Périmètre d'un polygone et d'un cercle

Ce qu'il faut savoir avant de commencer

Bonne nouvelle : tu as déjà presque tout ce qu'il faut.

• Savoir additionner des nombres (parfois des nombres décimaux).
• Savoir multiplier, car certaines formules utilisent la multiplication.
• Reconnaître un côté d'une figure, et savoir que le carré, le rectangle et le triangle ont des côtés droits.
• Écrire une longueur avec son unité : mm, cm, m, km.

L'idée à retenir, en une phrase : le périmètre, c'est la longueur du contour d'une figure, c'est-à-dire la longueur du trait qui en fait tout le tour.

Comme c'est une longueur, la réponse s'écrit toujours avec une unité de longueur (cm, m...), jamais en centimètres carrés.

Les formules à recopier sur ta feuille

Voici les seules formules dont tu as besoin. Recopie-les, elles font gagner un temps fou.

• Figure à côtés droits (polygone) : on additionne tous les côtés, $P = a + b + c + \cdots$
• Carré de côté $c$ : $P = 4 \times c$
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ : $P = 2 \times (L + l)$
• Cercle quand on connaît le rayon $r$ : $P = 2 \times \pi \times r$
• Cercle quand on connaît le diamètre $d$ : $P = \pi \times d$

Le nombre $\pi$ (on dit « pi ») vaut à peu près $3{,}14$. Retiens aussi que le diamètre, c'est deux fois le rayon : $d = 2 \times r$.

Un exemple déroulé en entier

On calcule le périmètre d'un rectangle de longueur $8$ cm et de largeur $3$ cm.

Étape 1. Je repère la figure : c'est un rectangle, j'utilise $P = 2 \times (L + l)$.

Étape 2. Je remplace : $L = 8$ et $l = 3$, donc $P = 2 \times (8 + 3)$.

Étape 3. Je calcule d'abord la parenthèse : $8 + 3 = 11$.

Étape 4. Puis la multiplication : $P = 2 \times 11 = 22$.

Étape 5. J'écris la réponse avec l'unité : $P = 22$ cm.

Et voilà, rien de plus. Le tour du rectangle mesure $22$ cm.

Les définitions propres

Le périmètre d'une figure plane est la longueur totale de son contour. C'est une longueur, donc on l'exprime en mm, cm, m ou km selon le contexte.

Un polygone est une figure fermée dont les côtés sont des segments (des traits droits) : triangle, carré, rectangle, pentagone... Son contour est fait de côtés, alors on les additionne.

Un cercle est la courbe fermée dont tous les points sont à la même distance d'un point appelé le centre. Cette distance est le rayon $r$. Le diamètre $d$ est un segment qui traverse le cercle en passant par le centre : il vaut deux fois le rayon, $d = 2 \times r$.

Le contour d'un cercle ne peut pas s'additionner côté par côté (il n'a pas de côtés droits) : c'est pour cela qu'on utilise une formule spéciale avec $\pi$.

Chaque figure, sa formule

Selon la figure, la formule change. Les voici rangées.

• Polygone quelconque : $P = a + b + c + \cdots$, la somme de tous les côtés.
• Carré de côté $c$ : ses quatre côtés sont égaux, donc $P = 4 \times c$.
• Rectangle de longueur $L$ et largeur $l$ : $P = 2 \times (L + l)$.
• Cercle avec le rayon $r$ : $P = 2 \times \pi \times r$.
• Cercle avec le diamètre $d$ : $P = \pi \times d$.

Le nombre $\pi$ vaut environ $3{,}14$. En classe de 6e, on l'utilise sous cette valeur approchée quand la consigne demande un résultat en nombre décimal.

La méthode pas à pas, avec deux exemples

Pour ne jamais te tromper, suis toujours le même chemin.

1. Identifie la figure : polygone (côtés droits) ou cercle ?

2. Pour un polygone : additionne tous les côtés, en vérifiant qu'ils sont tous dans la même unité.

3. Pour un cercle : regarde si on te donne le rayon $r$ ou le diamètre $d$, puis applique $P = 2 \times \pi \times r$ ou $P = \pi \times d$.

4. Donne la valeur exacte (avec $\pi$) si on te la demande ; sinon remplace $\pi$ par $3{,}14$ pour la valeur approchée.

5. Termine toujours par l'unité.

Exemple polygone — un triangle de côtés 3 cm, 5 cm et 7 cm.

C'est un polygone, j'additionne les côtés : $P = 3 + 5 + 7$.

Je calcule : $P = 15$ cm.

