Fractions simples — partage et mesure

Les deux prérequis (rien de méchant)

Pour comprendre une fraction, tu as juste besoin de deux réflexes que tu as déjà.

Partager en parts égales : couper une pizza, une barre de chocolat ou un segment en morceaux qui font tous exactement la même taille. Le mot important, c'est égales.

Diviser puis multiplier de petits nombres : savoir poser $20 \div 4 = 5$, puis $5 \times 3 = 15$. C'est tout. Si tu sais faire ça, tu sais déjà l'essentiel des fractions.

L'essentiel et la formule à retenir

Une fraction répond à la question : « combien de parts on prend, sur combien de parts en tout ? » On la note $\dfrac{p}{q}$.

Le nombre du bas, $q$, s'appelle le dénominateur : c'est le nombre total de parts égales. Le nombre du haut, $p$, s'appelle le numérateur : c'est le nombre de parts qu'on garde.

Une seule chose est interdite : le dénominateur ne peut jamais valoir $0$ (on ne partage pas en zéro part). On écrit donc toujours $\dfrac{p}{q}$ avec $q \neq 0$.

Sur le dessin, la barre est coupée en $4$ parts égales et $3$ sont coloriées : ça se lit $\dfrac{3}{4}$, « trois quarts ».

Un exemple fait en entier

Question classique de contrôle : combien font les $\dfrac{3}{4}$ de $20$ ?

Étape 1 — je divise par le dénominateur (le nombre du bas) pour trouver la valeur d'une part : $20 \div 4 = 5$.

Étape 2 — je multiplie par le numérateur (le nombre du haut) pour prendre $3$ parts : $5 \times 3 = 15$.

Réponse : les $\dfrac{3}{4}$ de $20$ font $15$. Retiens la petite phrase : on divise par le bas, on multiplie par le haut. Avec ça, tu tiens déjà le contrôle.

Définition propre

On part d'un tout (un gâteau, un segment, une quantité) qu'on partage en parts toutes égales. Une fraction dit combien de ces parts on considère. On la note $\dfrac{p}{q}$ avec $q \neq 0$.

Vocabulaire exact :

• $q$ est le dénominateur : le nombre de parts égales dans le tout ;
• $p$ est le numérateur : le nombre de parts que l'on retient.

Deux repères à garder en tête. Quand le numérateur égale le dénominateur, on a repris le tout entier, c'est-à-dire $1$ : $\dfrac{5}{5} = 1$ et $\dfrac{7}{7} = 1$. Et pour comparer deux fractions de même dénominateur, il suffit de comparer les numérateurs : $\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{5}{7}$, car $3 \lt 5$.

Sur la figure, la partie coloriée d'un rectangle coupé en $4$ vaut $\dfrac{3}{4}$ : c'est la lecture partage d'une fraction.

Lire une fraction sur une droite graduée

Une fraction n'est pas seulement une part de gâteau : sur une droite graduée, c'est une position, un point précis. C'est la lecture mesure.

On partage l'intervalle $[0\,;\,1]$ en $5$ parts égales. Le premier trait après $0$ est à $\dfrac{1}{5}$, le deuxième à $\dfrac{2}{5}$ (marqué sur le dessin), et le cinquième retombe exactement sur $1$, puisque $\dfrac{5}{5} = 1$.

Rien n'oblige à s'arrêter à $1$. Le septième trait est à $\dfrac{7}{5}$ : il se trouve entre $1$ et $2$, car $\dfrac{5}{5} \lt \dfrac{7}{5} \lt \dfrac{10}{5}$ (et $\dfrac{10}{5} = 2$).

Prendre une fraction d'une quantité — méthode pas à pas

« Prendre les $\dfrac{p}{q}$ d'une quantité » se fait toujours en deux temps, dans cet ordre.

Étape 1 — diviser la quantité par le dénominateur $q$ : on obtient la valeur d'une part.

Étape 2 — multiplier ce résultat par le numérateur $p$ : on obtient la valeur des $p$ parts.

Exemple entièrement traité : $\dfrac{2}{5}$ de $30$.

Étape 1 : $30 \div 5 = 6$ (la valeur d'une part).

