Aire : rectangle, triangle, disque

Les prérequis en 30 secondes

Rien de vraiment neuf ne t'attend, juste des réflexes que tu possèdes déjà :

1. Tu sais multiplier deux nombres : $8 \times 5 = 40$. C'est déjà presque tout le travail.

2. Perpendiculaire = qui forme un angle droit (le coin bien carré d'une feuille).

3. Une aire se mesure en unités carrées : mm², cm², m², km². Le petit « ² » n'est pas décoratif : il dit « carré ».

4. Le rayon d'un disque, c'est la moitié de son diamètre : si $d = 8$ cm, alors $r = 8 \div 2 = 4$ cm.

Idée à garder en tête : calculer une aire, c'est répondre à « combien de carrés-unités tiennent dans la figure ? »

L'essentiel et les trois formules

L'aire d'une figure est la mesure de sa surface. Trois figures reviennent en 6e, trois formules à connaître par cœur :

Un exemple fait en entier

Un rectangle de longueur $L = 8$ cm et de largeur $l = 5$ cm. On veut son aire.

Et voilà ta première aire calculée. Le contrôle, c'est exactement cette démarche, répétée sur les trois figures.

Aire et périmètre : ne pas confondre

L'aire mesure une surface : la place occupée à l'intérieur de la figure. On l'exprime en unités carrées (mm², cm², m², km²).

Le périmètre, lui, mesure le contour : la longueur du tour de la figure. On l'exprime en unités de longueur simples (mm, cm, m, km), sans le « ² ».

Image utile : le périmètre, c'est la longueur de la clôture autour d'un champ ; l'aire, c'est la surface d'herbe à tondre à l'intérieur. Deux questions différentes, deux unités différentes.

Les trois formules et leurs dimensions

Rectangle. $A = L \times l$, où $L$ est la longueur et $l$ la largeur, ses deux côtés perpendiculaires. On multiplie simplement les deux.

Triangle. $A = \dfrac{b \times h}{2}$, où $b$ est une base (n'importe lequel des côtés) et $h$ la hauteur perpendiculaire à cette base. On multiplie la base par la hauteur, puis on divise par 2.

Disque. $A = \pi \times r^2 \approx 3{,}14 \times r^2$, où $r$ est le rayon. Le nombre $\pi$ (« pi ») vaut environ $3{,}14$. Si l'énoncé donne le diamètre $d$, commence toujours par $r = d \div 2$.

Attention à l'ordre pour le disque : on met d'abord le rayon au carré, puis on multiplie par $3{,}14$.

La méthode en quatre gestes

Quelle que soit la figure, la marche à suivre est toujours la même :

Un exemple éclair pour chaque figure, pour voir la méthode tourner :

Ensemble : l'aire d'un rectangle

On te donne un rectangle de longueur $L = 12$ m et de largeur $l = 7$ m. On calcule son aire pas à pas.

Remarque le réflexe : j'écris d'abord la formule, puis je remplace, puis je calcule, puis je pose l'unité. Quatre lignes propres, zéro panique.

Ensemble : l'aire d'un triangle

Un triangle de base $b = 6$ cm, avec une hauteur $h = 4$ cm perpendiculaire à cette base. Le piège classique t'attend : la hauteur, c'est bien le trait perpendiculaire, pas le côté penché.

Sur la figure, repère bien le petit carré d'angle droit : c'est lui qui désigne la hauteur à utiliser.

Ensemble : l'aire d'un disque

Deux cas, parce que l'énoncé peut te donner le rayon ou le diamètre.

La seule difficulté du disque tient dans ces deux réflexes : passer du diamètre au rayon, et mettre le rayon au carré avant de multiplier par $3{,}14$.

Les pièges classiques et ce que le correcteur attend

Ce que le correcteur veut voir, dans cet ordre : la formule écrite, puis les valeurs remplacées, puis le résultat avec l'unité carrée. Trois lignes propres rapportent plus qu'un nombre posé tout seul, même juste.

Dernier réflexe qui rassure : une aire est toujours en unités carrées. Si tu obtiens des « cm » tout court, c'est qu'il y a une erreur quelque part.

Problème type entièrement résolu — figure composée

Voici un pignon de maison : un rectangle surmonté d'un triangle (le toit). Le rectangle mesure $6$ m de large et $4$ m de haut ; le triangle a pour base $6$ m et pour hauteur $3$ m. Quelle est l'aire totale de la façade ?

La façade a une aire de $33 \ \text{m}^2$. Note bien : on additionne les aires seulement parce qu'elles sont dans la même unité (des m²).

Problème type — le disque et le piège du diamètre

Une table ronde a un diamètre de $8$ dm. On veut l'aire de son plateau. C'est le piège du disque : on te donne le diamètre, jamais le rayon tout cuit.

Le plateau a une aire d'environ $50{,}24 \ \text{dm}^2$. Si tu avais oublié de diviser le diamètre par 2, tu aurais trouvé $3{,}14 \times 64 = 200{,}96$ : quatre fois trop grand. C'est l'erreur que le correcteur guette en premier.

Pourquoi ces formules ? Une idée de justification

Le triangle, c'est un demi-rectangle. Prends un triangle rectangle et complète-le pour en faire un rectangle de dimensions $b$ (base) sur $h$ (hauteur) : le triangle en occupe exactement la moitié. Comme l'aire du rectangle est $b \times h$, celle du triangle est $\dfrac{b \times h}{2}$. C'est de là que vient la division par 2, et l'idée se généralise à n'importe quel triangle.

Le disque et le nombre $\pi$. Le nombre $\pi$ vaut environ $3{,}14$ (plus précisément $3{,}14159\ldots$, avec une infinité de décimales). On admet la formule $A = \pi \times r^2$ en 6e, mais l'idée est jolie : si on découpe le disque en très fines parts et qu'on les range en alternance, on obtient une figure presque rectangulaire dont l'aire s'approche de $\pi \times r^2$.

Les notions voisines et les prolongements

Ces formules ne vivent pas seules, elles s'accrochent à d'autres notions :

• Le périmètre du cercle se calcule aussi avec $\pi$ : $P = \pi \times d$, c'est-à-dire $2 \times \pi \times r$. Même nombre $\pi$, mais pour le contour cette fois, pas la surface.
• Les conversions d'aires. Attention, elles ne marchent pas comme les longueurs : $1 \ \text{m}^2 = 10\,000 \ \text{cm}^2$ (et non 100), parce qu'on convertit dans les deux dimensions à la fois.
• Les figures composées. On additionne ou on soustrait des aires connues pour traiter n'importe quelle forme, comme dans le problème du pignon.

Autrement dit, les trois formules de 6e sont des briques : bien maîtrisées, elles servent partout ensuite.

L'an prochain : de la surface au volume

Cette année, tu comptes des carrés pour mesurer une surface (2 dimensions, unités en cm²). L'étape suivante, ce sont les volumes : on comptera des cubes pour mesurer l'espace occupé par un solide (3 dimensions, unités en cm³).

Par exemple, l'aire du rectangle $A = L \times l$ deviendra le volume du pavé droit $V = L \times l \times h$ : on ajoute simplement une troisième mesure. Et le disque que tu connais servira plus tard à trouver le volume d'un cylindre.

Retiens surtout la logique : d'abord la longueur (une dimension, cm), puis l'aire (deux dimensions, cm²), puis le volume (trois dimensions, cm³). Tu viens de poser la marche du milieu, la plus utile.