Triangles et quadrilatères : propriétés

Reconnaître, nommer et utiliser les propriétés des principales figures planes du programme de 6e.

1 L'idée

Un polygone est une figure plane délimitée par des segments appelés côtés. Un triangle possède 3 côtés et 3 angles ; un quadrilatère en possède 4. Chaque figure est caractérisée par des propriétés précises portant sur ses côtés (longueurs, parallélisme, perpendicularité), ses angles et ses diagonales, qui permettent de l'identifier et de faire des calculs.

2 Triangles : types et propriétés

Équilatéral

$3 \text{ côtés égaux} \quad 3 \text{ angles égaux de } 60°$

Isocèle en S

$2 \text{ côtés égaux issus de } S \quad \text{angles à la base égaux}$

Rectangle

$\text{possède un angle droit } (90°)$

Somme des angles

$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$

3 Quadrilatères : types et propriétés

Carré : 4 côtés égaux, 4 angles droits ; diagonales égales, perpendiculaires et se coupant en leur milieu.
Rectangle : 4 angles droits ; côtés opposés égaux et parallèles ; diagonales égales se coupant en leur milieu.
Losange : 4 côtés égaux ; côtés opposés parallèles ; diagonales perpendiculaires se coupant en leur milieu.
Parallélogramme : côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales se coupant en leur milieu.
Trapèze : exactement une paire de côtés parallèles (les bases).

4 Calculer un angle manquant

Exemple

Dans le triangle $ABC$ : $\widehat{A} = 50°$ et $\widehat{B} = 75°$. Calculer $\widehat{C}$.

$\widehat{C} = 180° - 50° - 75° = 55°$

Méthode — identifier un quadrilatère

Compter les paires de côtés parallèles : 0 → quadrilatère quelconque ; 1 → trapèze ; 2 → parallélogramme (ou cas particulier).
Dans un parallélogramme, vérifier si les 4 côtés sont égaux (losange) ou si les angles sont droits (rectangle).
Un carré cumule les deux : 4 côtés égaux ET 4 angles droits.
Vérifier les diagonales : égales (rectangle ou carré), perpendiculaires (losange ou carré), de même milieu (tout parallélogramme et ses cas particuliers).

Erreurs fréquentes

Un carré est à la fois un rectangle ET un losange : il vérifie toutes leurs propriétés.
Un rectangle n'a pas (en général) ses diagonales perpendiculaires — c'est une propriété du losange.
La somme des angles d'un triangle est $180°$ ; celle d'un quadrilatère est $360°$.
Un triangle peut être à la fois isocèle et rectangle (ex. : angles $45°, 45°, 90°$).