Contrôle bientôt et tu viens seulement de croiser les mots multiple et diviseur ? Pas de panique : c'est juste ta table de multiplication regardée dans les deux sens. En quelques minutes, tu as de quoi assurer l'essentiel et arriver serein.
Ce qu'il faut déjà savoir (2 minutes)
Deux petits prérequis suffisent pour démarrer, tu les as déjà.
1. Tes tables de multiplication, au moins jusqu'à 10. Absolument tout part de là.
2. Une multiplication se lit dans les deux sens : $3 \times 6 = 18$ se relit tout aussi bien 18, c'est 3 fois 6. C'est exactement l'idée de la leçon, tu vas voir.
L'essentiel + la formule clé
Le mot compliqué cache une idée simple. On dit que $b$ est un multiple de $a$ quand on peut l'obtenir en multipliant $a$ par un entier $k$ :
Dans ce cas, on dit aussi que $a$ est un diviseur de $b$, et que $b$ est divisible par $a$. Ce sont trois façons de dire la même chose : 18 est un multiple de 3 veut exactement dire 3 est un diviseur de 18.
Trois réflexes qui rapportent gros au contrôle sans poser aucun calcul :
- Divisible par $2$ : le nombre finit par $0, 2, 4, 6$ ou $8$ (il est pair).
- Divisible par $5$ : il finit par $0$ ou $5$.
- Divisible par $10$ : il finit par $0$.
Un exemple fait en entier
Question : est-ce que 15 est un multiple de 5 ? Et quels sont les diviseurs de 12 ?
Multiple de 5 : je cherche par combien multiplier $5$ pour tomber sur $15$.
$5 \times 3 = 15$ : ça marche, avec $k = 3$.
Donc oui, $15$ est un multiple de $5$, et du même coup $5$ est un diviseur de $15$.
Diviseurs de 12 : je liste toutes les multiplications de deux entiers qui donnent $12$.
$12 = 1 \times 12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$.
Les diviseurs de $12$ sont donc : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Tu écris la liste en entier et dans l'ordre : le tour est joué.
Ça y est, le vocabulaire te revient. On reprend la leçon proprement, dans l'ordre, avec les définitions exactes et une méthode que tu pourras dérouler à chaque fois sans même réfléchir.
Les définitions, au propre
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers. On dit que $b$ est un multiple de $a$ lorsqu'il existe un entier $k$ tel que :
La même situation se raconte de quatre manières strictement équivalentes :
- $b$ est un multiple de $a$ ;
- $a$ est un diviseur de $b$ ;
- $b$ est divisible par $a$ ;
- la division de $b$ par $a$ tombe juste (le reste est nul).
Multiple et diviseur sont donc deux points de vue réciproques sur la même égalité : 18 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 18 disent exactement la même chose, vue de deux côtés.
Les critères de divisibilité
Pour tester rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans poser la division, on utilise les critères de divisibilité. Ils sont à connaître par cœur.
- Par $2$ : le dernier chiffre est $0, 2, 4, 6$ ou $8$.
- Par $5$ : le dernier chiffre est $0$ ou $5$.
- Par $10$ : le dernier chiffre est $0$.
- Par $3$ : la somme des chiffres est divisible par $3$. Exemple : $126 \to 1 + 2 + 6 = 9$, divisible par $3$, donc $126$ l'est aussi.
- Par $9$ : la somme des chiffres est divisible par $9$. Exemple : $126 \to 1 + 2 + 6 = 9$, divisible par $9$, donc $126$ l'est aussi.
Deux méthodes à dérouler
Lister les multiples de $a$. On multiplie $a$ par $0, 1, 2, 3, \ldots$ Attention : il y en a une infinité.
Lister les diviseurs de $b$. On cherche toutes les multiplications de deux entiers qui donnent $b$. Là, il y en a un nombre fini.
Assez lu, on met les mains dans le cambouis. Trois exemples qu'on rédige ensemble, ligne par ligne, exactement comme tu devras le faire sur ta copie. Tu suis, tu commentes dans ta tête, et à la fin tu sauras refaire seul.
Ensemble : tous les diviseurs de 36
On veut la liste complète des diviseurs de $36$. La méthode : tester $1, 2, 3, \ldots$ dans l'ordre, et noter chaque paire trouvée.
$1$ divise $36$, car $36 = 1 \times 36$. Paire : $(1 \, ; 36)$.
$2$ divise $36$, car $36 = 2 \times 18$. Paire : $(2 \, ; 18)$.
$3$ divise $36$, car $36 = 3 \times 12$. Paire : $(3 \, ; 12)$.
$4$ divise $36$, car $36 = 4 \times 9$. Paire : $(4 \, ; 9)$.
$5$ ne divise pas $36$ (il ne finit ni par $0$ ni par $5$). On passe.
$6$ divise $36$, car $36 = 6 \times 6$. Cette fois la paire se referme sur elle-même : $(6 \, ; 6)$.
À $d = 7$ : $36 \div 7 \approx 5{,}1$, plus petit que $7$. Les deux colonnes viennent de se croiser : inutile d'aller plus loin.
On range tout dans l'ordre croissant : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Neuf diviseurs, aucun oublié.
Ensemble : 126 est-il divisible par 3, par 9, par 6 ?
On ne pose aucune division : on se sert uniquement des critères.
D'abord la somme des chiffres : $1 + 2 + 6 = 9$.
$9$ est divisible par $3$, donc $126$ est divisible par $3$.
$9$ est aussi divisible par $9$, donc $126$ est divisible par $9$.
Divisible par $6$ ? Il faut être divisible par $2$ et par $3$ en même temps. Or $126$ finit par $6$ : il est pair, donc divisible par $2$. Et on vient de voir qu'il est divisible par $3$.
