Tu n'as jamais vu la proportionnalité en cours mais tu as un contrôle bientôt ? Pas de panique. On va repartir des bases : la multiplication, la division et les tableaux. La proportionnalité, c'est simplement une histoire de multiplicateur fixe. On va voir ça ensemble, pas à pas, avec des exercices où je te tiens la main. Tu vas remplir des trous et tout va s'éclairer.
Avant de parler proportionnalité, on vérifie les outils. Tu dois être à l'aise avec deux opérations :
La proportionnalité, c'est utiliser ces deux opérations avec un même nombre qu'on appelle le coefficient.
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.
Exemple : si 1 cahier coûte 2 €, alors 3 cahiers coûtent $3 \times 2 = 6$ € et 7 cahiers coûtent $7 \times 2 = 14$ €. Le prix est proportionnel au nombre de cahiers, avec un coefficient $k = 2$.
Ce nombre fixe, c'est le coefficient de proportionnalité. On le trouve en divisant : $k = \frac{\text{valeur d'arrivée}}{\text{valeur de départ}}$. Par exemple, $k = \frac{6 \text{ €}}{3 \text{ cahiers}} = 2 \text{ € par cahier}$.
On le fait ensemble. Complète les trous.
Si 2 kg de pommes coûtent 3 €. On veut le prix de 6 kg.
Le coefficient $k = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ € par kg.
Prix de 6 kg : $6 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ €.
Le coefficient $k = \frac{3}{2} = 1{,}5$ € par kg.
Prix de 6 kg : $6 \times 1{,}5 = 9$ €.
Complète le tableau de proportionnalité pour le prix des stylos.
On sait que 2 stylos coûtent 3 €.
Nombre de stylos : 2 | 4 | 8 | 10
Prix (en €) : 3 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
Indice : trouve d'abord le coefficient $k = \frac{3}{2} = 1{,}5$ € par stylo.
Nombre de stylos : 2 | 4 | 8 | 10
Prix (en €) : 3 | 6 | 12 | 15
Calculs : $4 \times 1{,}5 = 6$ ; $8 \times 1{,}5 = 12$ ; $10 \times 1{,}5 = 15$.
Reconnaître une situation proportionnelle. Complète.
Tableau A : $x$ : 2 | 4 | 6 et $y$ : 5 | 10 | 15.
Calcule $y \div x$ pour chaque colonne : $\frac{5}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\frac{10}{4} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\frac{15}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Le quotient est-il toujours le même ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
La situation est-elle proportionnelle ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Calcule $y \div x$ pour chaque colonne : $\frac{5}{2} = 2{,}5$ ; $\frac{10}{4} = 2{,}5$ ; $\frac{15}{6} = 2{,}5$.
Le quotient est-il toujours le même ? Oui.
La situation est-elle proportionnelle ? Oui.
Ah, la proportionnalité, ça te revient maintenant. On va structurer tout ça avec la méthode du retour à l'unité et le tableau. Tu vas voir, c'est comme une recette de cuisine : une fois qu'on a la règle, on ne se trompe plus. On applique la méthode pas à pas, ensemble.
Voici la méthode en 3 étapes :
Vérifie la cohérence : si la quantité double, la valeur associée doit doubler aussi.
Applique la méthode pour remplir le tableau. Complète les trous.
Une voiture consomme 6 L d'essence pour 100 km.
Distance (km) : 100 | 200 | 50 | 350
Essence (L) : 6 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
Indice : $k = \frac{6}{100} = 0{,}06$ L/km. Utilise ce coefficient pour remplir.
Distance (km) : 100 | 200 | 50 | 350
Essence (L) : 6 | 12 | 3 | 21
Calculs : $200 \times 0{,}06 = 12$ ; $50 \times 0{,}06 = 3$ ; $350 \times 0{,}06 = 21$.
Recette de gâteau pour 4 personnes : 240 g de farine, 80 g de sucre, 3 œufs.
Complète le tableau pour 10 personnes.
Personnes : 4 | 10
Farine (g) : 240 | $\underline{\hspace{1.1em}}$
Sucre (g) : 80 | $\underline{\hspace{1.1em}}$
Œufs : 3 | $\underline{\hspace{1.1em}}$
Indice : trouve le coefficient multiplicateur pour passer de 4 à 10 personnes.
