Pas de panique ! On part de zéro et on pose tout à plat. Avant de parler de multiples et de diviseurs, on va rafraîchir deux réflexes que tu utilises déjà sans le savoir : les tables de multiplication et le partage équitable. Tu vas voir, l'idée est la même, on lui donne juste un nom.

Prérequis essentiels

1. Connaître ses tables de multiplication. C'est la base. Savoir que $6 \times 7 = 42$ ou $8 \times 5 = 40$. Si une table te fait encore un peu hésiter, c'est le moment de la garder sous les yeux.

2. Faire un partage équitable exact. Imagine que tu as 12 bonbons et que tu les donnes à 3 amis. Chacun reçoit 4 bonbons, il ne reste rien. Cela veut dire que 12 se partage exactement en 3 parts de 4. C'est le coeur de la notion de multiple et de diviseur.

L'idée en deux minutes

Prenons 12 bonbons et des paquets de 3. Combien de paquets ?
$3 + 3 + 3 + 3 = 12$, donc il faut 4 paquets de 3. On peut aussi écrire $4 \times 3 = 12$.
On dit que 12 est un multiple de 3 (il est dans la table de 3) et que 3 est un diviseur de 12 (3 divise exactement 12, sans reste).
Ces deux mots expriment la même chose, juste sous un angle différent :

  • « 12 est un multiple de 3 » — on regarde le grand, il est fabriqué avec du petit.
  • « 3 est un diviseur de 12 » — on regarde le petit, il peut découper le grand sans laisser de miettes.

À toi de jouer

1. Complète la phrase de cours :
Si $b = a \times k$ (avec $k$ entier), alors $\underline{\hspace{1.1em}}$ est un multiple de $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$ est un diviseur de $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Si $b = a \times k$ (avec $k$ entier), alors $b$ est un multiple de $a$ et $a$ est un diviseur de $b$.
2. Reconnaître des multiples et des diviseurs. Complète avec « multiple » ou « diviseur ».
$24 = 6 \times 4$, donc 24 est un $\underline{\hspace{1.1em}}$ de 6.
$35 = 5 \times 7$, donc 5 est un $\underline{\hspace{1.1em}}$ de 35.
$56 = 8 \times 7$, donc 8 est un $\underline{\hspace{1.1em}}$ de 56 et 56 est un $\underline{\hspace{1.1em}}$ de 8.
Corrigé
24 est un multiple de 6.
5 est un diviseur de 35.
8 est un diviseur de 56 et 56 est un multiple de 8.
3. On complète la liste des 5 premiers multiples non nuls de 4. Pense à la table de 4.
$4 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $4 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $4 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $4 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $4 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$4 \times 1 = 4$, $4 \times 2 = 8$, $4 \times 3 = 12$, $4 \times 4 = 16$, $4 \times 5 = 20$.

Ah, oui, c'est ça ! Une histoire de tables de multiplication et de paquets. Maintenant on remet la théorie en place, proprement, avec des méthodes et des mots-clés qui tombent en contrôle.

Rappel structuré : multiples et diviseurs

Un nombre entier $b$ est un multiple d'un nombre entier $a$ quand on peut l'obtenir en multipliant $a$ par un autre entier $k$ : $b = a \times k$.
Autrement dit, cela signifie que $a$ est un diviseur de $b$, et que $b$ est divisible par $a$.

Exemple : 36 = 9 × 4. Donc 36 est un multiple de 9 et de 4. 9 et 4 sont des diviseurs de 36.

Critères de divisibilité (à connaître par coeur)

  • Par 2 : si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Par 3 : si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
  • Par 5 : si le dernier chiffre est 0 ou 5.
  • Par 9 : si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
  • Par 10 : si le dernier chiffre est 0.

Méthode : trouver tous les diviseurs d'un nombre

On prend 24 comme exemple. On cherche par quelle paire d'entiers on peut multiplier pour obtenir 24.

$1 \times 24$, $2 \times 12$, $3 \times 8$, $4 \times 6$. Arrivé à 5, on trouve $5 \times 4,8$ : non, on s'arrête car le quotient devient plus petit que le diviseur testé. Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

À toi de jouer

1. Trouve les paires de diviseurs en complétant les trous pour 20.
$20 = 1 \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$20 = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$20 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 5$. On s'arrête ? Oui, car 4 × 5, et ensuite le diviseur testé (5) dépasse ou égale le quotient (4). Écris la liste finale des diviseurs de 20 en ordre croissant : $\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$20 = 1 \times 20$
$20 = 2 \times 10$
$20 = 4 \times 5$.
Liste finale : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
2. On te donne un nombre et un critère. Complète avec « est divisible par » ou « n'est pas divisible par » en justifiant le trou de la phrase.
a) 208 se termine par 8, donc 208 $\underline{\hspace{1.1em}}$ par 2.
b) 315 se termine par $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc 315 $\underline{\hspace{1.1em}}$ par 5 et $\underline{\hspace{1.1em}}$ par 10.
c) La somme des chiffres de 153 est $1+5+3 = \underline{\hspace{1.1em}}$. $\underline{\hspace{1.1em}}$ est un multiple de 3, donc 153 $\underline{\hspace{1.1em}}$ par 3.
Corrigé
a) 208 est divisible par 2.
b) 315 se termine par 5, donc 315 est divisible par 5 et n'est pas divisible par 10.
c) $1+5+3 = 9$. 9 est un multiple de 3, donc 153 est divisible par 3.

