Pas de panique : tu n'as jamais vraiment fait ces conversions, mais le contrôle arrive. Bonne nouvelle, tout tient dans une seule idée : entre deux unités voisines, on multiplie ou on divise par 10. Voici le minimum vital, en clair et sans stress.
Les prérequis et l'essentiel en 3 minutes
Prérequis. Savoir multiplier et diviser un nombre par 10, 100, 1000 (cela revient à déplacer la virgule) et lire un nombre décimal. C'est tout.
L'idée en une phrase. Pour mesurer une grandeur, on choisit une unité adaptée. Il existe trois familles d'unités : les longueurs (unité de base : le mètre), les masses (le gramme) et les contenances (le litre). Dans chaque famille, deux unités voisines sont dans un rapport de 10.
Convertir, c'est écrire la même mesure avec une autre unité, sans changer la quantité réelle : seul le nombre change, pas ce que tu mesures.
Les trois échelles, de la plus grande unité (à gauche) à la plus petite (à droite) :
- Longueurs : $\text{km}$ | $\text{hm}$ | $\text{dam}$ | $\text{m}$ | $\text{dm}$ | $\text{cm}$ | $\text{mm}$
- Masses : $\text{kg}$ | $\text{hg}$ | $\text{dag}$ | $\text{g}$ | $\text{dg}$ | $\text{cg}$ | $\text{mg}$
- Contenances : $\text{kL}$ | $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$
La règle clé. Chaque échelon franchi vaut $\times 10$ ou $\div 10$ :
vers une unité plus petite (on se déplace vers la droite) : on multiplie ; pour $n$ échelons, $\times 10^n$.
vers une unité plus grande (on se déplace vers la gauche) : on divise ; pour $n$ échelons, $\div 10^n$.
Repère express : 1 échelon $\to \times 10$, 2 échelons $\to \times 100$, 3 échelons $\to \times 1000$.
Un exemple fait en entier
Convertir 4,7 km en mètres.
Étape 1 : je repère les deux unités et je compte les échelons. De km à m : km $\to$ hm $\to$ dam $\to$ m, soit 3 échelons vers la droite.
Étape 2 : vers la droite = unité plus petite = je multiplie. 3 échelons, donc $\times 10^3 = \times 1000$.
Étape 3 : je calcule. $4{,}7 \times 1000 = 4700$.
Réponse : $4{,}7 \text{ km} = 4700 \text{ m}$.
Contrôle de bon sens : le mètre est plus petit que le kilomètre, il en faut donc davantage ; le nombre a bien grandi (4,7 devient 4700). C'est cohérent.
Ça y est, ça te revient. On reprend proprement : les vraies définitions, les trois tableaux, et une méthode que tu pourras dérouler à chaque fois sans réfléchir.
Les définitions propres
Grandeur. Ce que l'on mesure : une longueur, une masse, une contenance.
Mesure et unité. Mesurer une grandeur, c'est la comparer à une unité et dire combien de fois elle la contient. On écrit toujours le résultat sous la forme nombre suivi de l'unité, par exemple $3{,}5 \text{ kg}$.
Convertir. Exprimer la même mesure dans une autre unité. La grandeur réelle ne change pas : c'est seulement son écriture (le nombre et l'unité) qui change. $1 \text{ m}$ et $100 \text{ cm}$ désignent exactement la même longueur.
Les trois tableaux et la règle de l'escalier
Chaque famille possède son échelle d'unités, rangées de la plus grande (à gauche) à la plus petite (à droite). Entre deux colonnes voisines, le rapport est toujours de 10.
- Longueurs : $\text{km}$ | $\text{hm}$ | $\text{dam}$ | $\text{m}$ | $\text{dm}$ | $\text{cm}$ | $\text{mm}$
- Masses : $\text{kg}$ | $\text{hg}$ | $\text{dag}$ | $\text{g}$ | $\text{dg}$ | $\text{cg}$ | $\text{mg}$
- Contenances : $\text{kL}$ | $\text{hL}$ | $\text{daL}$ | $\text{L}$ | $\text{dL}$ | $\text{cL}$ | $\text{mL}$
La tonne. Pour les très grandes masses, on ajoute la tonne, avec $1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$.
