Contrôle demain et tu découvres le chapitre ce soir ? Respire. Les durées, c'est juste des maths qui refusent de compter en base 10 comme tout le monde : elles comptent par 60. Une fois que tu tiens ce détail, tout tombe. On voit l'essentiel, vite et sans panique.
Ce qu'il te faut déjà savoir
Rien de neuf, juste deux réflexes que tu as déjà :
1. Savoir multiplier et diviser des nombres entiers.
2. Comprendre la division euclidienne : quand tu divises, tu obtiens un quotient (le résultat entier) et un reste (ce qui n'a pas pu être partagé). Par exemple $155 = 2 \times 60 + 35$ : le quotient est $2$ et le reste est $35$.
Avec ça, tu as tout pour attaquer.
L'essentiel en mots simples
Une durée, c'est le temps écoulé entre un début et une fin.
Le piège : le temps ne se compte pas en base 10. Il faut $60$ secondes pour faire $1$ minute, et $60$ minutes pour faire $1$ heure. On appelle ça le système sexagésimal (compter par 60).
Les correspondances à connaître par cœur :
$1 \text{ min} = 60 \text{ s}$ · $1 \text{ h} = 60 \text{ min}$ · $1 \text{ h} = 3\,600 \text{ s}$ · $1 \text{ j} = 24 \text{ h}$
La règle d'or : pour calculer, on met toutes les durées dans la même unité. Pour descendre d'un cran (h vers min, min vers s) on multiplie par 60 ; pour remonter (s vers min, min vers h) on divise par 60.
Un exemple du début à la fin
Convertir $2 \text{ h } 35 \text{ min}$ en minutes.
On transforme d'abord les heures en minutes (on multiplie par 60) :
$2 \text{ h} = 2 \times 60 = 120 \text{ min}$
Puis on ajoute les 35 minutes qui étaient déjà là :
$120 + 35 = 155 \text{ min}$
Donc $2 \text{ h } 35 \text{ min} = 155 \text{ min}$. Voilà, c'est exactement le geste que le contrôle attend.
Ah oui, la base 60, ça revient. En vrai tu la connais depuis toujours : ta montre compte comme ça. Reprenons le cours proprement, sans trou, pour que plus rien ne te surprenne.
La définition propre
Une durée mesure le temps écoulé entre deux instants : un début et une fin.
La différence essentielle avec les longueurs ou les masses : les durées ne sont pas décimales. En base 10, il faut $10$ unités pour faire une dizaine. Ici, il faut $60$ secondes pour faire une minute et $60$ minutes pour faire une heure : c'est le système sexagésimal (base 60).
Conséquence directe : on ne peut pas additionner des heures et des minutes comme des dizaines et des unités. Il faut toujours ramener chaque valeur à la même unité avant de calculer, ou bien poser les nombres en colonnes.
Les correspondances à connaître par cœur
Ce sont les quatre égalités qui débloquent tous les calculs :
$1 \text{ min} = 60 \text{ s}$
$1 \text{ h} = 60 \text{ min}$
$1 \text{ h} = 3\,600 \text{ s}$ (car $60 \times 60 = 3\,600$)
$1 \text{ j} = 24 \text{ h}$
Retiens-les vraiment : sans elles, impossible de convertir quoi que ce soit.
Convertir dans les deux sens
Convertir, c'est passer d'une unité à une autre. Il y a deux sens, et donc deux gestes opposés.
Sens 1 — vers la plus petite unité : on MULTIPLIE par 60.
Exemple A — convertir $2 \text{ h } 35 \text{ min}$ en minutes.
$2 \text{ h} = 2 \times 60 = 120 \text{ min}$
$2 \text{ h } 35 \text{ min} = 120 + 35 = 155 \text{ min}$
Sens 2 — vers la plus grande unité : on DIVISE par 60 (division euclidienne).
Exemple B — exprimer $155 \text{ min}$ en heures et minutes.
On divise $155$ par $60$ : $155 = 2 \times 60 + 35$.
Le quotient $2$ donne les heures, le reste $35$ donne les minutes : $155 \text{ min} = 2 \text{ h } 35 \text{ min}$.
À retenir : $\times 60$ pour descendre, $\div 60$ pour remonter.
Maintenant on prend le crayon ensemble. Je rédige, tu suis chaque ligne. Trois exemples types, entièrement traités : regarde comment on pose, comment on gère les retenues, comment on écrit le résultat.
Exemple 1 — des minutes vers heures et minutes
Convertir $200 \text{ min}$ en heures et minutes.
On cherche combien de fois $60$ minutes tiennent dans $200$ : c'est une division euclidienne par $60$.
$3 \times 60 = 180$, et il reste $200 - 180 = 20$. Donc $200 = 3 \times 60 + 20$.
Le quotient $3$ donne les heures, le reste $20$ donne les minutes.
Donc $200 \text{ min} = 3 \text{ h } 20 \text{ min}$.
Attention au piège : surtout pas $3 \text{ h } 33 \text{ min}$ ! Le $0{,}33$ que peut afficher une calculatrice n'est pas $33$ minutes. On garde toujours le reste de la division, ici $20$.
Exemple 2 — additionner deux durées en colonnes
Calculer $1 \text{ h } 45 \text{ min} + 2 \text{ h } 30 \text{ min}$.
On pose en colonnes : les heures sous les heures, les minutes sous les minutes.
Colonne des minutes : $45 + 30 = 75 \text{ min}$.
Or $75 \ge 60$ : on ne peut pas laisser ça. On convertit : $75 = 60 + 15$, c'est-à-dire $1 \text{ h } 15 \text{ min}$. On garde $15$ min et on reporte $+1$ h dans la colonne des heures.