Personnes : 4 | 10
Farine (g) : 240 | 600
Sucre (g) : 80 | 200
Œufs : 3 | 7,5 (on ne peut pas couper un œuf, mais pour l'exercice on garde le calcul)
Calculs : $k = \frac{10}{4} = 2{,}5$. Farine : $240 \times 2{,}5 = 600$ ; Sucre : $80 \times 2{,}5 = 200$ ; Œufs : $3 \times 2{,}5 = 7{,}5$.
Reconnais une situation proportionnelle. Complète.
Tableau B : $x$ : 1 | 2 | 3 | 4 et $y$ : 4 | 7 | 10 | 13
Calcule $y \div x$ pour chaque colonne : $\frac{4}{1} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\frac{7}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\frac{10}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\frac{13}{4} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Le quotient est-il toujours le même ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
La situation est-elle proportionnelle ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Calcule $y \div x$ pour chaque colonne : $\frac{4}{1} = 4$ ; $\frac{7}{2} = 3{,}5$ ; $\frac{10}{3} \approx 3{,}33$ ; $\frac{13}{4} = 3{,}25$.
Le quotient est-il toujours le même ? Non.
La situation est-elle proportionnelle ? Non.
Allez, on muscle ta mémoire avec 5 mini-exercices quasi identiques. Le but : répéter la même mécanique jusqu'à ce que ça devienne automatique. Tu vas calculer des coefficients et remplir des tableaux. C'est simple, on y va.
Complète le tableau de proportionnalité. Coefficient $k = 3$.
$x$ : 2 | 5 | 7 | 10
$y$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 15 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
$x$ : 2 | 5 | 7 | 10
$y$ : 6 | 15 | 21 | 30
Calculs : $2 \times 3 = 6$ ; $7 \times 3 = 21$ ; $10 \times 3 = 30$.
Complète le tableau de proportionnalité. Coefficient $k = 4$.
$x$ : 3 | 6 | 8 | 12
$y$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 24 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
$x$ : 3 | 6 | 8 | 12
$y$ : 12 | 24 | 32 | 48
Calculs : $3 \times 4 = 12$ ; $8 \times 4 = 32$ ; $12 \times 4 = 48$.
Complète le tableau de proportionnalité. Coefficient $k = 0{,}5$.
$x$ : 10 | 20 | 30 | 50
$y$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 10 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
$x$ : 10 | 20 | 30 | 50
$y$ : 5 | 10 | 15 | 25
Calculs : $10 \times 0{,}5 = 5$ ; $30 \times 0{,}5 = 15$ ; $50 \times 0{,}5 = 25$.
Complète le tableau de proportionnalité. Coefficient $k = 2{,}5$.
$x$ : 4 | 8 | 10 | 16
$y$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 20 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
$x$ : 4 | 8 | 10 | 16
$y$ : 10 | 20 | 25 | 40
Calculs : $4 \times 2{,}5 = 10$ ; $10 \times 2{,}5 = 25$ ; $16 \times 2{,}5 = 40$.
Complète le tableau de proportionnalité. Coefficient $k = 1{,}2$.
$x$ : 5 | 10 | 15 | 25
$y$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ | 12 | $\underline{\hspace{1.1em}}$ | $\underline{\hspace{1.1em}}$
$x$ : 5 | 10 | 15 | 25
$y$ : 6 | 12 | 18 | 30
Calculs : $5 \times 1{,}2 = 6$ ; $15 \times 1{,}2 = 18$ ; $25 \times 1{,}2 = 30$.
Tu es prêt pour le contrôle. Voici des exercices du même type que ceux que tu pourrais avoir. Problèmes concrets, tableaux, reconnaissance de situations proportionnelles. Montre de quoi tu es capable.
Complète le tableau de proportionnalité suivant. Le prix de stylos est proportionnel au nombre de stylos achetés. On sait que 2 stylos coûtent 3 €.
Nombre de stylos : 2 | 5 | 8 | 10
Prix (en €) : 3 | ... | ... | ...
Quel est le coefficient de proportionnalité ? Que représente-t-il concrètement ?
Nombre de stylos : 2 | 5 | 8 | 10
Prix (en €) : 3 | 7,50 | 12 | 15
Calculs : $k = 3 \div 2 = 1{,}5$ € par stylo. $5 \times 1{,}5 = 7{,}5$ ; $8 \times 1{,}5 = 12$ ; $10 \times 1{,}5 = 15$.
Le coefficient de proportionnalité est $1{,}5$. Il représente le prix d'un stylo.
Pour chaque tableau, détermine si la situation est proportionnelle. Justifie ta réponse en calculant les quotients $y \div x$.
