Division euclidienne

Diviser un entier, c'est trouver le quotient et le reste — reliés par une formule que l'on vérifie toujours.

1 L'idée

Quand on divise un entier $a$ par un entier $b$ non nul, on cherche combien de fois $b$ tient entièrement dans $a$. Le résultat comprend deux nombres :

le quotient $q$ : le nombre de fois que $b$ tient dans $a$ ;
le reste $r$ : ce qui reste après, toujours strictement inférieur à $b$.

Les quatre termes à connaître : dividende $a$, diviseur $b$, quotient $q$, reste $r$.

2 Relation fondamentale

Relation euclidienne

$a = b \times q + r$

Condition sur le reste

$0 \le r \lt b$

Divisibilité

$b \text{ divise } a \iff r = 0$

3 Exemples

Exemple A — 47 ÷ 5

Plus grand multiple de $5$ inférieur ou égal à $47$ : $5 \times 9 = 45$.

Reste : $47 - 45 = 2$.

Relation : $47 = 5 \times 9 + 2$, avec $0 \le 2 \lt 5$.

Quotient $q = 9$, reste $r = 2$.

Exemple B — 36 ÷ 6

$6 \times 6 = 36$, reste $0$.

Relation : $36 = 6 \times 6 + 0$.

Le reste est $0$ : $6$ divise $36$. La division est exacte.

Méthode — poser la division euclidienne

Repérer le dividende $a$ et le diviseur $b$.
Trouver $q$ : le plus grand entier tel que $b \times q \le a$.
Calculer le reste : $r = a - b \times q$.
Vérifier : $0 \le r \lt b$ ET $a = b \times q + r$.

Erreurs fréquentes

Le reste doit être strictement inférieur au diviseur. Si $r \ge b$, le quotient choisi est trop petit : augmente-le de $1$.
Ne pas confondre le quotient euclidien (entier) avec le résultat décimal : $47 \div 5 = 9{,}4$ mais le quotient euclidien vaut $9$.
Quand la division est exacte, le reste vaut $0$ — ne pas oublier de l'écrire : $a = b \times q + 0$.