Tu n'as jamais entendu parler de nombres décimaux, mais un contrôle arrive. Pas de panique : on va découvrir la virgule, son rôle et comment lire un nombre décimal. On s'appuie sur ce que tu connais déjà (les unités, dizaines, centaines, et les fractions simples comme les dixièmes) pour te rendre fonctionnel très vite.
Prérequis : les rangs entiers et les fractions décimales
Un nombre comme 253 est composé de chiffres qui ont un rang : 3 est le chiffre des unités, 5 des dizaines, 2 des centaines. On lit « deux-cent-cinquante-trois ».
Tu connais aussi les fractions : un gâteau coupé en 10 parts égales, une part c'est $\frac{1}{10}$ (un dixième). Si on le coupe en 100 parts, une part c'est $\frac{1}{100}$ (un centième). En 1000 parts, $\frac{1}{1000}$ (un millième).
La virgule et les rangs décimaux
Un nombre décimal possède une partie entière (à gauche de la virgule) et une partie décimale (à droite). Chaque chiffre après la virgule a un rang :
- 1er chiffre après la virgule : les dixièmes ($\frac{1}{10}$)
- 2e : les centièmes ($\frac{1}{100}$)
- 3e : les millièmes ($\frac{1}{1000}$)
Exemple : dans $14{,}375$, la partie entière est 14, la partie décimale est 375 millièmes, soit $0{,}375$. Le chiffre 3 est aux dixièmes, 7 aux centièmes, 5 aux millièmes.
Lire et écrire un décimal
Lire : on lit la partie entière, puis « et », puis la partie décimale en disant son rang le plus à droite.
Exemple : $8{,}074$ se lit « huit et soixante-quatorze millièmes » car 0,074 représente 74 millièmes.
Écrire : « Douze et neuf centièmes » → partie entière 12, zéro dixième, neuf centièmes → $12{,}09$. Attention : $12{,}9
eq 12{,}09$ car le 9 serait aux dixièmes, pas aux centièmes.
À toi de jouer
1. Complète avec les mots : « unités », « dixièmes », « centièmes », « millièmes », « partie entière », « partie décimale ».
Dans le nombre $34{,}207$ :
– la est 34.
– la est 0,207.
– le chiffre 2 est aux .
– le chiffre 0 est aux .
– le chiffre 7 est aux .
Corrigé
Dans le nombre $34{,}207$ :
– la partie entière est 34.
– la partie décimale est 0,207.
– le chiffre 2 est aux dixièmes.
– le chiffre 0 est aux centièmes.
– le chiffre 7 est aux millièmes.
2. Complète la lecture du nombre $5{,}081$.
$5{,}081$ se lit : « cinq et » (utilise le mot pour le rang du dernier chiffre).
Corrigé
$5{,}081$ se lit : « cinq et quatre-vingt-un millièmes ».
3. Écris le nombre décrit puis complète : « Trois et quinze centièmes » → partie entière , zéro ?, quinze centièmes → \,.
Indication : combien de chiffres après la virgule pour aller jusqu'aux centièmes ?
Corrigé
« Trois et quinze centièmes »
Quinze centièmes, c'est $\dfrac{15}{100}$. Pour écrire ce nombre décimal, il te faut deux chiffres après la virgule (dixièmes, puis centièmes).
$15$ centièmes $= 1$ dixième $+ 5$ centièmes : il y a donc un 1 au rang des dixièmes, et un 5 au rang des centièmes. Il n'y a pas de zéro à intercaler.
Complète ainsi :
partie entière $\underline{\hspace{1.1em}} \to 3$ | zéro dixième ? $\underline{\hspace{1.1em}} \to$ Non | quinze centièmes $\to \underline{\hspace{1.1em}}{,}\underline{\hspace{1.1em}}\underline{\hspace{1.1em}} \to 3{,}15$
Le nombre est donc $\boxed{3{,}15}$.
Erreur fréquente à éviter : $3{,}9$ (on oublie que 15 centièmes occupent deux rangs) et $3{,}09$ (on intercale un zéro inutile au rang des dixièmes, ce qui donnerait « zéro dixième et neuf centièmes », soit neuf centièmes seulement).
Tu as déjà croisé les décimaux en primaire… Ah oui, c'est ça ! La virgule sépare deux parties et chaque rang a un nom. On va raviver ces souvenirs et apprendre une méthode pour comparer et ranger sans se tromper.
Rappel : les rangs et leurs noms
Un nombre décimal s'écrit partie entière , partie décimale. Après la virgule, on a successivement : dixièmes, centièmes, millièmes.
Exemple : $102{,}507$ : la partie entière est 102 ; partie décimale 0,507. Le chiffre 5 est aux dixièmes, 0 aux centièmes, 7 aux millièmes.
