Volume du pavé droit

Les prérequis en 2 minutes

Un pavé droit, c'est tout simplement une boîte : six faces rectangulaires, comme une brique, une boîte de céréales ou un aquarium.

Il a trois dimensions à repérer : la longueur $L$, la largeur $l$ et la hauteur $h$.

Le volume, c'est la place qu'occupe la boîte à l'intérieur. On le mesure dans une unité « au cube » : cm³, dm³ ou m³ (le petit 3 en haut, jamais un 2).

Côté calcul, tu as juste besoin de savoir multiplier trois nombres. C'est tout.

L'essentiel et la formule

Pour trouver le volume d'un pavé droit, on multiplie ses trois dimensions :

$V = L \times l \times h$

Une seule règle à ne pas oublier : les trois dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier.

Le résultat s'écrit toujours suivi d'une unité cubique : cm³, dm³ ou m³.

Un exemple fait en entier

Une boîte mesure $L = 5$ cm de long, $l = 3$ cm de large et $h = 4$ cm de haut. Quel est son volume ?

On écrit la formule : $V = L \times l \times h$.

On remplace par les valeurs : $V = 5 \times 3 \times 4$.

On calcule pas à pas : $5 \times 3 = 15$.

Puis : $15 \times 4 = 60$.

On n'oublie pas l'unité cubique : $V = 60$ cm³.

Et voilà, tu sais déjà répondre à la question type du contrôle.

Définitions au propre

Un pavé droit (on dit aussi parallélépipède rectangle) est un solide dont les six faces sont des rectangles. Une boîte de céréales, un carton de déménagement, un aquarium en sont des exemples.

On le décrit par ses trois dimensions : la longueur $L$, la largeur $l$ et la hauteur $h$.

Le cube est un pavé droit particulier : toutes ses arêtes ont la même longueur. On note ce côté $a$.

Le volume d'un solide mesure l'espace qu'il occupe. Comme on mesure dans les trois directions de l'espace, le volume s'exprime dans une unité au cube : cm³, dm³, m³.

La formule et les unités

Formule générale du pavé droit :

$V = L \times l \times h$

Cas particulier du cube de côté $a$ : les trois dimensions sont égales, donc

$V = a \times a \times a = a^3$.

Les unités de volume se lisent « au cube ». Les plus courantes en 6e :

• le centimètre cube : cm³ ;
• le décimètre cube : dm³ ;
• le mètre cube : m³.

Deux conversions à connaître par cœur :

$1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$ et $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$.

Autrement dit, un décimètre cube contient exactement un litre : c'est ce qui relie le volume (dm³) à la contenance (L).

La méthode pas à pas (et deux exemples)

À chaque exercice, déroule les mêmes étapes :

• Repérer les trois dimensions $L$, $l$, $h$ et vérifier qu'elles sont dans la même unité.
• Écrire la formule $V = L \times l \times h$.
• Remplacer puis calculer la multiplication.
• Conclure avec le résultat suivi de l'unité cubique.

Exemple A — un pavé droit.

Données : $L = 5$ cm, $l = 3$ cm, $h = 4$ cm.

$V = 5 \times 3 \times 4 = 60$, donc $V = 60$ cm³.

Exemple B — un cube de côté 3 cm.

$V = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$, donc $V = 27$ cm³.

Exemple 1 — la boîte (on commente chaque ligne)

Énoncé : une boîte mesure $L = 5$ cm, $l = 3$ cm et $h = 4$ cm. Calcule son volume.

Ligne 1 — on vérifie les unités : les trois dimensions sont en cm. Parfait, on peut multiplier directement.

Ligne 2 — on pose la formule : $V = L \times l \times h$.

Ligne 3 — on remplace : $V = 5 \times 3 \times 4$.

Ligne 4 — on multiplie les deux premiers : $5 \times 3 = 15$.

Ligne 5 — on multiplie par le dernier : $15 \times 4 = 60$.

Ligne 6 — on conclut avec l'unité : $V = 60$ cm³.

Astuce de rédaction : garde l'unité pour la dernière ligne, ça évite de la traîner dans tous les calculs.

Exemple 2 — le cube

Énoncé : calcule le volume d'un cube d'arête $3$ cm.

Ligne 1 — un cube a ses trois dimensions égales : ici $a = 3$ cm.

Ligne 2 — on écrit la formule du cube : $V = a \times a \times a = a^3$.

Ligne 3 — on remplace : $V = 3 \times 3 \times 3$.

Ligne 4 — on calcule : $3 \times 3 = 9$, puis $9 \times 3 = 27$.

Ligne 5 — on conclut : $V = 27$ cm³.

Le petit $3$ de $a^3$ n'est pas magique : il dit juste « je multiplie le nombre par lui-même trois fois ».

Exemple 3 — on change les nombres

Énoncé : un pavé droit mesure $L = 6$ cm, $l = 4$ cm et $h = 5$ cm. Calcule son volume.

Ligne 1 — unités identiques (cm), on avance.

Ligne 2 — $V = L \times l \times h = 6 \times 4 \times 5$.

