Contrôle bientôt, proportionnalité jamais vue de ta vie ? Respire un grand coup. C'est l'une des notions les plus utiles et les plus simples de l'année : une seule idée (toujours multiplier par le même nombre) et tu tiens déjà l'essentiel du chapitre. On va droit au but, sans détour.
Ce qu'il faut savoir AVANT (30 secondes)
Bonne nouvelle : tu as déjà tout ce qu'il faut. Il te suffit de trois réflexes que tu connais :
- Multiplier deux nombres (ex : $3 \times 2 = 6$).
- Diviser (partager), ex : $6 \div 2 = 3$.
- Lire un nombre à virgule comme $1{,}5$ (un euro et cinquante centimes) sans paniquer.
C'est tout. Si tu sais faire ces trois choses, tu peux réussir ce contrôle.
L'essentiel, en une phrase, avec les formules
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre fixe. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité, on le note souvent $k$.
Image simple : à la boulangerie, 1 croissant coûte $1{,}20$ €. Alors 2 croissants coûtent le double, 3 croissants le triple... on multiplie toujours par le même prix. C'est ça, la proportionnalité.
$$k = \dfrac{\text{valeur d'arrivée}}{\text{valeur de départ}}$$
Un exemple fait en entier
1 cahier coûte 2 €. Combien coûtent 5 cahiers ?
Étape 1. Ici le coefficient est le prix d'un cahier : $k = 2$ (euros par cahier).
Étape 2. On multiplie la quantité connue par $k$ : $5 \times 2 = 10$.
Étape 3. Donc 5 cahiers coûtent 10 €.
Tu peux vérifier avec le tableau ci-dessous : chaque nombre du bas s'obtient en multipliant celui du haut par 2.
Voilà, ça te revient. Maintenant on pose le cours au propre, avec les mots exacts et la méthode que ton prof veut voir sur ta copie. Rien de nouveau sur le fond : on range juste les idées dans le bon ordre.
Les définitions propres
Une grandeur, c'est quelque chose qui se mesure : un nombre d'objets, un prix, une longueur, une durée, une masse...
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre fixe. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité $k$.
Dans un tableau de proportionnalité, on retrouve le même coefficient partout : chaque valeur du bas divisée par la valeur du haut correspondante donne toujours $k$.
$\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2} = k$
La méthode, pas à pas
- 1. Repérer les deux grandeurs liées (ex : nombre d'articles et prix total), et les ranger sur deux lignes.
- 2. Calculer le coefficient $k$ : diviser une valeur de la 2e ligne par la valeur correspondante de la 1re ligne.
- 3. Multiplier chaque valeur connue de la 1re ligne par $k$ pour obtenir la valeur manquante de la 2e ligne.
- 4. Vérifier la cohérence : si la quantité double, la valeur associée doit doubler aussi.
Le même coefficient agit sur chaque colonne : c'est ce que montre la figure, où l'on multiplie toujours par $1{,}5$ pour passer du haut vers le bas.
Deux méthodes, un même exemple
On veut le prix de 7 kg de pommes, sachant que 2 kg coûtent 3 €. Deux chemins possibles, même résultat.
Étape 1. Coefficient (prix d'un kg) : $k = 3 \div 2 = 1{,}5$ (euros par kg).
Étape 2. Prix de 7 kg : $7 \times 1{,}5 = 10{,}5$.
Résultat : 7 kg coûtent $10{,}5$ €.
Étape 1. On cherche d'abord le prix de 1 kg : $3 \div 2 = 1{,}5$ €.
Étape 2. Puis on multiplie par 7 : $7 \times 1{,}5 = 10{,}5$ €.
Même résultat : $10{,}5$ €. Les deux méthodes sont, au fond, la même idée.
On déroule ensemble, ligne par ligne, comme si j'étais assise à côté de toi. Ici tu ne cherches rien tout seul : tu regardes comment on rédige et comment on raisonne, pour réutiliser exactement la même façon de faire ensuite.