La règle de l'escalier (voir figure) : chaque marche descendue vers la droite multiplie par 10 (l'unité devient plus petite, le nombre grandit) ; chaque marche remontée vers la gauche divise par 10 (l'unité devient plus grande, le nombre diminue).
La méthode pas-à-pas et les deux directions
Méthode en 3 étapes.
1. Repérer les deux unités dans la bonne famille et compter le nombre $n$ d'échelons qui les séparent.
2. Choisir la direction : vers une unité plus petite (droite) $\to \times 10^n$ ; vers une unité plus grande (gauche) $\to \div 10^n$.
3. Effectuer le calcul : multiplier ou diviser par 10, 100, 1000... revient simplement à déplacer la virgule.
Exemple 1 — 3500 g en kg.
De g à kg : g $\to$ dag $\to$ hg $\to$ kg, soit 3 échelons vers la gauche (unité plus grande).
Vers la gauche : je divise, par $10^3 = 1000$.
$3500 \div 1000 = 3{,}5$.
$3500 \text{ g} = 3{,}5 \text{ kg}$.
Exemple 2 — 0,25 L en cL.
De L à cL : L $\to$ dL $\to$ cL, soit 2 échelons vers la droite (unité plus petite).
Vers la droite : je multiplie, par $10^2 = 100$.
$0{,}25 \times 100 = 25$.
$0{,}25 \text{ L} = 25 \text{ cL}$.
On enchaîne trois conversions ensemble, ligne par ligne. À chaque étape, pose-toi la question : est-ce que je vais vers une unité plus petite (je multiplie) ou plus grande (je divise) ? Rien à faire seul ici, on déroule à deux.
On le fait ensemble : 2,5 km en m (attention aux zéros)
2,5 km en m.
On repère les unités : km et m, dans la famille des longueurs.
On compte les échelons : km $\to$ hm $\to$ dam $\to$ m. Ça fait 3 échelons (et pas 2 !), vers la droite.
Vers la droite = unité plus petite = on multiplie, par $10^3 = 1000$.
$2{,}5 \times 1000 = 2500$.
$2{,}5 \text{ km} = 2500 \text{ m}$.
Le piège classique : croire que km $\to$ m fait 2 échelons et écrire 250. Non : il y a hm et dam entre les deux, donc 3 échelons, donc 2500.
On le fait ensemble : 3500 g en kg
3500 g en kg.
Famille des masses. On compte de g vers kg : g $\to$ dag $\to$ hg $\to$ kg, soit 3 échelons vers la gauche.
Vers la gauche = unité plus grande = on divise, par $10^3 = 1000$.
$3500 \div 1000 = 3{,}5$.
$3500 \text{ g} = 3{,}5 \text{ kg}$.
Astuce visuelle : on range 3500 dans le tableau, le chiffre des unités (le dernier 0) dans la colonne des g ; on lit ensuite jusqu'à la colonne des kg, et la virgule se pose juste après cette colonne. On obtient 3,5 (voir figure).
On le fait ensemble : 0,25 L en cL
0,25 L en cL.
Famille des contenances. De L à cL : L $\to$ dL $\to$ cL, soit 2 échelons vers la droite.
Vers la droite = unité plus petite = on multiplie, par $10^2 = 100$.
$0{,}25 \times 100 = 25$.
$0{,}25 \text{ L} = 25 \text{ cL}$.
Contrôle de bon sens : le cL est plus petit que le L, il en faut donc davantage ; 0,25 devient 25, le nombre a grandi, c'est logique.
Niveau contrôle. Ici on ne convertit plus pour convertir : on résout des problèmes concrets où la conversion n'est qu'une étape. Le correcteur veut voir la même unité partout AVANT de comparer, additionner ou diviser, et l'unité écrite dans la réponse.
Les subtilités et les pièges à éviter
- Plus petite unité, plus grand nombre. Passer à une unité plus petite fait grandir le nombre : $5 \text{ m} = 500 \text{ cm}$, et surtout pas $0{,}05 \text{ cm}$.
- Compter tous les échelons. $3 \text{ km} = 3000 \text{ m}$ (3 échelons), pas $300 \text{ m}$. N'oublie aucun zéro.
- Ne pas mélanger les familles. On ne convertit pas des grammes avec le tableau des longueurs : chaque grandeur a sa propre échelle.
- Même unité avant tout calcul. Pour additionner, soustraire ou comparer deux mesures, il faut d'abord les écrire dans la même unité.
