Contrôle bientôt et cette histoire de virgule qui se balade te met la pression ? Respire. Multiplier des décimaux, c'est multiplier des entiers, avec une seule précaution tout à la fin. En dix minutes, tu tiens l'essentiel.
Ce qu'il faut déjà savoir
Deux prérequis, pas un de plus :
- Savoir poser et calculer une multiplication de nombres entiers, comme $32 \times 4$ ou $13 \times 24$.
- Savoir compter les chiffres après la virgule d'un nombre décimal : dans $3{,}2$ il y en a $1$, dans $0{,}07$ il y en a $2$ (attention, le zéro compte aussi).
Si ces deux réflexes sont là, le reste n'est qu'une petite règle à appliquer.
L'essentiel, et la formule clé
La recette tient en une phrase : on multiplie comme si les virgules n'existaient pas, puis on replace la virgule dans le résultat.
Reste la seule vraie question : combien de rangs pour la virgule ? Toute l'astuce est là :
Autrement dit : le nombre de chiffres après la virgule dans le résultat est la somme des nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.
Un exemple fait en entier
Étape 1. Je compte les décimales : $3{,}2$ en a $1$, et $4$ en a $0$. Total : $1 + 0 = 1$ décimale.
Étape 2. J'oublie la virgule et je multiplie comme avec des entiers : $32 \times 4 = 128$.
Étape 3. Je replace la virgule en comptant $1$ rang depuis la droite : $128 \to 12{,}8$.
Résultat : $3{,}2 \times 4 = 12{,}8$.
Vérification de bon sens : $3{,}2$ est un peu plus que $3$, donc $3{,}2 \times 4$ doit être un peu plus que $12$. On trouve $12{,}8$ : cohérent. Tu es prêt.
Ah, ça te revient ! La virgule, les décimales à compter, le petit tour de passe-passe... On reprend tout, proprement et dans l'ordre, pour que plus aucun cas ne te surprenne.
Le principe et la règle des décimales
Multiplier deux nombres décimaux, c'est d'abord calculer comme si la virgule n'existait pas, puis la replacer au bon endroit dans le résultat.
Le point délicat, c'est ce « bon endroit ». Il est donné par une règle unique, valable dans tous les cas :
Le nombre de chiffres après la virgule dans le produit est égal à la somme des nombres de chiffres après la virgule dans chacun des deux facteurs.
Par exemple, un facteur à $1$ décimale multiplié par un facteur à $2$ décimales donne un produit à $1 + 2 = 3$ décimales.
La méthode en 3 étapes, dans les deux cas
- Étape 1. Compter le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
- Étape 2. Ignorer les virgules et effectuer la multiplication comme avec des entiers.
- Étape 3. Replacer la virgule dans le résultat en comptant, depuis la droite, autant de rangs qu'à l'étape 1.
La méthode est la même que l'un des facteurs soit entier ou décimal. Voici les deux cas côte à côte.
Décimales : $3{,}2$ en a $1$, $4$ en a $0$, total $1 + 0 = 1$.
Sans virgule : $32 \times 4 = 128$.
On place la virgule $1$ rang depuis la droite : $128 \to 12{,}8$.
Résultat : $3{,}2 \times 4 = 12{,}8$.
Décimales : $1{,}3$ en a $1$, $2{,}4$ en a $1$, total $1 + 1 = 2$.
Sans virgule : $13 \times 24 = 312$.
On place la virgule $2$ rangs depuis la droite : $312 \to 3{,}12$.
Résultat : $1{,}3 \times 2{,}4 = 3{,}12$.
Le raccourci utile : multiplier par 10, 100, 1000
Multiplier par $10$, $100$ ou $1\,000$ ne demande aucun calcul posé : il suffit de faire glisser la virgule vers la droite, d'autant de rangs qu'il y a de zéros.
- $\times 10$ : la virgule glisse d'un rang vers la droite. Ex : $3{,}7 \times 10 = 37$.
- $\times 100$ : la virgule glisse de deux rangs vers la droite. Ex : $3{,}7 \times 100 = 370$.
- $\times 1\,000$ : la virgule glisse de trois rangs vers la droite. Ex : $0{,}45 \times 1\,000 = 450$.