Exemple 1 — trouver une valeur manquante
2 kg de pommes coûtent 3 €. Quel est le prix de 7 kg ? Puis de 5 kg ?
Ligne 1. Les deux grandeurs sont la masse (en kg) et le prix (en €). C'est proportionnel : plus il y a de pommes, plus on paie, en multipliant par le même prix au kilo.
Ligne 2. On cherche le coefficient, c'est-à-dire le prix d'un kg : $k = 3 \div 2 = 1{,}5$ € par kg.
Ligne 3. Prix de 7 kg : $7 \times 1{,}5 = 10{,}5$ €.
Ligne 4. Prix de 5 kg : $5 \times 1{,}5 = 7{,}5$ €.
Ligne 5. On vérifie que ça a du sens : 5 kg coûtent moins que 7 kg, et $7{,}5 < 10{,}5$. C'est cohérent.
Exemple 2 — proportionnel ou pas ?
La suite de prix 4 ; 7 ; 10 ; 13 est-elle proportionnelle aux quantités 1 ; 2 ; 3 ; 4 ?
Ligne 1. Attention au piège : on passe de 4 à 7 en ajoutant 3, puis de 7 à 10 en ajoutant 3 encore. On ajoute toujours le même nombre... mais proportionnel veut dire multiplier par le même nombre, pas ajouter.
Ligne 2. On teste le rapport (bas divisé par haut) sur chaque colonne : $4 \div 1 = 4$, puis $7 \div 2 = 3{,}5$, puis $10 \div 3 \approx 3{,}33$.
Ligne 3. Ces rapports sont différents ($4$, puis $3{,}5$, puis $3{,}33$...). Il n'y a pas de coefficient unique.
Conclusion. Ce n'est pas une situation proportionnelle.
La figure compare ce cas (rapports qui changent) avec un vrai tableau proportionnel (rapport constant égal à 4).
Exemple 3 — compléter un tableau
4 stylos identiques coûtent 6 €. Combien coûtent 10 stylos ? Et combien de stylos peut-on acheter avec 3 € ?
Ligne 1. Coefficient (prix d'un stylo) : $k = 6 \div 4 = 1{,}5$ € par stylo.
Ligne 2. Prix de 10 stylos : $10 \times 1{,}5 = 15$ €.
Ligne 3. Pour la dernière question, on fait le chemin inverse : on divise le prix par $k$. Nombre de stylos pour 3 € : $3 \div 1{,}5 = 2$.
Conclusion. 10 stylos coûtent 15 €, et avec 3 € on achète 2 stylos.
Niveau contrôle, maintenant. On voit les petites astuces qui font gagner du temps, un problème type rédigé comme il faut, et surtout ce que le correcteur coche (ou barre). C'est ici qu'on va chercher les points qui font la différence.
Les astuces qui font gagner du temps
Dans un tableau de proportionnalité, tu n'es pas obligé de toujours repasser par le coefficient. Deux propriétés te font aller plus vite :
Si tu multiplies une quantité par un nombre, la valeur associée est multipliée par le même nombre. Si 3 kg coûtent $4{,}5$ €, alors 6 kg (le double) coûtent $9$ € (le double).
Tu peux additionner deux colonnes. Si 2 kg coûtent 3 € et 3 kg coûtent $4{,}5$ €, alors $2+3 = 5$ kg coûtent $3 + 4{,}5 = 7{,}5$ €.
Ces raccourcis donnent toujours le même résultat que le coefficient : $5 \times 1{,}5 = 7{,}5$ €. Utilise celui qui tombe le plus juste selon les nombres de l'énoncé.
Un problème type entièrement résolu
Une recette de crêpes pour 4 personnes demande 6 œufs et 500 g de farine. On veut la préparer pour 6 personnes. Combien faut-il d'œufs et de farine ?
Étape 1. La quantité d'ingrédients est proportionnelle au nombre de personnes.
Étape 2 (les œufs). Pour 1 personne, $6 \div 4 = 1{,}5$ œuf. Pour 6 personnes : $6 \times 1{,}5 = 9$ œufs.
