corrigé
a) Somme = $2x+3x+5x=10x$.
b) $10x=180°$ donc $x=18°$.
c) $\widehat{A}=36°$, $\widehat{B}=54°$, $\widehat{C}=90°$.
d) $\widehat{C}=90°$, donc ABC est un triangle rectangle en C.
b) $10x=180°$ donc $x=18°$.
c) $\widehat{A}=36°$, $\widehat{B}=54°$, $\widehat{C}=90°$.
d) $\widehat{C}=90°$, donc ABC est un triangle rectangle en C.
Tu es chaud(e) ? Voici des exercices qui dépassent un peu le programme pour te préparer à la suite, avec des pourcentages, des quadrilatères mystères et un pentagone. À toi de jouer !
À toi de jouer
1. 1) Pourcentages et angles : Dans un triangle, l'angle $\widehat{A}$ mesure 20 % de la somme des angles d'un triangle, et l'angle $\widehat{B}$ mesure 50 % de cette même somme (rappel : somme = 180°).
a) Calcule $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$.
b) Déduis la mesure de $\widehat{C}$.
c) Quelle est la nature du triangle ?
a) Calcule $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$.
b) Déduis la mesure de $\widehat{C}$.
c) Quelle est la nature du triangle ?
Corrigé
a) $\widehat{A}=20\%\times 180° = 0,20\times 180° = 36°$ ; $\widehat{B}=50\%\times 180° = 90°$.
b) $\widehat{C}=180°-36°-90°=54°$.
c) Un angle droit en B, donc triangle rectangle en B.
b) $\widehat{C}=180°-36°-90°=54°$.
c) Un angle droit en B, donc triangle rectangle en B.
2. 2) Quadrilatère mystère : Dans le quadrilatère ABCD, on sait que $\widehat{A}=90°$, $\widehat{B}=70°$, et $\widehat{C}=\widehat{D}$.
a) Rappelle la somme des angles d'un quadrilatère.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{C}$.
c) Peut-il s'agir d'un trapèze rectangle ? Justifie.
a) Rappelle la somme des angles d'un quadrilatère.
b) Calcule la mesure de l'angle $\widehat{C}$.
c) Peut-il s'agir d'un trapèze rectangle ? Justifie.
Corrigé
a) La somme des angles d'un quadrilatère est 360°.
b) $360° - 90° - 70° = 200°$, donc $\widehat{C}=\widehat{D}=100°$.
c) Un trapèze rectangle possède au moins deux angles droits (côtés perpendiculaires aux bases). Ici un seul angle droit, donc ce n'est pas un trapèze rectangle.
b) $360° - 90° - 70° = 200°$, donc $\widehat{C}=\widehat{D}=100°$.
c) Un trapèze rectangle possède au moins deux angles droits (côtés perpendiculaires aux bases). Ici un seul angle droit, donc ce n'est pas un trapèze rectangle.
3. 3) Somme des angles d'un pentagone : Observe la figure (un pentagone découpé en trois triangles à partir d'un sommet).
a) En combien de triangles le pentagone est-il partagé ?
b) Déduis la somme des angles d'un pentagone quelconque.
c) Calcule la mesure d'un angle d'un pentagone régulier (tous les côtés et angles égaux).
a) En combien de triangles le pentagone est-il partagé ?
b) Déduis la somme des angles d'un pentagone quelconque.
c) Calcule la mesure d'un angle d'un pentagone régulier (tous les côtés et angles égaux).
Corrigé
a) 3 triangles.
b) $3 \times 180° = 540°$.
c) $540° \div 5 = 108°$.
b) $3 \times 180° = 540°$.
c) $540° \div 5 = 108°$.