Pas de panique ! On va découvrir ensemble ce qu'est le volume d'un pavé droit, et tu vas vite savoir le calculer. Pour ça, on a juste besoin de savoir multiplier des nombres et de connaître les unités de longueur (cm, dm, m). C'est parti !
Prérequis : ce que tu dois savoir
Avant de parler volume, vérifions que tu maîtrises :
- La multiplication de nombres entiers (ex : $7 \times 3 \times 4$).
- Les unités de longueur : centimètre (cm), décimètre (dm), mètre (m).
- Ce qu'est un pavé droit : un solide à 6 faces rectangulaires, comme une boîte de chaussures ou un aquarium.
Le volume, c'est la mesure de l'espace à l'intérieur de ce solide. On l'exprime en unités « cubes » : cm³, dm³, m³.
Le volume d'un pavé droit : la formule
Pour un pavé droit de longueur $L$, largeur $l$ et hauteur $h$ (toutes dans la même unité), le volume $V$ se calcule ainsi :
$V = L \times l \times h$
Le résultat s'écrit avec une unité cubique. Par exemple, si les dimensions sont en cm, le volume est en cm³.
Cas particulier : le cube. Un cube est un pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur $a$. Son volume est $V = a \times a \times a = a^3$.
À toi de jouer
1. Complète le calcul du volume d'un pavé droit de longueur 6 cm, largeur 4 cm et hauteur 2 cm.
$V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 6 \times 4 \times 2 = 48$ cm³
2. Complète le calcul du volume d'un cube de côté 3 cm.
$V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}^3 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ cm³
3. Relie chaque solide à son unité de volume.
Un pavé droit de dimensions en cm → volume en .
Un pavé droit de dimensions en dm → volume en .
(Complète avec cm³ ou dm³)
Corrigé
cm³ ; dm³
Ah oui, le volume du pavé droit, c'est cette formule ! On va revoir la méthode en détail et s'entraîner à l'appliquer sans se tromper d'unité.
La formule et les unités
Rappel : Volume $V = L \times l \times h$. Les trois dimensions doivent être dans la même unité. Le résultat est en unité cubique (cm³, dm³, m³).
Pour un cube de côté $a$ : $V = a^3$.
Méthode pas à pas
- Repérer la longueur $L$, la largeur $l$ et la hauteur $h$.
- Vérifier qu'elles sont toutes dans la même unité (sinon, convertir).
- Multiplier les trois nombres : $V = L \times l \times h$.
- Écrire le résultat suivi de l'unité cube (ex : cm³).
Conversions utiles
$1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$ ; $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$.
Pour convertir des dm³ en cm³, on multiplie par 1 000. Pour convertir des cm³ en dm³, on divise par 1 000.
À toi de jouer
1. Calcule le volume d'un pavé droit de dimensions $L = 8$ cm, $l = 5$ cm, $h = 3$ cm en complétant.
$V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 8 \times 5 \times 3 = 120$ cm³
2. Convertis en complétant : $4 \text{ dm}^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^3$ (car $1 \text{ dm}^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^3$).
$4 \text{ dm}^3 = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^3$
Corrigé
$4 \times 1\,000 = 4\,000 \text{ cm}^3$
3. Un pavé droit a un volume de 150 cm³, une longueur de 10 cm et une largeur de 5 cm. Trouve sa hauteur en complétant.
$h = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{150}{10 \times 5} = \frac{150}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
Corrigé
$h = \frac{150}{10 \times 5} = \frac{150}{50} = 3$ cm
Cinq petits calculs de volume, tous sur le même modèle. Tu vas voir, c'est automatique !