Étape 2 : $6 \times 2 = 12$ (la valeur de deux parts).

Conclusion : $\dfrac{2}{5}$ de $30 = 12$.

On le fait ensemble — lire et écrire une fraction

On regarde le rectangle : il est découpé en $8$ parts égales, et $3$ d'entre elles sont coloriées. On veut écrire la fraction coloriée, puis la fraction blanche.

Je compte le total de parts : $8$. C'est le dénominateur, il va en bas.

Je compte les parts coloriées : $3$. C'est le numérateur, il va en haut.

La partie coloriée s'écrit donc $\dfrac{3}{8}$, « trois huitièmes ».

Pour la partie blanche, il reste $8 - 3 = 5$ parts sur $8$ : elle vaut $\dfrac{5}{8}$.

Vérification de bon sens : les deux morceaux réunis redonnent le tout, soit les $8$ parts sur $8$, et $\dfrac{8}{8} = 1$. Cohérent.

On le fait ensemble — placer une fraction sur la droite

On veut placer $\dfrac{2}{5}$ puis $\dfrac{7}{5}$ sur une droite graduée. On regarde le dénominateur : $5$. Il commande le découpage.

Je partage chaque unité (de $0$ à $1$, de $1$ à $2$…) en $5$ parts égales. Chaque petit pas vaut $\dfrac{1}{5}$.

Pour $\dfrac{2}{5}$ : je pars de $0$ et j'avance de $2$ petits pas. J'arrive avant $1$ : c'est le deuxième trait.

Pour $\dfrac{7}{5}$ : je pars de $0$ et j'avance de $7$ petits pas. Les $5$ premiers m'amènent à $1$ (car $\dfrac{5}{5} = 1$), et il reste $2$ pas : j'arrive à $\dfrac{7}{5}$, entre $1$ et $2$.

On lit bien sur le dessin : $\dfrac{2}{5}$ avant $1$, $\dfrac{7}{5}$ après $1$. Logique, puisque $\dfrac{2}{5} \lt \dfrac{5}{5} \lt \dfrac{7}{5}$.

On le fait ensemble — une fraction d'une quantité

Nouvel exemple : combien font les $\dfrac{2}{5}$ de $30$ ? On applique la méthode en deux temps, sans sauter d'étape.

Étape 1 — je divise par le dénominateur $5$ pour connaître une part : $30 \div 5 = 6$.

Étape 2 — je multiplie par le numérateur $2$ pour prendre deux parts : $6 \times 2 = 12$.

Donc $\dfrac{2}{5}$ de $30 = 12$.

Petit contrôle mental : $\dfrac{2}{5}$, c'est un peu moins que la moitié ; la moitié de $30$ serait $15$, et $12 \lt 15$. Le résultat est cohérent, on ne s'est pas trompé d'ordre entre la division et la multiplication.

Problème type — une fraction d'un effectif

Énoncé : dans une classe de $28$ élèves, les $\dfrac{3}{4}$ mangent à la cantine. Combien d'élèves cela fait-il ?

On reconnaît « les $\dfrac{p}{q}$ d'une quantité » : la quantité est $28$, le dénominateur $4$, le numérateur $3$.

Étape 1 — valeur d'une part : $28 \div 4 = 7$. Cela signifie qu'un quart de la classe, c'est $7$ élèves.

Étape 2 — on en veut trois quarts : $7 \times 3 = 21$.

Réponse rédigée : $21$ élèves mangent à la cantine.

Ce que le correcteur attend : les deux calculs écrits (pas seulement le $21$ final), et une phrase de conclusion avec l'unité (« élèves »). Un bon réflexe de vérification : $28 - 21 = 7$ élèves ne mangent pas à la cantine, ce qui correspond bien au quart restant, $\dfrac{1}{4}$ de $28$.

Problème type — placer une fraction plus grande que 1

Énoncé : place $\dfrac{7}{5}$ sur une droite graduée et indique entre quels entiers il se situe. C'est un grand classique, car beaucoup d'élèves croient à tort qu'une fraction est toujours plus petite que $1$.

Le dénominateur est $5$ : chaque unité se découpe en cinquièmes, chaque pas vaut $\dfrac{1}{5}$.