On muscle le geste. C'est la même consigne, cinq fois. Le but, c'est que ça devienne automatique. Pas de piège, pas de variété, juste du clic-clac réussi à tous les coups.

À toi de jouer

1. Écris les 6 premiers multiples non nuls de 9.
$9 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $9 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $9 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $9 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $9 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $9 \times 6 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
9, 18, 27, 36, 45, 54.
2. Écris les 6 premiers multiples non nuls de 8.
$8 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $8 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $8 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $8 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $8 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $8 \times 6 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
8, 16, 24, 32, 40, 48.
3. Écris les 6 premiers multiples non nuls de 15.
$15 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $15 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $15 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $15 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $15 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $15 \times 6 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
15, 30, 45, 60, 75, 90.
4. Écris les 6 premiers multiples non nuls de 25.
$25 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $25 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $25 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $25 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $25 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $25 \times 6 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
25, 50, 75, 100, 125, 150.
5. Écris les 6 premiers multiples non nuls de 12.
$12 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $12 \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $12 \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $12 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $12 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $12 \times 6 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
12, 24, 36, 48, 60, 72.

On monte le curseur. Tu vas devoir analyser un peu plus, utiliser les critères de divisibilité, et même résoudre des problèmes concrets. Tout ce que tu sais faire, mais sans filet cette fois.

À toi de jouer

1. Trouve tous les diviseurs de 48 et de 45.
a) Diviseurs de 48.
b) Diviseurs de 45.
Corrigé
a) 48 = 1 × 48 = 2 × 24 = 3 × 16 = 4 × 12 = 6 × 8. Diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
b) 45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9. Diviseurs : 1, 3, 5, 9, 15, 45.
2. Pour chacun des nombres suivants, indique par quels nombres parmi 2, 3, 5, 9 et 10 il est divisible.
a) 156
b) 225
c) 720
Corrigé
a) 156 : finit par 6 (pair) → divisible par 2. Somme 1+5+6=12 (multiple de 3) → divisible par 3. 12 pas multiple de 9 → pas par 9. Finit pas 0 ou 5 → pas par 5 ou 10. Donc divisible par 2 et 3.
b) 225 : finit par 5 → divisible par 5. Pas pair → pas par 2. Finit pas 0 → pas par 10. Somme 2+2+5=9 → divisible par 3 et 9. Donc divisible par 3, 5 et 9.
c) 720 : finit par 0 → divisible par 2, 5 et 10. Somme 7+2+0=9 → divisible par 3 et 9. Donc divisible par 2, 3, 5, 9 et 10.
3. Un fleuriste a 56 roses et veut composer des bouquets tous identiques, en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets peut-il faire ? Donne toutes les possibilités.
Corrigé
Le nombre de bouquets doit être un diviseur de 56. Diviseurs de 56 : 1 × 56 = 2 × 28 = 4 × 14 = 7 × 8.
Cela donne les tailles de paquets possibles : 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Donc les possibilités de nombre de bouquets sont 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 ou 56.
4. Trouve le plus petit multiple non nul commun à 9 et 12.
Corrigé
Multiples de 9 : 9, 18, 27, 36, 45, …
Multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, …
Le plus petit multiple commun est 36.

Prêt à voir un peu plus loin ? L'année prochaine, on complexifie la recherche de multiples communs et on tord un peu l'utilisation des diviseurs. Voici un avant-goût pour les esprits curieux.

PPCM et PGCD : de l'autre côté du miroir

L'année prochaine, tu rencontreras des noms codés : PPCM (le plus petit multiple commun) et PGCD (le plus grand commun diviseur). Pas de panique, tu viens de les utiliser ! Le PPCM, c'est ce que tu as fait avec « le plus petit multiple commun », et le PGCD, c'est le plus grand nombre qui divise à la fois deux nombres. On l'utilisera pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de pavage.

À toi de jouer

1. En utilisant tes listes de diviseurs, trouve le plus grand diviseur commun à 36 et 60.
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Diviseurs de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Le plus grand diviseur commun est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le plus grand diviseur commun est 12.
2. On découpe une plaque rectangulaire de 72 cm sur 90 cm en carrés entiers tous identiques et les plus grands possibles. Le côté du carré cherché doit diviser exactement 72 et 90. En utilisant la méthode de recherche d'un grand diviseur commun (regarde les diviseurs des deux dimensions), trouve la longueur maximale du côté du carré en centimètres.
Corrigé
Il faut un diviseur commun à 72 et 90.
Diviseurs de 72 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
Diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Le plus grand diviseur commun est 18. La longueur maximale d'un côté de carré est donc 18 cm.