Ligne 3 — $6 \times 4 = 24$.

Ligne 4 — $24 \times 5 = 120$.

Ligne 5 — $V = 120$ cm³.

Remarque utile : l'ordre de la multiplication n'a aucune importance. $6 \times 4 \times 5$ ou $5 \times 6 \times 4$ donnent le même $120$. Choisis l'ordre le plus facile à calculer.

Problème 1 — l'aquarium (volume et litres)

Énoncé : un aquarium en forme de pavé droit mesure $4$ dm de long, $2$ dm de large et $3$ dm de haut. Quel est son volume ? Combien de litres d'eau peut-il contenir au maximum ?

Étape 1 — les trois dimensions sont déjà en dm : on peut multiplier.

Étape 2 — $V = L \times l \times h = 4 \times 2 \times 3$.

Étape 3 — $4 \times 2 = 8$, puis $8 \times 3 = 24$. Donc $V = 24$ dm³.

Étape 4 — on utilise la conversion $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$ : $24$ dm³ correspondent à $24$ L.

Réponse — l'aquarium a un volume de $24$ dm³ et peut contenir $24$ litres d'eau.

Ce que le correcteur attend : la formule écrite, le calcul, l'unité dm³, puis la conversion en litres justifiée par $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$.

Problème 2 — attention aux unités mélangées

Énoncé : une boîte mesure $L = 20$ cm, $l = 1$ dm et $h = 15$ cm. Calcule son volume en cm³.

Étape 1 — le piège : les dimensions ne sont pas dans la même unité. Il y a des cm et un dm. On ne multiplie jamais avant d'avoir tout mis dans la même unité.

Étape 2 — on convertit : $1$ dm $= 10$ cm. Donc $l = 10$ cm.

Étape 3 — maintenant tout est en cm : $V = 20 \times 10 \times 15$.

Étape 4 — $20 \times 10 = 200$, puis $200 \times 15 = 3\,000$. Donc $V = 3\,000$ cm³.

Réponse — le volume de la boîte est $3\,000$ cm³ (soit $3$ dm³, puisque $1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3$).

Ce que le correcteur attend et les pièges classiques

Pour tous les points :

• écrire la formule $V = L \times l \times h$ avant de calculer ;
• vérifier que les trois dimensions sont dans la même unité (sinon, convertir d'abord) ;
• terminer par le résultat suivi de l'unité cubique.

Les pièges qui coûtent des points :

• écrire cm² au lieu de cm³ : un volume est au cube, jamais au carré ;
• multiplier des cm par des dm sans convertir : faux à tous les coups ;
• confondre aire et volume : l'aire d'une face se mesure en cm², le volume en cm³.

Petit réflexe anti-erreur : à la fin, relis ton unité. Deux dimensions multipliées donnent une unité au carré (une aire) ; trois dimensions multipliées donnent une unité au cube (un volume).

D'où vient la formule : des petits cubes

Pourquoi multiplie-t-on les trois dimensions ? Imagine que tu remplisses le pavé avec des petits cubes de 1 cm de côté (des cubes-unité, de volume $1$ cm³ chacun).

Sur le fond de la boîte, tu poses une couche : $L$ cubes en longueur sur $l$ cubes en largeur, soit $L \times l$ cubes. C'est exactement l'aire de la base.

Puis tu empiles $h$ couches identiques pour monter jusqu'en haut.

Au total : $L \times l$ cubes par couche, répété $h$ fois, soit $L \times l \times h$ cubes-unité. Chaque cube vaut $1$ cm³, donc le volume vaut bien $V = L \times l \times h$ cm³.

Pour la boîte de l'exemple ($5 \times 3 \times 4$) : $15$ cubes par couche, $4$ couches, $60$ cubes en tout. C'est notre $60$ cm³.

Aire de base fois hauteur : la formule qui grandit

On peut réécrire la formule autrement, en regroupant les deux dimensions du fond :

$V = (L \times l) \times h$

Or $L \times l$, c'est l'aire de la base du pavé (un rectangle). La formule dit donc :

volume = aire de la base × hauteur.

C'est cette écriture qui va « grandir » les années suivantes : elle marche aussi pour d'autres solides que la boîte, du moment qu'on sait calculer l'aire de leur base et qu'ils ont une hauteur constante.

Tu retrouves ici le lien avec une autre notion de 6e : l'aire du rectangle. Volume et aire ne sont pas deux mondes séparés — le volume s'appuie sur l'aire.

Un coup d'œil sur l'an prochain

Ce que tu verras plus tard, sans avoir à l'apprendre maintenant :

• Le prisme droit (une base qui n'est plus forcément un rectangle) : même idée, $V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$.
• Le cylindre : la base est un disque, mais la logique « aire de la base fois hauteur » reste la même.
• Contenance et litres : tu approfondiras le lien entre volume (dm³, m³) et capacité (L, hL), à partir de $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$.

La formule de la boîte n'est donc pas un cas isolé : c'est la première marche d'un escalier « aire de la base fois hauteur » que tu vas remonter pendant plusieurs années.