Triangles et quadrilatères : propriétés

Les prérequis en 30 secondes

Un polygone, c'est une figure plane fermée tracée avec des segments : ces segments sont les côtés. Les coins s'appellent les sommets, et à chaque sommet se forme un angle.

Deux familles à connaître pour le contrôle :

• Le triangle : 3 côtés, 3 sommets, 3 angles.
• Le quadrilatère : 4 côtés, 4 sommets, 4 angles.

On nomme une figure par ses sommets, en tournant autour : un triangle $ABC$, un quadrilatère $ABCD$.

L'essentiel et la formule qui sauve

Chaque figure a un petit nom, selon ses côtés et ses angles. À retenir en mots simples :

• Triangles : équilatéral (tous les côtés égaux), isocèle (deux côtés égaux), rectangle (un angle droit).
• Quadrilatères : carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze.

La formule qui rapporte des points à tous les coups :

Dans un triangle, la somme des trois angles vaut toujours $180°$ : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.

Et pour un quadrilatère, la somme des quatre angles vaut $360°$.

Petit bonus : dans un triangle équilatéral, comme les trois angles sont égaux, chacun vaut $180°\div 3 = 60°$.

Un exemple entièrement traité

Énoncé. Dans le triangle $ABC$, on donne $\widehat{A}=50°$ et $\widehat{B}=75°$. Combien vaut $\widehat{C}$ ?

On applique la formule. La somme des angles vaut $180°$ :

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

On isole $\widehat{C}$ :

$\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$

On remplace :

$\widehat{C}=180°-50°-75°$

$\widehat{C}=180°-125°$

$\widehat{C}=55°$

Conclusion : l'angle $\widehat{C}$ mesure $55°$. (Vérif rapide : $50+75+55=180$. Ça tombe juste.)

Les triangles : définitions et types

Un triangle est un polygone à 3 côtés. Selon ses côtés et ses angles, il porte un nom précis :

• Triangle quelconque : aucun côté ni angle particulier.
• Triangle isocèle : deux côtés de même longueur. Le sommet où ces deux côtés se rejoignent est le sommet principal ; les deux angles à la base sont égaux.
• Triangle équilatéral : les trois côtés sont égaux, et les trois angles sont égaux, chacun valant $60°$.
• Triangle rectangle : il possède un angle droit ($90°$). On peut même avoir un triangle isocèle rectangle, avec des angles de $45°$, $45°$ et $90°$.

Propriété centrale, valable pour tous les triangles : $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.

Les quadrilatères : côtés, angles, diagonales

Un quadrilatère a 4 côtés. Pour le reconnaître, on regarde trois choses : ses côtés (longueurs, parallélisme), ses angles, et ses diagonales (les segments qui joignent deux sommets opposés).

• Carré : 4 côtés égaux et 4 angles droits ; diagonales égales, perpendiculaires, et qui se coupent en leur milieu.
• Rectangle : 4 angles droits ; côtés opposés égaux et parallèles ; diagonales égales qui se coupent en leur milieu.
• Losange : 4 côtés égaux ; côtés opposés parallèles ; diagonales perpendiculaires qui se coupent en leur milieu.
• Parallélogramme : côtés opposés parallèles et égaux ; diagonales qui se coupent en leur milieu.
• Trapèze : exactement une paire de côtés parallèles, appelés les bases.

À noter : la somme des angles d'un quadrilatère vaut $360°$.

Méthode pas-à-pas pour identifier un quadrilatère

Face à un quadrilatère, procède dans l'ordre :

1. Compte les paires de côtés parallèles. Aucune, c'est un quadrilatère quelconque ; une seule, c'est un trapèze ; deux, c'est un parallélogramme (ou un cas particulier).
2. Si c'est un parallélogramme, regarde de plus près. Les 4 côtés sont-ils égaux ? C'est un losange. Les angles sont-ils droits ? C'est un rectangle.
3. Les deux à la fois (4 côtés égaux ET 4 angles droits) : c'est un carré.
4. Vérifie avec les diagonales : égales (rectangle ou carré), perpendiculaires (losange ou carré), même milieu (tout parallélogramme).