Exemple cercle — un cercle de rayon 4 cm.

J'ai le rayon, j'utilise $P = 2 \times \pi \times r$ avec $r = 4$ : $P = 2 \times \pi \times 4 = 8\pi$ cm (valeur exacte).

Valeur approchée : $P \approx 8 \times 3{,}14 = 25{,}12$ cm.

On le fait ensemble — un carré

Énoncé : calculer le périmètre d'un carré de côté $6$ cm.

On lit la figure. Un carré a quatre côtés de même longueur. On peut donc additionner quatre fois le côté, ou plus vite, multiplier par 4.

On choisit la formule. $P = 4 \times c$.

On remplace. Ici $c = 6$, donc $P = 4 \times 6$.

On calcule. $P = 24$.

On conclut avec l'unité. $P = 24$ cm.

Petit contrôle mental : $6 + 6 + 6 + 6 = 24$. On retrouve bien la même chose, c'est rassurant.

On le fait ensemble — un triangle

Énoncé : calculer le périmètre d'un triangle de côtés $3$ cm, $5$ cm et $7$ cm.

On lit la figure. Un triangle est un polygone à trois côtés. Pas de formule magique : on additionne les trois côtés.

On vérifie les unités. Les trois longueurs sont en cm, tout est cohérent, on peut additionner directement.

On écrit le calcul. $P = 3 + 5 + 7$.

On calcule pas à pas. $3 + 5 = 8$, puis $8 + 7 = 15$.

On conclut. $P = 15$ cm.

Astuce anti-oubli : numérote les côtés (1, 2, 3) et coche-les au fur et à mesure. Comme ça, aucun côté ne passe à la trappe.

On le fait ensemble — un cercle

Énoncé : calculer le périmètre d'un cercle de rayon $4$ cm, d'abord en valeur exacte, puis en valeur approchée.

On lit la figure. C'est un cercle, et on nous donne le rayon $r = 4$ cm. La formule adaptée est $P = 2 \times \pi \times r$.

On remplace. $P = 2 \times \pi \times 4$.

On range le calcul. $2 \times 4 = 8$, donc $P = 8 \times \pi = 8\pi$ cm. Ça, c'est la valeur exacte : on garde le symbole $\pi$.

On passe à la valeur approchée. On remplace $\pi$ par $3{,}14$ : $P \approx 8 \times 3{,}14$.

On termine le calcul. $8 \times 3{,}14 = 25{,}12$, donc $P \approx 25{,}12$ cm.

Retiens la nuance : $8\pi$ cm est exact, $25{,}12$ cm est approché (le symbole $\approx$ veut dire « environ »).

Les subtilités et ce que le correcteur attend

À ce niveau, les points se gagnent (ou se perdent) sur les détails.

• Rayon ou diamètre ? Ne les confonds jamais : $d = 2 \times r$. Si l'énoncé donne le diamètre mais que ta formule utilise le rayon, divise d'abord par 2 (ou prends directement $P = \pi \times d$).
• Même unité partout. Si un côté est en cm et un autre en mm (ou en m), convertis tout dans la même unité avant d'additionner.
• Exact ou approché ? « Valeur exacte » veut dire : garde le $\pi$ (par exemple $8\pi$). « Valeur approchée » veut dire : remplace $\pi$ par $3{,}14$ et donne un nombre décimal.
• Arrondi. Si on demande d'arrondir (au dixième, au centième...), écris bien le signe $\approx$ et respecte la précision demandée.
• Périmètre ou aire ? Le périmètre est une longueur (en cm) ; l'aire est une surface (en centimètres carrés). Ne confonds pas les deux grandeurs.

Ce que le correcteur veut voir : la formule écrite, le remplacement des valeurs, le calcul détaillé, puis la réponse avec son unité. Un bon résultat sans formule ni unité perd des points ; une démarche claire en gagne, même si le calcul final se trompe un peu.

Problème résolu — le jardin à clôturer

Énoncé : un jardin rectangulaire mesure $12$ m de long et $750$ cm de large. On veut poser une clôture tout autour. Quelle longueur de clôture faut-il ?

Étape 1 — je repère le piège des unités. La longueur est en mètres, la largeur en centimètres. Je convertis : $750$ cm $= 7{,}5$ m (car $100$ cm $= 1$ m).

Étape 2 — je choisis la formule. Le jardin est un rectangle, donc $P = 2 \times (L + l)$.

Étape 3 — je remplace. $L = 12$ m et $l = 7{,}5$ m, donc $P = 2 \times (12 + 7{,}5)$.