Ce que le correcteur attend : la conversion posée (échelons et direction, ou tableau), le calcul visible, et la réponse avec son unité. Un résultat sans unité est compté faux.
Problème résolu 1 — remplir des verres
Énoncé. Une bouteille contient $1{,}5 \text{ L}$ de jus. On sert des verres de $25 \text{ cL}$. Combien de verres pleins peut-on servir ?
Étape 1 — même unité. Les deux mesures ne sont pas dans la même unité : on convertit tout en cL. De L à cL, 2 échelons vers la droite, donc $\times 100$.
$1{,}5 \times 100 = 150$ : la bouteille contient $150 \text{ cL}$.
Étape 2 — on divise pour savoir combien de fois $25 \text{ cL}$ tiennent dans $150 \text{ cL}$.
$150 \div 25 = 6$.
Réponse : on peut servir 6 verres pleins.
Ce que le correcteur regarde : la conversion en cL AVANT la division, et l'unité (des verres) dans la conclusion.
Problème résolu 2 — additionner des longueurs
Énoncé. Pour un bricolage, on met bout à bout une planche de $2{,}4 \text{ m}$ et une chute de $85 \text{ cm}$. Quelle est la longueur totale, en mètres ?
Étape 1 — même unité. On convertit en cm. Pour $2{,}4 \text{ m}$ : de m à cm, 2 échelons vers la droite, $\times 100$, donc $2{,}4 \times 100 = 240 \text{ cm}$.
Étape 2 — on additionne les deux longueurs, maintenant toutes deux en cm.
$240 + 85 = 325$, soit $325 \text{ cm}$.
Étape 3 — la question demande des mètres. De cm à m, 2 échelons vers la gauche, $\div 100$, donc $325 \div 100 = 3{,}25$.
Réponse : la longueur totale est $3{,}25 \text{ m}$.
Piège évité : additionner $2{,}4 + 85$ directement donnerait $87{,}4$, ce qui n'a aucun sens (on ajouterait des mètres à des centimètres). Toujours la même unité d'abord (voir figure).
Tu maîtrises les conversions en ligne. Voyons où ça mène : dès la 5e et la 4e, la même idée d'échelle sert pour les aires, les volumes, les durées et les puissances de 10. Petit tour d'horizon pour prendre de l'avance.
Après les longueurs : les aires et les volumes
Une longueur se convertit d'échelon en échelon par $\times 10$. Mais pour une aire (une surface), chaque échelon vaut $\times 100$, et pour un volume, chaque échelon vaut $\times 1000$.
Pourquoi ? Regarde un carré de $1 \text{ m}$ de côté. Comme $1 \text{ m} = 10 \text{ dm}$, on peut le découper en $10 \times 10 = 100$ petits carrés de $1 \text{ dm}$ de côté. Donc $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$ : un échelon d'aire, c'est $\times 100$ (voir figure).
De la même façon, un cube de $1 \text{ m}$ d'arête se découpe en $10 \times 10 \times 10 = 1000$ petits cubes de $1 \text{ dm}$ : $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3$.
Le pont entre contenances et volumes
Les contenances et les volumes sont deux manières de mesurer la même chose : la place occupée. Le lien officiel à retenir est $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$.
On en déduit $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ L}$, et aussi $1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3$. C'est pour cette raison qu'une petite seringue peut être graduée en mL comme en cm³.
Vers la 5e, la 4e et au-delà
Les puissances de 10. Tu as écrit $\times 1000 = \times 10^3$. Cette écriture en puissances de 10 se généralise en 4e : elle sert à manipuler les très grands et les très petits nombres, et à comprendre d'où viennent les préfixes (kilo, hecto, déci, centi, milli...).
Toutes les grandeurs ne sont pas décimales. Attention : les durées ne se convertissent pas en base 10 ! Là, $1 \text{ h} = 60 \text{ min}$ et $1 \text{ min} = 60 \text{ s}$ : on change de base. C'est le sujet d'une autre fiche.
Une idée de justification à garder. Si tu as compris pourquoi un échelon d'aire vaut $\times 100$ (le carré découpé en $10 \times 10$), tu tiens déjà la clé : il suffit de compter les dimensions de la grandeur (longueur = 1, aire = 2, volume = 3) et d'élever 10 à cette puissance. Rien à apprendre par cœur.