Multiples et diviseurs

Comprendre les liens entre les entiers grâce à la multiplication.

1 L'idée

Un entier $b$ est un multiple de $a$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que $b = a \times k$. On dit alors que $a$ est un diviseur de $b$, et que $b$ est divisible par $a$.

Ces notions sont réciproques : « $18$ est un multiple de $3$ » équivaut exactement à « $3$ est un diviseur de $18$ ».

2 Exemples

Multiples de 5

$5 \times 0 = 0,\quad 5 \times 1 = 5,\quad 5 \times 2 = 10,\quad 5 \times 3 = 15, \ldots$

Les multiples de $5$ sont $0, 5, 10, 15, 20, 25, \ldots$

Diviseurs de 18

On cherche toutes les paires : $18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6$.

Les diviseurs de $18$ sont : $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

Critères de divisibilité (à connaître par cœur)

Par $2$ : le dernier chiffre est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
Par $3$ : la somme des chiffres est divisible par $3$. Exemple : $126 \to 1+2+6=9$, divisible par $3$.
Par $5$ : le dernier chiffre est $0$ ou $5$.
Par $9$ : la somme des chiffres est divisible par $9$. Exemple : $126 \to 1+2+6=9$, divisible par $9$.
Par $10$ : le dernier chiffre est $0$.

Méthode — trouver tous les diviseurs d'un entier $n$

Exemple pour $n = 36$ :
$1 \times 36$, $2 \times 18$, $3 \times 12$, $4 \times 9$, $6 \times 6$.
À $d = 7$ : $36 \div 7 \approx 5{,}1 \lt 7$, on s'arrête.
Diviseurs : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.

Tester les entiers $1, 2, 3, \ldots$ dans l'ordre croissant.
Quand $d$ divise $n$, le quotient $n \div d$ est aussi un diviseur : noter la paire.
S'arrêter dès que $d$ dépasse le quotient $n \div d$ : toutes les paires sont trouvées.
Écrire les diviseurs en ordre croissant.

Erreurs fréquentes

$0$ est multiple de tout entier (car $0 = a \times 0$) : ne pas l'oublier dans une liste de multiples.
Tout entier est à la fois diviseur et multiple de lui-même.
L'ordre compte : $3$ est diviseur de $12$, mais $12$ n'est pas diviseur de $3$.
Divisibilité par $6$ : il faut être divisible par $2$ et par $3$ simultanément. Exemple : $42$ est pair et $4+2=6$ est divisible par $3$, donc $42$ est divisible par $6$.