Contrôle bientôt, tu n'as encore rien vu, et la panique monte doucement. Respire : additionner et soustraire des décimaux, c'est comme avec les nombres entiers... à une virgule près. Voici le strict minimum pour t'en sortir.
Les 2 choses à savoir avant de commencer
Deux petites choses à avoir en tête, et tu es prêt.
1. Un nombre décimal, c'est un nombre à virgule : à gauche de la virgule la partie entière, à droite la partie décimale. Par exemple dans $12{,}75$, la partie entière est $12$ et la partie décimale est $75$ (7 dixièmes et 5 centièmes).
2. Poser une opération, tu sais déjà le faire avec les entiers : on écrit les nombres l'un sous l'autre, en colonnes, et on calcule de droite à gauche en gérant les retenues. Ici, c'est pareil.
L'essentiel et la règle d'or
Pour additionner ou soustraire deux décimaux, un seul principe compte : les chiffres de même rang doivent être dans la même colonne (les unités sous les unités, les dixièmes sous les dixièmes...). Le moyen simple d'y arriver :
La règle d'or : virgule sous virgule. Tu alignes les virgules l'une au-dessus de l'autre, et tout se met en place tout seul.
Deux réflexes qui sauvent :
• Si un nombre a moins de chiffres après la virgule que l'autre, tu complètes avec des zéros à droite. Ça ne change pas sa valeur : $3{,}4 = 3{,}40$.
• La virgule du résultat se place juste sous les autres virgules.
Un exemple fait en entier
Calculons $3{,}4 + 2{,}15$.
Étape 1. On complète pour avoir le même nombre de décimales : $3{,}4$ devient $3{,}40$.
Étape 2. On pose l'addition, virgule sous virgule (voir le schéma).
Étape 3. On additionne colonne par colonne, de droite à gauche : $0+5=5$ (centièmes), $4+1=5$ (dixièmes), $3+2=5$ (unités).
Étape 4. On place la virgule sous les virgules : $3{,}40 + 2{,}15 = 5{,}55$.
Et voilà. Si tu retiens juste « virgule sous virgule, et compléter avec des zéros », tu as déjà l'essentiel du contrôle.
Ah, le déclic. Tu as déjà croisé ces virgules quelque part. On reprend proprement, du début, mais cette fois avec les vrais mots et la méthode complète.
Le vocabulaire : décimal, rangs, colonnes
Un nombre décimal possède une partie entière (à gauche de la virgule) et une partie décimale (à droite). Chaque position à droite de la virgule porte un nom, un rang :
• le 1er chiffre après la virgule = les dixièmes : $0{,}1 = \dfrac{1}{10}$ ;
• le 2e = les centièmes : $0{,}01 = \dfrac{1}{100}$ ;
• le 3e = les millièmes : $0{,}001 = \dfrac{1}{1000}$.
Ainsi $3{,}405$ se lit « 3 unités, 4 dixièmes, 0 centième, 5 millièmes ». Pour ajouter ou retirer deux décimaux, il faut faire se rencontrer les chiffres de même rang : c'est tout l'enjeu de la mise en colonnes.
La méthode en 4 étapes
Que ce soit une addition ou une soustraction, on procède toujours de la même façon :
1. Écrire en colonnes en alignant les virgules les unes sous les autres (virgule sous virgule).
2. Compléter par des zéros à droite pour que les deux nombres aient le même nombre de chiffres après la virgule.
3. Effectuer l'opération colonne par colonne, de droite à gauche, en gérant les retenues (addition) ou les emprunts (soustraction), exactement comme avec les entiers.
4. Placer la virgule du résultat directement sous les virgules des deux nombres.
La seule différence entre addition et soustraction, c'est l'opération de l'étape 3 : on ajoute, ou on retranche. L'alignement, lui, ne change jamais.
Deux exemples traités, et la vérification
Addition : $3{,}4 + 2{,}15$.
On complète : $3{,}4 = 3{,}40$. On aligne les virgules puis on additionne rang par rang : $3{,}40 + 2{,}15 = 5{,}55$.
Soustraction : $10 - 4{,}75$.
Le nombre $10$ est un entier ; on l'écrit $10{,}00$ pour avoir deux chiffres après la virgule (deux zéros ajoutés, sa valeur ne change pas).
