proportionnalité 5 eme : reconnaître et choisir la bonne méthode

Cette page traite la proportionnalité 5 eme dans l'ordre d'un exercice : vérifier qu'une situation est proportionnelle, puis choisir la méthode de calcul, sur des exemples résolus en entier.

Cours de proportionnalité 5 eme : la définition et le test du tableau

En cinquième, deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Pour le vérifier dans un tableau, on divise chaque valeur de la seconde ligne par celle de la première : si tous les quotients sont égaux, c'est un tableau de proportionnalité.

Une grandeur, c'est ce qui se mesure ou se compte : une durée, une masse, un prix, une distance, un nombre d'objets. La proportionnalité ne concerne jamais une grandeur toute seule. Elle décrit un lien entre deux grandeurs, et ce lien doit valoir pour toutes les valeurs du tableau, pas seulement pour une ou deux colonnes.

L'exemple le plus sûr est une conversion. Pour passer d'un nombre d'heures à un nombre de minutes, on multiplie toujours par 60, que la durée soit courte ou longue.

Durée (en heures)	1	2	3
Durée (en minutes)	60	120	180

Le test se fait colonne par colonne. Vous divisez le nombre du bas par le nombre du haut, puis vous passez à la colonne suivante. Sur la copie, la justification tient en deux lignes : les quotients reliés par des signes égal, puis une phrase qui conclut.

60/1 = 120/2 = 180/3 = 60

Tous les quotients sont égaux à 60, donc ce tableau est un tableau de proportionnalité, de coefficient 60. Sans les calculs, la phrase « c'est proportionnel » ne justifie rien.

Diviser dans l'autre sens, le haut par le bas, marche aussi. On obtient un autre nombre, lui aussi constant, qui permet de revenir de la seconde ligne à la première. Ce qui compte, c'est de garder le même sens de division pour toutes les colonnes.

Un seul quotient différent suffit pour conclure que le tableau n'est pas de proportionnalité, même si toutes les autres colonnes donnent le même résultat. Le tableau suivant décrit un magasin qui vend des stylos identiques et baisse le prix à partir d'un certain nombre.

Nombre de stylos	2	4	10
Prix payé (en euros)	3	6	12

Les quotients valent 3/2 = 1,5, puis 6/4 = 1,5, puis 12/10 = 1,2. Le dernier diffère des deux premiers, donc ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

Une colonne (0 ; 0) demande une précaution. On ne peut pas diviser par zéro, donc on écarte cette colonne et on compare les quotients des autres colonnes. Elle ne contredit pas la proportionnalité, puisque zéro multiplié par le coefficient donne zéro. Une colonne où le 0 du haut correspond à un nombre non nul en bas suffit, elle, à conclure que le tableau n'est pas de proportionnalité.

Ouvrez le premier tableau de notre page d'exercices de proportionnalité en cinquième et calculez tous les quotients avant de lire les questions.

Reconnaître une situation de proportionnalité dans un énoncé

Dans un problème rédigé, il n'y a souvent aucun tableau. C'est alors à l'élève de décider si la situation est proportionnelle, et cette décision doit être justifiée avant le moindre calcul.

Certains mots de l'énoncé portent cette hypothèse. « Des cahiers identiques », « au même prix », « à vitesse constante », « le même débit » : ces expressions signalent que chaque unité apporte toujours la même quantité, et c'est exactement ce qui rend la situation proportionnelle. Quand l'énoncé ne contient rien de tel, la proportionnalité n'est pas acquise, même si les nombres semblent s'y prêter.

Une recette suit cette logique. Chaque convive demande la même quantité de chaque ingrédient, donc la quantité totale est proportionnelle au nombre de convives. C'est cette régularité qui justifie la proportionnalité, pas le fait qu'un doublement ait marché une fois.

Deux vérifications rapides servent à éliminer. La première consiste à doubler une grandeur en pensée et à regarder si l'autre double aussi. Si elle ne double pas, la situation n'est pas proportionnelle. Si elle double, rien n'est prouvé : le tableau des stylos vu plus haut passe ce test entre 2 et 4 stylos, et il n'est pas proportionnel.

La seconde vérification porte sur zéro. Dans une situation proportionnelle, à zéro correspond zéro : aucun cahier acheté ne coûte rien. Si zéro ne donne pas zéro, la situation n'est pas proportionnelle. Si zéro donne bien zéro, cela ne prouve rien à lui seul.

Les situations proportionnelles du collège prennent souvent les mêmes formes : un prix calculé à partir d'un prix à l'unité, une recette adaptée au nombre de convives, une distance parcourue à vitesse constante, une conversion d'unités.

Avant de calculer, soulignez dans l'énoncé le mot qui garantit la proportionnalité. Si vous ne le trouvez pas, calculez tous les quotients disponibles ou passez par les contre-exemples de la section suivante.

Les situations qui ressemblent à de la proportionnalité sans en être

Deux grandeurs qui augmentent ensemble ne sont pas forcément proportionnelles. Les situations ci-dessous ont toutes l'apparence de la proportionnalité, et aucune n'en relève.

