Multiples et diviseurs — Exercices

Applications directes, critères de divisibilité et problèmes concrets. Corrigé en fin de fiche.

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1Multiples/ 4 pts

Répondre aux deux questions suivantes.

Écris les six premiers multiples non nuls de $7$.
Parmi les nombres $45$, $63$, $70$, $84$, $91$, lesquels sont des multiples de $7$ ?

2Diviseurs/ 4 pts

Liste tous les diviseurs de chacun des nombres suivants.

$30$
$28$

3Critères de divisibilité/ 6 pts

Pour chacun des nombres suivants, indique par lesquels parmi $2$, $3$, $5$, $9$, $10$ il est divisible. Justifie à l'aide des critères.

$252$
$315$
$480$

4Problèmes/ 6 pts

Résoudre les deux problèmes suivants.

Une enseignante veut répartir $36$ biscuits en paquets égaux, sans en laisser. Quelles sont toutes les tailles de paquets possibles ?
Trouve le plus petit entier non nul qui soit à la fois un multiple de $4$ et un multiple de $6$. (Méthode : dresser la liste des multiples de chaque nombre.)

Corrigé détaillé

1Multiples

a) $7 \times 1 = 7,\quad 7 \times 2 = 14,\quad 7 \times 3 = 21,\quad 7 \times 4 = 28,\quad 7 \times 5 = 35,\quad 7 \times 6 = 42$ $7,\ 14,\ 21,\ 28,\ 35,\ 42$

b) $45 = 7 \times 6 + 3 \text{ (reste 3 : non)}\quad 63 = 7 \times 9 \text{ (oui)}\quad 70 = 7 \times 10 \text{ (oui)}\quad 84 = 7 \times 12 \text{ (oui)}\quad 91 = 7 \times 13 \text{ (oui)}$ $63,\ 70,\ 84 \text{ et } 91 \text{ sont des multiples de } 7.$

2Diviseurs

a) 30 $30 = 1 \times 30 = 2 \times 15 = 3 \times 10 = 5 \times 6$ $\text{Diviseurs de } 30 : \quad 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30$

b) 28 $28 = 1 \times 28 = 2 \times 14 = 4 \times 7$ $\text{Diviseurs de } 28 : \quad 1,\ 2,\ 4,\ 7,\ 14,\ 28$

3Critères de divisibilité

252 $\text{Dernier chiffre } 2 \text{ (pair)} \Rightarrow \text{div. par } 2.\quad 2+5+2 = 9 \Rightarrow \text{div. par } 3 \text{ et par } 9.\quad \text{Ne finit pas par } 0 \text{ ou } 5 \Rightarrow \text{non div. par } 5 \text{ ni } 10.$ $252 \text{ est divisible par } 2,\ 3 \text{ et } 9.$

315 $\text{Dernier chiffre } 5 \Rightarrow \text{div. par } 5.\quad 3+1+5 = 9 \Rightarrow \text{div. par } 3 \text{ et par } 9.\quad \text{Dernier chiffre impair} \Rightarrow \text{non div. par } 2.\quad \text{Ne finit pas par } 0 \Rightarrow \text{non div. par } 10.$ $315 \text{ est divisible par } 3,\ 5 \text{ et } 9.$

480 $\text{Dernier chiffre } 0 \Rightarrow \text{div. par } 2,\ 5 \text{ et } 10.\quad 4+8+0 = 12 = 3 \times 4 \Rightarrow \text{div. par } 3.\quad 12 \div 9 \approx 1{,}3 \Rightarrow \text{non div. par } 9.$ $480 \text{ est divisible par } 2,\ 3,\ 5 \text{ et } 10.$

4Problèmes

a) $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 \quad \Rightarrow \text{diviseurs de } 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ $\text{Tailles possibles : } 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18 \text{ ou } 36 \text{ biscuits par paquet.}$

b) $\text{Multiples de } 4 : 4,\ 8,\ \mathbf{12},\ 16,\ \ldots \qquad \text{Multiples de } 6 : 6,\ \mathbf{12},\ 18,\ \ldots \qquad 12 = 4 \times 3 = 6 \times 2$ $\text{Le plus petit multiple commun non nul de } 4 \text{ et } 6 \text{ est } 12.$