Quand il manque des chiffres, on complète avec des zéros : dans $3{,}7 \times 100$, on décale de $2$ rangs et on ajoute un zéro, ce qui donne $370$.
Assez lu, on prend le stylo ensemble. Je rédige, tu suis chaque ligne, et à la fin tu te diras « c'est tout ? ». Trois exemples types, commentés de bout en bout — rien à faire seul ici, juste à comprendre le geste.
Exemple 1 : décimal × entier (et un piège de zéro)
D'abord les décimales : $4{,}5$ en a $1$, $6$ en a $0$. Total : $1$ décimale à replacer.
On oublie la virgule : $45 \times 6 = 270$.
On place la virgule $1$ rang depuis la droite : $270 \to 27{,}0$.
Et $27{,}0$, c'est simplement $27$ : un zéro tout à droite après la virgule ne change rien, on peut l'enlever.
Résultat : $4{,}5 \times 6 = 27$.
À retenir de cet exemple : on compte quand même la décimale pour placer la virgule, puis on nettoie le zéro final s'il y en a un.
Exemple 2 : décimal × décimal
Décimales : $2{,}5$ en a $1$, $1{,}2$ en a $1$. Total : $1 + 1 = 2$ décimales.
On pose la multiplication des entiers, sans les virgules : $25 \times 12$. Voir le calcul posé sur la figure.
Détail du calcul posé : $25 \times 2 = 50$, puis $25 \times 10 = 250$, et on additionne : $50 + 250 = 300$.
On replace la virgule $2$ rangs depuis la droite : $300 \to 3{,}00$.
Et $3{,}00 = 3$ : les deux zéros de fin après la virgule disparaissent.
Résultat : $2{,}5 \times 1{,}2 = 3$.
Vérification : $2{,}5$ est un peu plus que $2$, $1{,}2$ un peu plus que $1$, donc le produit doit tourner autour de $2$ ou $3$. On trouve $3$ : parfait.
Exemple 3 : deux nombres plus petits que 1
Décimales : $0{,}6$ en a $1$, $0{,}7$ en a $1$. Total : $2$ décimales.
Sans les virgules : $6 \times 7 = 42$.
On place la virgule $2$ rangs depuis la droite. Comme $42$ n'a que deux chiffres, on ajoute un zéro devant pour avoir la place : $42 \to 0{,}42$.
Résultat : $0{,}6 \times 0{,}7 = 0{,}42$.
Multiplier deux nombres plus petits que $1$ donne un résultat encore plus petit que chacun d'eux. Ici $0{,}42$ est bien inférieur à $0{,}6$ comme à $0{,}7$. Si tu avais écrit $4{,}2$ ou $42$, ce test t'aurait mis la puce à l'oreille.
Le contrôle, on ne le subit pas, on le sécurise. Au menu : deux vrais problèmes rédigés comme le correcteur les attend, ce qui rapporte des points, et la liste des pièges qui en font perdre bêtement.
Problème type : une aire de rectangle
Énoncé. Un jardin rectangulaire mesure $3{,}5$ m de long et $2{,}4$ m de large. Quelle est son aire ?
L'aire d'un rectangle se calcule par longueur $\times$ largeur : $\text{aire} = 3{,}5 \times 2{,}4$.
Décimales : $3{,}5$ en a $1$, $2{,}4$ en a $1$, total $2$ décimales.
Sans les virgules : $35 \times 24 = 840$.
On place la virgule $2$ rangs depuis la droite : $840 \to 8{,}40$, c'est-à-dire $8{,}4$.
Conclusion : l'aire du jardin est de $8{,}4$ m$^2$.
- La formule écrite avant le calcul (longueur $\times$ largeur).
- Le calcul détaillé, pas seulement le résultat sorti de la calculatrice.
- Une phrase de conclusion avec la bonne unité : ici des m$^2$, pas des m.
Problème type : le piège des zéros
Énoncé. Calcule $2{,}1 \times 0{,}03$.
Décimales : $2{,}1$ en a $1$. Et $0{,}03$ en a $2$ — le zéro juste après la virgule compte, c'est le piège. Total : $1 + 2 = 3$ décimales.
Sans les virgules : $21 \times 3 = 63$.