On aligne les virgules : $10{,}00$ au-dessus, $4{,}75$ en dessous, puis on soustrait de droite à gauche avec les emprunts : $10{,}00 - 4{,}75 = 5{,}25$.
On vérifie. Une soustraction se contrôle par l'addition : si $a - b = c$, alors $c + b$ doit redonner $a$. Ici $5{,}25 + 4{,}75 = 10{,}00$, c'est bien $10$ : le résultat est juste.
Maintenant on se met en jambes ensemble. Je prends le crayon, tu regardes par-dessus mon épaule, et on déroule deux calculs ligne par ligne. Pas de piège, juste la méthode qui rentre dans les doigts.
On additionne ensemble : 12,7 + 5,48
On calcule ensemble $12{,}7 + 5{,}48$.
On complète. $12{,}7$ n'a qu'un chiffre après la virgule, $5{,}48$ en a deux. On écrit donc $12{,}7 = 12{,}70$.
On pose, virgule sous virgule. $12{,}70$ au-dessus, $5{,}48$ en dessous.
Colonne des centièmes : $0 + 8 = 8$. J'écris $8$.
Colonne des dixièmes : $7 + 4 = 11$. J'écris $1$ et je retiens $1$.
La virgule : je la place sous les virgules.
Colonne des unités : $2 + 5 = 7$, plus la retenue $1$, ça fait $8$. J'écris $8$.
Colonne des dizaines : $1 + 0 = 1$. J'écris $1$.
Résultat : $12{,}7 + 5{,}48 = 18{,}18$.
On soustrait ensemble : 15 moins 6,35
Passons à une soustraction : $15 - 6{,}35$. Ensemble, tranquillement.
On complète. $15$ est un entier : on l'écrit $15{,}00$ (deux zéros pour deux décimales).
On pose, virgule sous virgule. $15{,}00$ au-dessus, $6{,}35$ en dessous (voir le schéma).
Centièmes : $0 - 5$ est impossible, on emprunte : $10 - 5 = 5$. J'écris $5$.
Dixièmes : il restait $0$, on a prêté $1$ au rang de droite et il faut ôter $3$ ; on emprunte encore : $10 - 1 - 3 = 6$. J'écris $6$.
La virgule se place sous les virgules.
Unités : il restait $5$, on a prêté $1$ (donc $4$) et il faut ôter $6$ ; on emprunte : $14 - 6 = 8$. J'écris $8$.
Dizaines : il restait $1$, on a prêté $1$ : il reste $0$.
Résultat : $15 - 6{,}35 = 8{,}65$.
Le réflexe qui te sauve : vérifier
Tu remarques que dans les deux cas, on a fait exactement la même chose : compléter, aligner, calculer, placer la virgule. Prends l'habitude de vérifier à la fin :
• pour une soustraction $a - b = c$, calcule $c + b$ : tu dois retomber sur $a$. Ici $8{,}65 + 6{,}35 = 15{,}00 = 15$. Parfait.
• pour une addition, un ordre de grandeur suffit : $12{,}7 + 5{,}48$ est proche de $13 + 5 = 18$, et on a trouvé $18{,}18$. Cohérent.
Là on vise les points, pas le « à peu près juste ». On regarde ce que le correcteur veut voir, les pièges où presque tout le monde tombe, et on résout un vrai problème de la vie courante du début à la fin.
Les pièges classiques, et comment les éviter
Trois erreurs font perdre des points à presque tout le monde. Apprends à les repérer.
Piège 1 : ne pas aligner les virgules. Si tu alignes les nombres « à droite » comme des entiers, tu additionnes des dixièmes avec des centièmes, et le résultat est faux. Sur le schéma, à gauche l'alignement à droite mélange les rangs ; à droite, virgule sous virgule, tout est correct.
Piège 2 : oublier les zéros complétifs. Pour $15 - 6{,}35$, si tu n'écris pas $15{,}00$, tu ne sais plus quoi soustraire dans les colonnes des dixièmes et des centièmes, et les emprunts partent en vrille.
Piège 3 : décaler la virgule du résultat. La virgule du résultat se place exactement sous les autres virgules, jamais ailleurs.
Un problème concret entièrement résolu
Énoncé. Léa paie avec un billet de $20$ €. Elle achète un cahier à $3{,}45$ € et un stylo à $2{,}80$ €. Quelle est sa dépense totale ? Combien la caissière lui rend-elle ?