Exemple. Un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles (deux paires) et ses 4 côtés de même longueur, mais aucun angle droit.

Deux paires de côtés parallèles : c'est un parallélogramme.

Ses 4 côtés sont égaux : c'est donc un losange.

Pas d'angle droit : ce n'est ni un rectangle, ni un carré. Réponse : losange.

Ensemble : un angle dans un triangle isocèle

On cherche les angles d'un triangle $ABC$ isocèle en $A$, sachant que $\widehat{A}=40°$.

« Isocèle en $A$ » veut dire que les deux côtés issus de $A$ sont égaux : $AB=AC$. Conséquence directe du cours : les angles à la base sont égaux, donc $\widehat{B}=\widehat{C}$.

J'écris la somme des angles :

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Je remplace $\widehat{A}$ par $40°$ :

$40°+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Donc les deux angles de la base valent ensemble :

$\widehat{B}+\widehat{C}=180°-40°=140°$

Comme ils sont égaux, je partage en deux :

$\widehat{B}=\widehat{C}=140°\div 2=70°$

Bilan : $\widehat{B}=\widehat{C}=70°$. (Contrôle : $40+70+70=180$.)

Ensemble : un angle dans un triangle rectangle

On cherche $\widehat{C}$ dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, avec $\widehat{B}=35°$.

« Rectangle en $A$ » signifie que l'angle en $A$ est droit : $\widehat{A}=90°$. C'est une donnée gratuite, pense à l'utiliser.

Somme des angles :

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

$90°+35°+\widehat{C}=180°$

$125°+\widehat{C}=180°$

$\widehat{C}=180°-125°=55°$

Bilan : $\widehat{C}=55°$. Astuce à retenir : dans un triangle rectangle, les deux angles non droits font toujours $90°$ à eux deux.

Ensemble : reconnaître une figure à partir d'indices

Situation. On te décrit un quadrilatère $ABCD$ : ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, ses 4 côtés mesurent la même longueur, et ses diagonales se coupent à angle droit. Quelle est sa nature ?

Je lis les indices un par un. Deux paires de côtés parallèles : au minimum un parallélogramme.

Les 4 côtés sont égaux : parmi les parallélogrammes, celui qui a 4 côtés égaux est le losange.

Je vérifie avec les diagonales : « perpendiculaires » (elles se coupent à angle droit) est justement la propriété des diagonales du losange. Tout concorde.

Rien ne dit que les angles sont droits, donc je ne peux pas conclure « carré ».

Réponse : $ABCD$ est un losange.

Les subtilités qui rapportent (et les pièges)

Le carré est un cas particulier. Un carré possède 4 angles droits (donc c'est un rectangle) et 4 côtés égaux (donc c'est un losange). Un carré est à la fois un rectangle ET un losange : il vérifie toutes leurs propriétés.

Ne confonds pas rectangle et losange. Les diagonales d'un rectangle sont égales mais, en général, pas perpendiculaires. La perpendicularité des diagonales, c'est la marque du losange.

Deux sommes à ne jamais mélanger : $180°$ pour un triangle, $360°$ pour un quadrilatère.

Le trapèze est exclusif : il a exactement une paire de côtés parallèles (s'il en avait deux, ce serait un parallélogramme).

Ce que le correcteur attend : à chaque affirmation, nomme la propriété (« car les diagonales sont perpendiculaires », « car la somme des angles vaut $180°$ »). Une réponse juste sans justification ne prend pas tous les points.

Problème type 1 : reconnaître par les diagonales

Énoncé. $ABCD$ est un quadrilatère. On sait que ses diagonales se coupent en leur milieu, qu'elles sont égales et perpendiculaires. Quelle est la nature exacte de $ABCD$ ? Justifie chaque étape.