Colonne des heures : $1 + 2 + 1 = 4 \text{ h}$ (le $+1$ est le report).
Donc $1 \text{ h } 45 \text{ min} + 2 \text{ h } 30 \text{ min} = 4 \text{ h } 15 \text{ min}$.
Jamais $3 \text{ h } 75 \text{ min}$ : une durée bien écrite n'a pas 60 minutes ou plus dans sa colonne.
Exemple 3 — tout convertir en secondes
Convertir $1 \text{ h } 20 \text{ min } 30 \text{ s}$ en secondes.
On transforme chaque morceau en secondes, puis on additionne le tout.
Les heures : $1 \text{ h} = 3\,600 \text{ s}$.
Les minutes : $20 \text{ min} = 20 \times 60 = 1\,200 \text{ s}$.
Les secondes : il reste $30 \text{ s}$ telles quelles.
On additionne : $3\,600 + 1\,200 + 30 = 4\,830 \text{ s}$.
Donc $1 \text{ h } 20 \text{ min } 30 \text{ s} = 4\,830 \text{ s}$.
Niveau contrôle : les énoncés parlent de trains, de films, de recettes. La technique reste la même, mais le correcteur regarde les détails. On blinde les points qui font gagner (ou perdre) les points.
Le problème type — calculer une heure d'arrivée
Énoncé : un film commence à $20 \text{ h } 45$ et dure $2 \text{ h } 35 \text{ min}$. À quelle heure se termine-t-il ?
On additionne l'heure de début et la durée, en colonnes.
Colonne des minutes : $45 + 35 = 80 \text{ min}$.
Or $80 \ge 60$ : on convertit. $80 = 60 + 20$, soit $1 \text{ h } 20 \text{ min}$. On garde $20$ min et on reporte $+1$ h.
Colonne des heures : $20 + 2 + 1 = 23 \text{ h}$ (le $+1$ est le report).
Le film se termine à $23 \text{ h } 20$. On répond par une phrase, avec l'unité, comme le veut le correcteur.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
Écris toujours les unités. On note $155 \text{ min}$, pas $155$ tout seul. Une durée sans unité, c'est un résultat incomplet.
Ne laisse jamais une colonne $\ge 60$. $3 \text{ h } 75 \text{ min}$ doit devenir $4 \text{ h } 15 \text{ min}$ ; $1 \text{ h } 80 \text{ min}$ devient $2 \text{ h } 20 \text{ min}$. La retenue n'est pas optionnelle.
Piège décimal. $1 \text{ h } 30 \text{ min} \neq 1{,}30 \text{ h}$. Une heure et demie s'écrit $1{,}5 \text{ h}$, car $30 \text{ min} = 0{,}5 \text{ h}$. Le « $30$ » après la virgule n'a rien à voir avec 30 minutes.
Piège de conversion. $200 \text{ min} \neq 3 \text{ h } 33 \text{ min}$. On prend le reste de la division ($20$), pas les décimales d'une calculatrice : $200 \text{ min} = 3 \text{ h } 20 \text{ min}$.
Montre ton report. Le correcteur veut voir la ligne $80 = 60 + 20$, pas seulement le résultat final. C'est cette ligne qui prouve que tu maîtrises la base 60.
Tu maîtrises ? Alors regarde par-dessus le mur du programme. La base 60 n'est pas un caprice des maths : elle raconte une vieille histoire, elle se cache ailleurs qu'en géométrie du temps, et elle prépare des chapitres à venir.
Pourquoi diviser par 60 fonctionne vraiment
Passer des minutes aux heures et minutes, c'est exactement faire une division euclidienne par $60$.
Quand tu écris $155 = 2 \times 60 + 35$, le nombre de fois que $60$ « rentre » (le quotient, ici $2$) donne les heures, et ce qui reste (le reste, ici $35$) donne les minutes.
Le reste d'une division par $60$ est toujours compris entre $0$ et $59$. C'est précisément pour cette raison qu'une durée bien écrite n'a jamais $60$ minutes ou plus dans sa colonne : le mécanisme de la division te l'interdit tout seul.
Autrement dit, la division euclidienne que tu vois par ailleurs en 6e est l'outil caché derrière chaque conversion de durée.
La base 60 est partout : les angles
La même base 60 sert aussi à mesurer les angles : $1$ degré se découpe en $60$ minutes d'angle, et $1$ minute d'angle en $60$ secondes d'angle (on note $1° = 60'$ et $1' = 60''$, donc $1° = 3\,600''$ car $60 \times 60 = 3\,600$).
Cette façon de compter par 60 vient de très loin : les Babyloniens, il y a plus de 4000 ans, comptaient déjà ainsi. C'est un peu pour ça que nos montres et nos boussoles se ressemblent : elles partagent le même vieux réflexe de couper en 60.
Quand tu retrouveras les degrés, minutes et secondes plus tard, tu reconnaîtras la mécanique des durées.
L'an prochain : durées et vitesse
Au collège, tu croiseras la vitesse : elle relie une distance et une durée (par exemple des kilomètres et des heures).
Pour ces calculs, on a souvent besoin d'écrire une durée en heures « décimales ». C'est là que le piège du contrôle revient : $1 \text{ h } 30 \text{ min}$ devient $1{,}5 \text{ h}$ (et surtout pas $1{,}30 \text{ h}$).
Tu retrouveras aussi les durées dans la proportionnalité (tableaux, règle de trois) et dans la lecture de graphiques. Bref, ce petit chapitre en base 60 va te suivre longtemps : autant le tenir solide dès maintenant.