Je compte $7$ pas depuis $0$. Les $5$ premiers atteignent $1$ (car $\dfrac{5}{5} = 1$), les $2$ suivants dépassent : j'arrive à $\dfrac{7}{5}$, entre $1$ et $2$ (zone grisée sur le dessin).

Justification écrite : $\dfrac{5}{5} \lt \dfrac{7}{5} \lt \dfrac{10}{5}$, or $\dfrac{5}{5} = 1$ et $\dfrac{10}{5} = 2$, donc $1 \lt \dfrac{7}{5} \lt 2$.

Ce que le correcteur attend : un découpage régulier visible, le point placé au bon endroit, et l'encadrement justifié par les fractions, pas seulement affirmé.

Les pièges classiques qui coûtent des points

Trois erreurs reviennent à chaque contrôle. Les connaître, c'est déjà les éviter.

• Oublier « parts égales ». Si un gâteau est coupé en morceaux inégaux, on ne peut pas écrire de fraction. La fraction n'a de sens que si le tout est partagé en parts identiques.
• Croire qu'un grand dénominateur donne une grande part. C'est l'inverse : plus il y a de parts, plus chaque part est petite. Ainsi $\dfrac{1}{8} \lt \dfrac{1}{3}$, car partager en $8$ donne des morceaux plus petits que partager en $3$.
• Penser que $\dfrac{4}{4} = 2$. Non : numérateur égal au dénominateur veut dire « on a repris exactement le tout », donc $\dfrac{4}{4} = 1$, et pas deux fois le tout.

Dernier réflexe qui rapporte : ne pas inverser les deux étapes du calcul d'une fraction d'une quantité. On divise d'abord par le bas, on multiplie ensuite par le haut — jamais l'inverse.

Pourquoi la méthode marche vraiment

La règle « diviser par le bas, multiplier par le haut » n'est pas une formule magique : on peut la justifier.

Prendre $\dfrac{1}{q}$ d'une quantité, c'est la partager en $q$ parts égales et en garder une seule : c'est donc exactement diviser par $q$. Voilà l'étape 1, qui donne la valeur d'une part.

Ensuite, $\dfrac{p}{q}$ signifie « $p$ de ces parts ». On a la valeur d'une part, on en veut $p$ : on multiplie par $p$. Voilà l'étape 2.

Autrement dit, $\dfrac{p}{q}$ d'une quantité, c'est « $p$ fois un $q$-ième ». Comprendre ce pourquoi, c'est ne plus jamais confondre l'ordre des opérations — et c'est déjà une petite démonstration, comme on en fera de plus en plus.

Ce que les fractions vont devenir

En $5^{\text{e}}$, la même barre de fraction va prendre de nouveaux sens et de nouveaux pouvoirs.

Fraction = division. $\dfrac{3}{4}$ ne sera plus seulement « trois parts sur quatre » : ce sera aussi le résultat exact de la division $3 \div 4$. La barre de fraction est un signe de division déguisé.

Fractions égales. Une même position sur la droite peut s'écrire de plusieurs façons : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{6}{8}$ pointent le même endroit. On apprendra à passer de l'une à l'autre, et à simplifier une fraction pour l'écrire le plus simplement possible.

Comparer et calculer plus loin. Comparer des fractions de dénominateurs différents, puis les additionner, deviendra possible une fois qu'on saura les réécrire avec le même dénominateur — une suite directe de ce que tu fais déjà avec les cinquièmes ou les huitièmes.

Un pont vers les nombres décimaux

Tu as placé $\dfrac{7}{5}$ entre $1$ et $2$. Cette même position a une autre écriture, que tu croiseras bientôt : l'écriture décimale.

Puisqu'une fraction est une division, $\dfrac{7}{5}$ c'est $7 \div 5 = 1{,}4$. De même, $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$ et $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$.

Fraction, point sur la droite, nombre décimal : ce sont trois habits d'un même nombre. Sur la droite graduée, $\dfrac{7}{5}$ et $1{,}4$ tombent exactement au même endroit.

Ce lien entre fractions et décimaux est l'un des grands fils rouges du collège. En le voyant venir dès maintenant, tu auras une longueur d'avance l'an prochain.