Étape 4 — je calcule la parenthèse. $12 + 7{,}5 = 19{,}5$.

Étape 5 — je termine. $P = 2 \times 19{,}5 = 39$ m.

Conclusion. Il faut $39$ m de clôture. (Si l'énoncé demandait ensuite le nombre de piquets espacés de $3$ m, on ferait $39 \div 3 = 13$ ; mais ici la question s'arrête au périmètre.)

Problème résolu — la bordure du bassin

Énoncé : on installe une bordure tout autour d'un bassin circulaire de rayon $1{,}5$ m. Donne la longueur de bordure en valeur exacte, puis une valeur approchée.

Étape 1 — j'identifie. Le contour est un cercle et on me donne le rayon $r = 1{,}5$ m. J'utilise $P = 2 \times \pi \times r$.

Étape 2 — je remplace. $P = 2 \times \pi \times 1{,}5$.

Étape 3 — valeur exacte. $2 \times 1{,}5 = 3$, donc $P = 3\pi$ m (on garde le $\pi$).

Étape 4 — valeur approchée. Je remplace $\pi$ par $3{,}14$ : $P \approx 3 \times 3{,}14 = 9{,}42$ m.

Conclusion. Il faut environ $9{,}42$ m de bordure (valeur exacte $3\pi$ m).

Le piège à éviter : si l'énoncé avait donné le diamètre ($3$ m) au lieu du rayon, il aurait fallu prendre $P = \pi \times d = \pi \times 3$ — on retombe sur le même $3\pi$. Lis bien : rayon ou diamètre ?

D'où vient le nombre π ?

Voici un fait surprenant, connu depuis l'Antiquité : si tu prends n'importe quel cercle et que tu divises son périmètre par son diamètre, tu tombes toujours sur le même nombre, environ $3{,}14$. Petit cercle ou immense cercle, peu importe : le rapport ne change pas.

Ce nombre constant, on l'a appelé $\pi$. Autrement dit $\pi = \dfrac{P}{d}$, ce qui signifie que le périmètre vaut toujours un peu plus de trois fois le diamètre.

C'est exactement ce que disent les formules du cours : si $\pi = \dfrac{P}{d}$, alors $P = \pi \times d$. Et comme $d = 2 \times r$, on obtient aussi $P = 2 \times \pi \times r$. Les deux formules du cercle ne sont donc pas deux règles à apprendre par cœur : c'est la même idée écrite de deux façons.

Sur le schéma, si on « déroule » le tour du cercle en une ligne droite, cette ligne mesure environ $3{,}14$ diamètres. Tu vois pourquoi $\pi$ apparaît partout dès qu'il y a un rond.

Périmètre et aire : à ne surtout pas confondre

Le cours prévient déjà : le périmètre (la longueur du contour) et l'aire (la taille de la surface intérieure) sont deux grandeurs différentes. Le périmètre se mesure en cm, l'aire en centimètres carrés.

Le meilleur moyen de t'en convaincre : deux figures peuvent avoir le même périmètre et pourtant des aires différentes. Regarde le schéma.

Le carré $4 \times 4$ a pour périmètre $4 \times 4 = 16$ cm, et sa surface couvre $16$ carreaux.

Le rectangle $6 \times 2$ a lui aussi un périmètre de $2 \times (6 + 2) = 16$ cm... mais sa surface ne couvre que $12$ carreaux.

Même tour, surface différente : voilà pourquoi on ne mélange jamais les deux. Le calcul de l'aire est une notion voisine, que tu travailles en parallèle.

Ce qui t'attend ensuite

Le périmètre est une base sur laquelle beaucoup de choses vont s'appuyer :

• Les figures composées. Bientôt tu calculeras le contour de figures faites de plusieurs morceaux (par exemple un rectangle surmonté d'un demi-cercle) : tu additionneras les longueurs, exactement comme pour un polygone.
• Les portions de cercle. On calculera la longueur d'un morceau de cercle (un arc), qui n'est qu'une fraction du périmètre complet $2 \times \pi \times r$.
• Agrandir ou réduire. Quand on agrandit une figure (par exemple deux fois plus grande), tu verras que son périmètre est multiplié d'autant : une régularité bien pratique.
• Vers l'aire du disque. Le même nombre $\pi$ qui sert au périmètre du cercle sert aussi à calculer l'aire du disque. Une seule constante, plusieurs formules : tu la recroiseras souvent.

Bref, ce que tu apprends aujourd'hui sur le contour, tu vas le réutiliser pendant des années. Autant le maîtriser à fond maintenant.