Étape 1 : la dépense (addition). On additionne les deux prix ; ils ont déjà le même nombre de décimales, on aligne juste les virgules.
$3{,}45 + 2{,}80$ : centièmes $5+0=5$ ; dixièmes $4+8=12$, j'écris $2$ et je retiens $1$ ; unités $3+2=5$, plus la retenue $=6$. Donc $3{,}45 + 2{,}80 = 6{,}25$.
Léa dépense $6{,}25$ €.
Étape 2 : la monnaie rendue (soustraction). On retire la dépense au billet. On complète : $20 = 20{,}00$.
$20{,}00 - 6{,}25$ : centièmes $0-5$, emprunt $10-5=5$ ; dixièmes $10-1-2=7$ ; unités $10-1-6=3$ ; dizaines $2-1=1$. Donc $20 - 6{,}25 = 13{,}75$.
La caissière rend $13{,}75$ €.
Vérification. $13{,}75 + 6{,}25 = 20{,}00 = 20$ : cohérent avec le billet de départ.
Ce que le correcteur attend
Au contrôle, la bonne réponse ne suffit pas toujours : on note aussi la rédaction. Ce qui rapporte les points :
• Poser proprement l'opération, virgules alignées, zéros complétifs bien visibles.
• Écrire l'égalité complète : $3{,}45 + 2{,}80 = 6{,}25$, et pas juste $6{,}25$ posé tout seul.
• Dans un problème, une phrase de réponse avec l'unité : « Léa dépense $6{,}25$ € », jamais un nombre nu.
• Ne pas oublier l'unité (€, cm, kg...) et, quand elle est demandée, la vérification.
Tu maîtrises ? Alors regardons plus loin : pourquoi cette histoire de virgule sous virgule marche vraiment, et où ces décimaux vont te resservir. Parce que, spoiler, c'est un peu partout.
Pourquoi la règle marche : les fractions décimales
« Virgule sous virgule » n'est pas une règle magique : c'est une conséquence de ce qu'est un décimal. Chaque chiffre représente une fraction décimale : $3{,}45 = 3 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{5}{100}$.
Additionner $3{,}45$ et $2{,}80$, c'est ajouter les unités avec les unités, les dixièmes avec les dixièmes, les centièmes avec les centièmes : autrement dit, on ne peut ajouter que des fractions de même dénominateur. Aligner les virgules, c'est précisément mettre face à face les mêmes dénominateurs $\dfrac{1}{10}$, $\dfrac{1}{100}$...
Et compléter avec des zéros ne change rien, parce que $\dfrac{4}{10} = \dfrac{40}{100}$ : $3{,}4$ et $3{,}40$ sont deux écritures du même nombre.
Ce qui arrive ensuite : multiplier, diviser, les relatifs
Multiplier et diviser des décimaux arrive un peu plus tard (fin de 6e et années suivantes). Là, surprise : la virgule ne se gère plus de la même façon. Pour une multiplication, on ne pose pas virgule sous virgule, on compte le nombre total de chiffres après les virgules. Retiens l'idée : chaque opération a sa propre règle de virgule, ne les mélange pas.
Les nombres relatifs (positifs et négatifs) débarquent en 5e. Une soustraction comme $6{,}35 - 15$, aujourd'hui « impossible », deviendra alors permise et donnera un nombre négatif, $-8{,}65$. La mécanique d'alignement, elle, restera la même.
Les liens avec le reste du programme
Ces additions et soustractions de décimaux sont partout dès qu'on manipule des grandeurs :
• en longueurs : additionner $1{,}25$ m et $0{,}8$ m, ou calculer un périmètre ;
• en masses et en prix : totaux, monnaie rendue, comme dans le problème du palier précédent ;
• en durées, avec un piège : là, on ne compte pas en base 10 (il y a 60 minutes dans une heure), donc « virgule sous virgule » ne s'applique pas tel quel. Bon réflexe : ne jamais additionner des grandeurs sans vérifier l'unité et la base dans lesquelles on travaille.
Petite ouverture pour les curieux : et si on ajoutait deux nombres ayant une infinité de chiffres après la virgule ? C'est le début d'une grande histoire, celle des nombres réels, que tu croiseras au lycée.