Étape 1 : les diagonales se coupent en leur milieu, c'est la propriété commune à tous les parallélogrammes, donc $ABCD$ est un parallélogramme.

Étape 2 : de plus, les diagonales sont égales. Un parallélogramme dont les diagonales sont égales est un rectangle.

Étape 3 : les diagonales sont aussi perpendiculaires. Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

Étape 4 : $ABCD$ est donc à la fois un rectangle et un losange, c'est un carré.

Réponse rédigée : $ABCD$ est un carré, car ses diagonales sont à la fois de même milieu, égales et perpendiculaires.

Problème type 2 : prouver qu'un triangle est isocèle rectangle

Énoncé. Une équerre a la forme d'un triangle $ABC$ avec un angle droit en $A$ et un angle de $45°$ en $B$. Montre que ce triangle est isocèle rectangle.

Il est rectangle par hypothèse : $\widehat{A}=90°$.

Je calcule le troisième angle avec la somme $180°$ :

$\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=180°-90°-45°=45°$

Donc $\widehat{B}=\widehat{C}=45°$ : le triangle a deux angles égaux.

Un triangle qui a deux angles égaux a aussi deux côtés égaux (ceux situés en face de ces angles) : il est isocèle.

Conclusion : $ABC$ a un angle droit et deux angles égaux de $45°$, c'est bien un triangle isocèle rectangle.

D'où viennent le 180° et le 360° ?

Pourquoi la somme des angles d'un triangle vaut-elle $180°$ ? Voici l'idée que tu verras démontrée plus tard. Imagine que tu arraches les trois coins d'un triangle en papier et que tu les places côte à côte, pointe contre pointe. Surprise : ensemble, ils forment exactement un angle plat, c'est-à-dire une ligne droite. Or un angle plat mesure $180°$. Les trois angles réunis font donc bien $180°$.

Et le $360°$ du quadrilatère n'est pas un nouveau mystère : il découle du triangle. Trace une diagonale dans un quadrilatère : elle le coupe en deux triangles. Chaque triangle apporte $180°$, donc :

$180°+180°=360°$

C'est pour cela que la somme des angles d'un quadrilatère vaut toujours $360°$. Tu pourrais deviner de la même façon celle d'un pentagone (5 côtés) : trois triangles, soit $3\times 180°=540°$.

Les ponts avec les autres notions

Ce chapitre communique avec beaucoup d'autres :

• Droites parallèles et perpendiculaires : tout le vocabulaire des quadrilatères (côtés parallèles, angles droits, diagonales perpendiculaires) repose sur ces deux relations entre droites. Les revoir, c'est solidifier ce chapitre.
• Aires : une fois la figure reconnue, tu peux calculer son aire. L'aire du rectangle mène à celle du triangle et à celle d'autres figures ; reconnaître la figure est la première étape du calcul.
• Cercle et constructions : la règle et le compas servent à tracer précisément un triangle équilatéral, un losange, ou à reporter des longueurs égales.

Retiens l'idée générale : en géométrie, reconnaître une figure débloque toutes ses propriétés d'un coup, et donc tous les calculs qui vont avec.

La grande famille des quadrilatères (aperçu de l'an prochain)

Les quadrilatères ne sont pas cinq cases séparées : ils s'emboîtent. Le parallélogramme est le tronc commun (côtés opposés parallèles). Le rectangle et le losange en sont deux versions spécialisées, et le carré se trouve à l'intersection des deux : il est rectangle ET losange. Le trapèze, lui, reste à part, avec sa seule paire de côtés parallèles.

L'an prochain et après, tu ne te contenteras plus de constater ces propriétés : tu apprendras à les démontrer, en t'appuyant sur les angles formés par deux droites parallèles et sur la symétrie des figures. Le raisonnement « je sais que... donc j'en déduis que... » deviendra le cœur de la géométrie.

Garde cette carte de famille en tête : quand tu hésites sur une figure, remonte l'arbre du plus général (quadrilatère) au plus précis (carré).