Méthode : comparer deux décimaux
- Comparer les parties entières. La plus grande donne le plus grand nombre.
- Si les parties entières sont égales, comparer le chiffre des dixièmes. S'ils sont égaux, passer aux centièmes, puis aux millièmes.
- On peut toujours ajouter des zéros à droite de la partie décimale sans changer la valeur : $0{,}5 = 0{,}50 = 0{,}500$. Cela rend la comparaison plus facile.
Exemple : comparer $3{,}9$ et $3{,}12$. On écrit $3{,}9 = 3{,}90$. Comparaison des dixièmes : 9 contre 1 → $3{,}9 > 3{,}12$.
Ranger une liste
Pour ranger, on applique la même idée sur tous les nombres. On peut aligner les rangs en ajoutant des zéros fictifs. Exemple : ranger $1{,}3$ ; $1{,}28$ ; $1{,}305$ dans l'ordre croissant. On écrit $1{,}300$ ; $1{,}280$ ; $1{,}305$, puis on compare centième par centième.
À toi de jouer
1. Complète le tableau de rangs pour $56{,}903$ (ajoute des zéros si besoin).
Partie entière :
Chiffre des dixièmes :
Chiffre des centièmes :
Chiffre des millièmes :
Corrigé
Partie entière : 56
Chiffre des dixièmes : 9
Chiffre des centièmes : 0
Chiffre des millièmes : 3
2. Compare en complétant avec $<$ ou $>$ :
$4{,}7$ $4{,}69$ car $4{,}7 = 4{,}\underline{\hspace{1.1em}} 0$ et dixièmes > dixièmes.
$12{,}03$ $12{,}3$ car dixièmes < dixièmes.
Corrigé
$4{,}7 > 4{,}69$ car $4{,}7 = 4{,}70$ et 7 dixièmes > 6 dixièmes.
$12{,}03 < 12{,}3$ car 0 dixième < 3 dixièmes.
3. Remplis les trous pour ranger dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) : $2{,}8$ ; $2{,}75$ ; $2{,}805$.
Étape 1 : on réécrit avec le même nombre de décimales : $2{,}800$ ; $2{,}\underline{\hspace{1.1em}} 50$ ; $2{,}805$.
Étape 2 : on compare rang par rang → ordre : < < .
Corrigé
Étape 1 : $2{,}800$ ; $2{,}750$ ; $2{,}805$.
Étape 2 : $2{,}750 < 2{,}800 < 2{,}805$ donc $2{,}75 < 2{,}8 < 2{,}805$.
Maintenant que la mécanique est revenue, on va répéter cinq fois la même tâche très simple. Tu vas automatiser le repérage des rangs. Aucun piège : change juste les nombres.
À toi de jouer
1. Dans $12{,}38$, le chiffre des dixièmes est et celui des centièmes est .
Corrigé
Dans $12{,}38$, le chiffre des dixièmes est 3 et celui des centièmes est 8.
2. Dans $7{,}045$, le chiffre des dixièmes est , celui des centièmes est et celui des millièmes est .
Corrigé
Dans $7{,}045$, le chiffre des dixièmes est 0, celui des centièmes est 4 et celui des millièmes est 5.
3. Dans $0{,}9$, le chiffre des dixièmes est . Pour savoir les centièmes, on peut écrire $0{,}90$ : chiffre des centièmes .
Corrigé
Dans $0{,}9$, le chiffre des dixièmes est 9. En écrivant $0{,}90$, le chiffre des centièmes est 0.
4. Dans $103{,}206$, le chiffre des dixièmes est , celui des centièmes est , celui des millièmes est .
Corrigé
Dans $103{,}206$, le chiffre des dixièmes est 2, celui des centièmes est 0, celui des millièmes est 6.
5. Dans $25{,}025$, le chiffre des dixièmes est , celui des centièmes est , celui des millièmes est .
Corrigé
Dans $25{,}025$, le chiffre des dixièmes est 0, celui des centièmes est 2, celui des millièmes est 5.
Tu maîtrises les bases. Il est temps de passer aux exercices comme tu les verras en évaluation : plus autonomes, avec des écritures en chiffres, des comparaisons, des rangements et un petit problème. Tu gères tout seul.
À toi de jouer
1. Pour le nombre $41{,}037$ :
a) Quelle est la partie entière ?
b) Quelle est la partie décimale ?
c) Quel est le chiffre des dixièmes ?
d) Quel est le chiffre des centièmes ?
e) Quel est le chiffre des millièmes ?
Corrigé
a) Partie entière : 41
b) Partie décimale : 0,037
c) Chiffre des dixièmes : 0
d) Chiffre des centièmes : 3
e) Chiffre des millièmes : 7
2. Écris en chiffres :
a) Neuf et huit dixièmes.
b) Soixante-deux et cinq centièmes.
c) Quatre-vingt-un et quarante-trois millièmes.
d) Zéro et douze centièmes.