À toi de jouer
1. Un pavé droit a pour dimensions : $L = 4$ cm, $l = 3$ cm, $h = 2$ cm.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 4 \times 3 \times 2 = 24$ cm³
2. Un pavé droit a pour dimensions : $L = 7$ cm, $l = 2$ cm, $h = 5$ cm.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 7 \times 2 \times 5 = 70$ cm³
3. Un cube a pour côté $a = 10$ cm.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}^3 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1\,000$ cm³
4. Un pavé droit a pour dimensions : $L = 9$ cm, $l = 4$ cm, $h = 3$ cm.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 9 \times 4 \times 3 = 108$ cm³
5. Un pavé droit a pour dimensions : $L = 12$ cm, $l = 5$ cm, $h = 2$ cm.
Complète : $V = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Corrigé
$V = 12 \times 5 \times 2 = 120$ cm³
Passons aux exercices type contrôle. Tu vas devoir calculer, retrouver une dimension, convertir et résoudre un problème concret. Pas de trous cette fois, à toi de jouer !
À toi de jouer
1. Calcule le volume d'un pavé droit de dimensions $L = 12$ cm, $l = 7$ cm, $h = 5$ cm.
Corrigé
$V = 12 \times 7 \times 5 = 420$ cm³
2. Calcule le volume d'un cube de côté $a = 8$ cm.
Corrigé
$V = 8 \times 8 \times 8 = 512$ cm³
3. Un pavé droit a un volume de 240 cm³, une longueur de 10 cm et une largeur de 6 cm. Calcule sa hauteur.
Corrigé
$h = \frac{240}{10 \times 6} = \frac{240}{60} = 4$ cm
4. Convertis :
$5 \text{ dm}^3 = \ldots \text{ cm}^3$
$2\,500 \text{ cm}^3 = \ldots \text{ dm}^3$
$3 \text{ dm}^3 = \ldots \text{ L}$
Corrigé
$5 \text{ dm}^3 = 5\,000 \text{ cm}^3$ ; $2\,500 \text{ cm}^3 = 2{,}5 \text{ dm}^3$ ; $3 \text{ dm}^3 = 3 \text{ L}$
5. Un aquarium a la forme d'un pavé droit de dimensions intérieures : longueur 60 cm, largeur 30 cm, hauteur 40 cm.
a) Calcule son volume en cm³.
b) Exprime ce volume en litres.
c) On le remplit aux $\frac{2}{3}$ de sa capacité. Quel volume d'eau contient-il, en litres ?
Corrigé
a) $V = 60 \times 30 \times 40 = 72\,000 \text{ cm}^3$
b) $72\,000 \div 1\,000 = 72 \text{ L}$
c) $\frac{2}{3} \times 72 = 48 \text{ L}$
Tu maîtrises le pavé droit ? Voyons des situations un peu plus corsées, comme on en verra l'an prochain. Tu vas combiner plusieurs solides ou utiliser le volume pour trouver une hauteur d'eau.
À toi de jouer
1. Un objet est formé de deux cubes identiques accolés, chacun de côté 5 cm. Calcule le volume total de l'objet.
Corrigé
Volume d'un cube : $5^3 = 125 \text{ cm}^3$. Volume total : $2 \times 125 = 250 \text{ cm}^3$.
2. Un aquarium a une base carrée de côté 25 cm. On y verse 10 L d'eau. Calcule la hauteur d'eau en cm. (Aide : convertis d'abord les litres en cm³.)
Corrigé
$10 \text{ L} = 10 \text{ dm}^3 = 10\,000 \text{ cm}^3$. L'aire de la base est $25 \times 25 = 625 \text{ cm}^2$. Hauteur $h = \frac{10\,000}{625} = 16 \text{ cm}$.
3. On veut fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton rectangulaire de 30 cm sur 20 cm. On découpe un carré de 5 cm de côté à chaque coin, puis on relève les bords. Quel est le volume de la boîte obtenue ?
Corrigé
Après découpage, la longueur de la boîte est $30 - 2 \times 5 = 20$ cm, la largeur $20 - 2 \times 5 = 10$ cm, la hauteur 5 cm. Volume = $20 \times 10 \times 5 = 1\,000 \text{ cm}^3$.