Les deux conditions sont réunies : $126$ est bien divisible par $6$.
Ensemble : les multiples de 7 jusqu'à 50
On multiplie $7$ par $0, 1, 2, \ldots$ tant qu'on reste sous $50$.
$7 \times 0 = 0,\quad 7 \times 1 = 7,\quad 7 \times 2 = 14,\quad 7 \times 3 = 21$.
$7 \times 4 = 28,\quad 7 \times 5 = 35,\quad 7 \times 6 = 42,\quad 7 \times 7 = 49$.
$7 \times 8 = 56$, on a dépassé $50$ : on s'arrête.
Les multiples de $7$ inférieurs à $50$ sont donc : $0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49$.
Le contrôle, c'est là que les petits pièges tendent leurs cordes. On passe en revue les subtilités que les correcteurs adorent, deux problèmes concrets résolus en entier, et la liste des chausse-trapes à éviter pour ne perdre aucun point bêtement.
Un problème concret : ranger 42 élèves en équipes
Énoncé. Une classe de $42$ élèves doit être répartie en équipes ayant toutes le même nombre d'élèves, sans personne en trop. Quelles tailles d'équipe sont possibles ?
Sans personne en trop signifie que la taille d'une équipe doit être un diviseur de $42$. On cherche donc tous les diviseurs de $42$.
$42 = 1 \times 42 = 2 \times 21 = 3 \times 14 = 6 \times 7$.
À $d = 7$ : $42 = 7 \times 6$, et $6 < 7$ : les paires se croisent, on s'arrête.
Diviseurs de $42$ : $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$.
Réponse rédigée : les tailles d'équipe possibles sont $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21$ ou $42$ élèves. Par exemple $6$ équipes de $7$, ou $7$ équipes de $6$.
Le piège de la divisibilité par 6
Voici un résultat très demandé : un nombre est divisible par $6$ si et seulement si il est divisible par $2$ et par $3$ en même temps.
$42$ finit par $2$ : il est pair, donc divisible par $2$. Et $4 + 2 = 6$ est divisible par $3$, donc $42$ est divisible par $3$. Les deux conditions sont réunies : $42$ est divisible par $6$.
Contre-exemple à garder en tête : $9$ est divisible par $3$ (somme $9$) mais pas par $2$ (il est impair). Il n'est donc pas divisible par $6$. Vérifier une seule des deux conditions ne suffit jamais.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
- $0$ est un multiple de tout entier (car $0 = a \times 0$) : ne l'oublie pas dans une liste de multiples.
- Tout entier est à la fois diviseur et multiple de lui-même : n'oublie ni $1$ ni le nombre lui-même dans une liste de diviseurs.
- L'ordre compte : $3$ est un diviseur de $12$, mais $12$ n'est pas un diviseur de $3$. Diviseur et multiple ne se confondent pas.
- Écris toujours la liste complète et dans l'ordre croissant.
- Justifie chaque étape : $36 = 4 \times 9$ donc $4$ divise $36$ vaut mieux qu'une liste tombée du ciel.
- Pour une divisibilité, cite le critère utilisé (par exemple somme des chiffres pour $3$ et $9$).
Tu maîtrises le contrôle ? Regardons par-dessus la barrière. Ces mêmes idées de multiples et de diviseurs sont les fondations de plusieurs chapitres des années à venir, et on peut même expliquer pourquoi les critères marchent au lieu de les gober tout crus.
Pourquoi le critère de 3 et de 9 fonctionne
En classe on affirme que la somme des chiffres divisible par $9$ suffit. D'où ça sort ? Voici l'idée de la preuve, sur un nombre à trois chiffres $\overline{cdu}$ (chiffre des centaines $c$, des dizaines $d$, des unités $u$) :
$\overline{cdu} = 100 \times c + 10 \times d + u$.
On sépare astucieusement, car $100 = 99 + 1$ et $10 = 9 + 1$ :
$\overline{cdu} = 99 \times c + 9 \times d + (c + d + u)$.
Or $99 \times c + 9 \times d$ est toujours divisible par $9$ (et par $3$). Il ne reste donc qu'à regarder $c + d + u$, c'est-à-dire la somme des chiffres.
Conclusion : le nombre est divisible par $9$ exactement quand sa somme des chiffres l'est. Comme $99$ et $9$ sont aussi divisibles par $3$, le même raisonnement explique le critère de $3$.
Les nombres premiers, briques de tous les nombres
Certains nombres n'ont que deux diviseurs : $1$ et eux-mêmes. On les appelle nombres premiers : $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (le nombre $1$ n'en fait pas partie, il n'a qu'un seul diviseur).
Et voici la surprise : tout entier peut se décomposer en un produit de nombres premiers. Par exemple :
$36 = 6 \times 6 = (2 \times 3) \times (2 \times 3) = 2 \times 2 \times 3 \times 3$.
C'est un peu la carte d'identité du nombre : elle donne d'un coup d'œil de quoi il est fabriqué, et permet de retrouver tous ses diviseurs. Tu croiseras cette décomposition dès les classes suivantes.
À quoi ça sert l'an prochain : PGCD, PPCM, fractions
Les diviseurs et les multiples ne disparaissent pas après la 6e, au contraire : ils reviennent partout.
- Les diviseurs communs à deux nombres, et surtout le plus grand d'entre eux, le PGCD : il sert à simplifier les fractions jusqu'à les rendre irréductibles.
- Les multiples communs à deux nombres, et le plus petit, le PPCM : il sert à additionner des fractions en les mettant au même dénominateur.
Autrement dit, tout le travail que tu fais aujourd'hui sur qui divise qui deviendra l'outil qui rend les calculs de fractions faciles. Rien de ce que tu apprends ici n'est perdu.