Corrigé
a) $9{,}8$
b) $62{,}05$
c) $81{,}043$
d) $0{,}12$
3. Compare avec $<$ ou $>$ :
a) $6{,}2$ … $6{,}18$
b) $0{,}54$ … $0{,}6$
c) $13{,}07$ … $13{,}7$
d) $7{,}209$ … $7{,}21$
Corrigé
a) $6{,}2 = 6{,}20 > 6{,}18$ donc $6{,}2 > 6{,}18$
b) $0{,}54 < 0{,}60$ donc $0{,}54 < 0{,}6$
c) $13{,}07 < 13{,}70$ donc $13{,}07 < 13{,}7$
d) $7{,}209 < 7{,}210$ donc $7{,}209 < 7{,}21$
4. Range dans l'ordre croissant (du plus petit au plus grand) :
$5{,}2$ ; $5{,}02$ ; $5{,}21$ ; $5{,}201$.
Corrigé
On réécrit : $5{,}200$ ; $5{,}020$ ; $5{,}210$ ; $5{,}201$.
Ordre : $5{,}020 < 5{,}200 < 5{,}201 < 5{,}210$ soit $5{,}02 < 5{,}2 < 5{,}201 < 5{,}21$.
5. Problème : Voici les temps (en secondes) de cinq coureurs :
Léa : $42{,}7$ s ; Malik : $41{,}95$ s ; Noémie : $42{,}08$ s ; Oscar : $41{,}9$ s ; Perrine : $42{,}15$ s.
a) Range ces temps dans l'ordre croissant.
b) Qui est le plus rapide ?
c) Calcule l'écart entre le meilleur et le moins bon temps.
Corrigé
a) $41{,}90$ (Oscar) < $41{,}95$ (Malik) < $42{,}08$ (Noémie) < $42{,}15$ (Perrine) < $42{,}70$ (Léa).
Donc ordre : $41{,}9 < 41{,}95 < 42{,}08 < 42{,}15 < 42{,}7$.
b) Le plus rapide est celui qui a le temps le plus court : Oscar avec $41{,}9$ s.
c) Écart : $42{,}7 - 41{,}9 = 0{,}8$ seconde.
Tu sais déjà lire et comparer des décimaux. Voyons ce qui t'attend : placer des décimaux sur une droite graduée, encadrer entre deux entiers, et même intercaler un nombre entre deux autres. Ce sont les prémices de ce que tu approfondiras l'année prochaine.
Droite graduée et encadrement
Placer un décimal sur une droite graduée permet de visualiser sa position entre deux entiers. Par exemple, $2{,}47$ est entre 2 et 3, plus proche de 2,5. On peut aussi l'encadrer à l'unité : $2 < 2{,}47 < 3$.
À toi de jouer
1. Sur la demi-droite graduée ci-dessous (unité partagée en 10 parts), place les points d'abscisses $0{,}3$ et $1{,}45$.
Écris un encadrement à l'unité pour chacun.
Corrigé
Pour $0{,}3$, on place le point à 3 petites graduations après 0 (entre 0 et 1). Pour $1{,}45$, c'est entre 1 et 2, à 4 graduations et demie. Encadrements : $0 < 0{,}3 < 1$ ; $1 < 1{,}45 < 2$.
2. Trouve un nombre décimal strictement compris entre $3{,}8$ et $3{,}9$. Justifie ta réponse.
Corrigé
On peut proposer $3{,}85$.
Justification : On réécrit les bornes avec le même nombre de décimales : $3{,}8 = 3{,}80$ et $3{,}9 = 3{,}90$.
Tout nombre de la forme $3{,}8x$ où $x$ est un chiffre vérifiant $1 \leq x \leq 9$ convient, car il est strictement supérieur à $3{,}80$ et strictement inférieur à $3{,}90$.
Par exemple $3{,}81$, $3{,}85$ ou $3{,}89$ sont tous valides.
Remarque : $x = 0$ est exclu car $3{,}80 = 3{,}8$ (égalité, pas strictement supérieur) ; en revanche $x = 9$ est bien autorisé car $3{,}89 < 3{,}90$.
3. Range les nombres suivants sans calculatrice : $0{,}405$ ; $0{,}45$ ; $0{,}045$ ; $0{,}5$ ; $0{,}399$. Explique ta démarche.
Corrigé
On écrit tout avec trois chiffres après la virgule : $0{,}045$ ; $0{,}399$ ; $0{,}405$ ; $0{,}450$ ; $0{,}500$.
En comparant les centièmes et millièmes, on obtient : $0{,}045 < 0{,}399 < 0{,}405 < 0{,}45 < 0{,}5$.