Étape 3 (la farine). Pour 1 personne : $500 \div 4 = 125$ g. Pour 6 personnes : $6 \times 125 = 750$ g.
Astuce de vérification. 6 personnes, c'est 4 personnes + 2 personnes. Or 2 personnes, c'est la moitié de 4, donc $3$ œufs et $250$ g. On additionne : $6 + 3 = 9$ œufs et $500 + 250 = 750$ g. On retrouve le même résultat.
Conclusion. Il faut 9 œufs et 750 g de farine.
Ce que le correcteur attend, et les pièges
- Écrire pourquoi c'est proportionnel (ex : « le prix est proportionnel à la quantité »).
- Montrer le calcul du coefficient et son unité (ex : $1{,}5$ € par kg), pas juste le nombre seul.
- Faire apparaître chaque opération : $7 \times 1{,}5 = 10{,}5$, pas seulement le résultat.
- Conclure par une phrase avec l'unité (« 7 kg coûtent $10{,}5$ € »).
- Une suite qui augmente du même nombre (ex : $4 ; 7 ; 10 ; 13$, soit $+3$ à chaque fois) n'est pas proportionnelle : il faut un même rapport, pas une même différence.
- Dans une situation proportionnelle, si la quantité est $0$, la valeur associée est aussi $0$ (le tableau « part de zéro »).
- Ne pas diviser dans le mauvais sens : vérifie que ton $k$ est bien identique dans toutes les colonnes.
Tu tiens la notion ? Alors regarde où elle t'emmène. La proportionnalité est partout, et surtout elle a une tête bien reconnaissable dès qu'on la dessine. Voici un aperçu de la suite, sans pression, juste pour voir plus loin.
La même idée, cachée partout
Une fois que tu sais reconnaître un coefficient, tu vas le voir surgir dans plein de situations :
- Les pourcentages : prendre 20 % d'un prix, c'est multiplier par le coefficient $0{,}2$.
- Les échelles (cartes, plans) : « 1 cm sur la carte pour 2 km en vrai », encore un coefficient constant.
- Les vitesses : à vitesse constante, la distance est proportionnelle à la durée.
- Les conversions : passer des heures aux minutes, c'est multiplier par 60.
Ce sont toutes des situations où l'on multiplie toujours par le même nombre : exactement ce que tu viens d'apprendre.
Quand on la dessine : une droite qui part de l'origine
Si tu places dans un graphique les points d'un tableau de proportionnalité (par exemple la masse en kg sur l'axe horizontal, le prix en € sur l'axe vertical), il se passe quelque chose de joli : les points sont alignés, et la droite qui les relie passe par l'origine (le point $O$, en bas à gauche, où tout vaut zéro).
Cette droite partant de l'origine, c'est la « signature » visuelle de la proportionnalité. Et cela explique une règle vue plus haut : à zéro kg correspond zéro euro, donc la droite doit bien passer par le point de départ $O$.
Si les points ne sont pas alignés, ou si la droite ne passe pas par l'origine, alors ce n'est pas proportionnel : tu as là un moyen de le vérifier d'un simple coup d'œil.
L'an prochain : produit en croix et fonction linéaire
Deux prolongements t'attendent dans les classes suivantes, et tu as déjà tout pour les comprendre :
Dans un tableau de proportionnalité, on aura le droit d'écrire une égalité de fractions comme $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$, puis de « croiser » : $y_1 \times x_2 = y_2 \times x_1$. C'est une façon rapide de trouver une valeur manquante sans calculer le coefficient.
La relation « on multiplie toujours par $k$ » s'écrira sous la forme d'une formule, $y = k \times x$. Le coefficient $k$ que tu manipules aujourd'hui deviendra le fameux « coefficient directeur » de la droite que tu viens de dessiner.
Une idée de justification. Pourquoi la droite passe-t-elle forcément par l'origine ? Parce que $0 \times k = 0$ : quelle que soit la valeur du coefficient, zéro fois quoi que ce soit donne zéro. La proportionnalité et le zéro sont donc inséparables.