Tableau A — $x$ : 2 ; 4 ; 6 ; 8 et $y$ : 5 ; 10 ; 15 ; 20
Tableau B — $x$ : 1 ; 2 ; 3 ; 4 et $y$ : 4 ; 7 ; 10 ; 13
Tableau A : $5 \div 2 = 2{,}5$ ; $10 \div 4 = 2{,}5$ ; $15 \div 6 = 2{,}5$ ; $20 \div 8 = 2{,}5$. Proportionnel ($k = 2{,}5$).
Tableau B : $4 \div 1 = 4$ ; $7 \div 2 = 3{,}5$ ; $10 \div 3 \approx 3{,}33$ ; $13 \div 4 = 3{,}25$. Non proportionnel (quotients différents).
Une voiture consomme 6 L d'essence pour 100 km parcourus à vitesse constante.
a) Quelle quantité d'essence consomme-t-elle pour 350 km ?
b) Avec un plein de 45 L, combien de kilomètres peut-elle parcourir ?
a) $k = 6 \div 100 = 0{,}06$ L/km. $350 \times 0{,}06 = 21$ L.
b) $45 \div 0{,}06 = 750$ km.
Une carte routière a une échelle de $\frac{1}{50\,000}$ : 1 cm sur la carte correspond à 50 000 cm dans la réalité.
a) Une route mesure 8 cm sur la carte. Quelle est sa longueur réelle en km ?
b) Un lac a une longueur réelle de 6 km. Quelle est sa longueur sur la carte, en cm ?
a) $8 \times 50\,000 = 400\,000$ cm = 4 000 m = 4 km.
b) 6 km = 600 000 cm. $600\,000 \div 50\,000 = 12$ cm.
Une recette de gâteau pour 4 personnes utilise : 240 g de farine, 80 g de sucre et 3 œufs.
a) Quelle quantité de farine faut-il pour 10 personnes ?
b) Quelle quantité de sucre faut-il pour 6 personnes ?
c) Léa dispose de 9 œufs. Pour combien de personnes peut-elle réaliser cette recette ?
a) $k = 240 \div 4 = 60$ g/pers. $10 \times 60 = 600$ g.
b) $k = 80 \div 4 = 20$ g/pers. $6 \times 20 = 120$ g.
c) $9 \div 3 = 3$ (on multiplie la recette par 3). $4 \times 3 = 12$ personnes.
Tu maîtrises la proportionnalité en 6e ? Voyons ce qui t'attend l'an prochain. On va utiliser la proportionnalité pour comparer des situations, critiquer des résultats et même créer ton propre tableau. Prêt à voir plus loin ?
Compare les deux situations suivantes. Laquelle est la plus avantageuse ? Justifie en utilisant le coefficient de proportionnalité.
Situation A : 3 kg de pommes coûtent 4,50 €.
Situation B : 5 kg de pommes coûtent 7 €.
Situation A : $k = 4{,}5 \div 3 = 1{,}5$ €/kg.
Situation B : $k = 7 \div 5 = 1{,}4$ €/kg.
La situation B est plus avantageuse car le prix au kg est plus bas (1,4 € < 1,5 €).
Voici un tableau partiellement rempli. Détermine si la situation peut être proportionnelle. Critique les données manquantes et propose une correction si nécessaire.
$x$ : 2 | 4 | ? | 10
$y$ : 5 | 10 | 18 | 25
Si proportionnel, $k = 5 \div 2 = 2{,}5$. Vérifions : $4 \times 2{,}5 = 10$ (ok). $25 \div 10 = 2{,}5$ (ok). Pour $y = 18$, $x$ devrait être $18 \div 2{,}5 = 7{,}2$. Donc la valeur manquante est $x = 7{,}2$. La situation peut être proportionnelle si la valeur manquante est 7,2.
Crée ton propre tableau de proportionnalité. Choisis un coefficient de proportionnalité (par exemple 3, 0,5, 1,2...) et remplis un tableau avec au moins 4 colonnes. Vérifie que ton tableau est correct en calculant les quotients.
Exemple avec $k = 3$ :
$x$ : 1 | 3 | 5 | 7
$y$ : 3 | 9 | 15 | 21
Vérification : $3 \div 1 = 3$ ; $9 \div 3 = 3$ ; $15 \div 5 = 3$ ; $21 \div 7 = 3$. Tous les quotients sont égaux à 3, donc le tableau est proportionnel.
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