On place la virgule $3$ rangs depuis la droite. Comme $63$ n'a que deux chiffres, on complète avec des zéros : $63 \to 0{,}063$.
Résultat : $2{,}1 \times 0{,}03 = 0{,}063$.
Écrire $0{,}63$ au lieu de $0{,}063$, c'est l'erreur numéro un sur ce type de calcul : une seule décimale oubliée, et tout le résultat est faux.
Les pièges classiques (et comment les éviter)
- Oublier de compter un zéro. $0{,}07$ a bien $2$ chiffres après la virgule. Donc à partir de $7 \times 5 = 35$, on obtient $0{,}07 \times 5 = 0{,}35$, et non $3{,}5$.
- Croire qu'un produit est toujours plus grand. Multiplier deux décimaux plus petits que $1$ donne un résultat plus petit : $0{,}5 \times 0{,}8 = 0{,}40$, pas $4$.
- Mal compter les décimales. $2{,}1 \times 0{,}03$ a $1 + 2 = 3$ décimales ; $21 \times 3 = 63$ donne donc $0{,}063$, pas $0{,}63$.
Avant d'écrire ta réponse, estime grossièrement le résultat en arrondissant. Pour $3{,}5 \times 2{,}4$, pense « à peu près $4 \times 2 = 8$ » : ton résultat $8{,}4$ est cohérent. Si tu avais trouvé $84$ ou $0{,}84$, l'estimation t'aurait alerté tout de suite.
Tu appliques la règle sans faute ? Alors regardons pourquoi elle marche, et ce qu'elle prépare pour la suite. Petit spoiler : derrière chaque virgule se cache une fraction, et c'est elle qui explique tout.
Pourquoi la règle des décimales est vraie
La règle « on additionne les décimales » n'est pas une recette magique : elle vient des fractions décimales. Un nombre à décimales est une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$, $1\,000$...
On réécrit chaque facteur en fraction : $1{,}3 = \dfrac{13}{10}$ et $2{,}4 = \dfrac{24}{10}$.
On multiplie les fractions : $\dfrac{13}{10} \times \dfrac{24}{10} = \dfrac{13 \times 24}{10 \times 10} = \dfrac{312}{100}$.
Diviser par $100$, c'est reculer la virgule de $2$ rangs : $\dfrac{312}{100} = 3{,}12$.
Or $10 \times 10 = 100$ apporte exactement $1 + 1 = 2$ zéros au dénominateur. Ces $2$ zéros, ce sont les $2$ décimales du résultat.
Voilà toute l'histoire : les décimales du produit comptent les zéros du dénominateur, et ces zéros s'additionnent quand on multiplie $10$ par $10$. La règle du cours en est la traduction directe.
Une image : le carré unité découpé en 100
On peut aussi le voir géométriquement. Prends un carré de côté $1$. Chaque côté se découpe en $10$ bandes de $0{,}1$, ce qui quadrille le carré en $100$ petits carreaux identiques.
Un seul carreau a pour dimensions $0{,}1 \times 0{,}1$. Comme il y en a $100$ dans le carré de côté $1$, chaque carreau vaut $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
On retrouve $0{,}1 \times 0{,}1 = 0{,}01$ : deux facteurs à $1$ décimale, un produit à $2$ décimales. La règle prend une forme visible, celle d'une aire.
Ce qui t'attend ensuite
Cette notion est une porte d'entrée vers plusieurs sujets des années à venir :
- La division des décimaux : l'opération inverse, où l'on jongle aussi avec la place de la virgule.
- Les puissances de 10 : $10$, $100$, $1\,000$ s'écriront $10^1$, $10^2$, $10^3$, et le décalage de la virgule deviendra une règle sur les exposants.
- Le calcul avec les nombres relatifs et la distributivité (en 5e) : tu multiplieras des décimaux positifs et négatifs, et tu apprendras à distribuer, par exemple $2{,}5 \times (4 + 0{,}2)$.
- Les aires, les volumes et la proportionnalité : dès qu'il y a des mesures avec des virgules, ce calcul revient. C'est un outil que tu utiliseras partout.
Le vrai réflexe d'expert à emporter : ne jamais rendre un produit sans vérifier son ordre de grandeur. C'est ce qui distingue un calcul juste d'un calcul « à la virgule près ».