Le prix avec des frais fixes. Un site de vente en ligne facture chaque article au même prix, puis ajoute des frais de livraison identiques quelle que soit la commande. Commander deux fois plus d'articles ne double pas le total, parce que les frais ne changent pas. Le prix des articles seuls est proportionnel à leur nombre, le total payé ne l'est pas. Un abonnement qui comporte un montant de base fonctionne de la même façon.

La taille selon l'âge. Un enfant grandit avec les années, mais sa taille ne double pas le jour où son âge a doublé. Les deux grandeurs augmentent ensemble sans jamais être liées par un coefficient.

L'âge de deux personnes. Quand un enfant prend un an, sa mère prend un an elle aussi. L'écart entre leurs âges reste le même. Ici, on ajoute toujours le même nombre, on ne multiplie pas par le même nombre. Cette confusion entre ajouter et multiplier est au centre du chapitre : une situation où l'écart reste constant n'est pas une situation de proportionnalité.

Le côté et l'aire d'un carré. Le périmètre d'un carré est proportionnel à son côté, puisqu'on multiplie toujours le côté par 4. Son aire ne l'est pas. Si le côté double, l'aire est multipliée par 4 et non par 2. La même figure donne donc une grandeur proportionnelle et une autre qui ne l'est pas.

Les lots et les promotions. Dès que le prix d'une unité change avec la quantité achetée, la proportionnalité disparaît. Le tableau des stylos du cours en donne le cas type : 2 stylos coûtent 3 euros et 4 stylos coûtent 6 euros, le prix double donc bien entre ces deux colonnes. Au même prix unitaire, 10 stylos coûteraient 15 euros. Avec la baisse, ils en coûtent 12.

Dans chacun de ces cas, un doublement qui échoue suffit à écarter la proportionnalité. Un doublement qui réussit ne suffit pas à l'établir, comme le montrent les stylos. Testez plusieurs valeurs, ou calculez tous les quotients, avant de chercher un coefficient qui n'existe peut-être pas.

Coefficient, passage à l'unité ou linéarité : quelle méthode choisir

Une fois la proportionnalité établie, il reste à calculer la valeur manquante. Les méthodes du chapitre donnent toutes le même résultat. Elles ne demandent pas le même effort selon les nombres de l'énoncé, et c'est ce critère qui doit décider.

Le même problème sert pour les trois méthodes : 2 cahiers identiques coûtent 3 euros, 5 cahiers coûtent 7,50 euros, combien coûtent 7 cahiers ?

Nombre de cahiers	2	5	7
Prix (en euros)	3	7,5	?

Les cahiers sont identiques, donc le prix est proportionnel au nombre de cahiers. Les deux colonnes connues le confirment : 3/2 = 7,5/5 = 1,5.

Le coefficient de proportionnalité

On cherche le nombre qui fait passer de la première grandeur à la seconde, en divisant une valeur connue de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première. Chaque valeur manquante s'obtient ensuite par une seule multiplication.

Sur le problème des cahiers, le coefficient vaut 3 ÷ 2 = 1,5. La case vide se remplit par 7 × 1,5 = 10,5. Sept cahiers coûtent 10,50 euros.

C'est la méthode la plus rapide quand le tableau compte beaucoup de cases vides, ou quand le coefficient est un nombre simple, comme dans une conversion d'unités. Elle devient pénible quand la division ne tombe pas juste. Avec un coefficient égal à 4 ÷ 3, on transporte une valeur arrondie d'un calcul à l'autre, et l'arrondi décale tous les résultats qui suivent : 6 × 1,33 donne 7,98 alors que la valeur exacte est 8. Deux solutions évitent ce décalage. On garde le coefficient sous forme de fraction, ici 4/3, jusqu'au dernier calcul, et 6 × 4/3 donne exactement 8. On peut aussi passer par la linéarité, qui n'utilise aucun coefficient.

Le passage à l'unité

On calcule d'abord la valeur qui correspond à une seule unité, puis on multiplie par la quantité demandée.

Sur le problème des cahiers, un cahier coûte 3 ÷ 2 = 1,50 euro. Sept cahiers coûtent 7 × 1,50 = 10,50 euros. Le calcul est le même que pour le coefficient, parce que la première ligne compte les cahiers un par un : le coefficient est alors le prix d'un cahier. La différence tient à la rédaction, où chaque nombre porte un nom.

Cette méthode se prête bien à une explication à voix haute, parce que chaque étape a un sens concret : le prix d'un cahier, la quantité de farine pour une personne, la distance parcourue en une heure. Elle se complique quand la valeur d'une seule unité n'est pas un nombre simple.

La linéarité

On travaille directement sur les colonnes connues, sans chercher de coefficient. Si l'on connaît le prix d'une quantité, le prix du double est le double de ce prix et le prix de la moitié en est la moitié : c'est la propriété multiplicative. Si l'on connaît les prix de deux quantités différentes, le prix de leur somme est la somme des deux prix : c'est la propriété additive.

Sur le problème des cahiers, 7 = 2 + 5. Le prix de 7 cahiers est donc la somme du prix de 2 cahiers et du prix de 5 cahiers : 3 + 7,5 = 10,5. Sept cahiers coûtent 10,50 euros, sans aucune division.

Ce calcul se fait souvent de tête. La linéarité n'est commode que si la quantité cherchée se construit facilement à partir des quantités connues.

Le tableau de choix

Les trois méthodes aboutissent au même prix, 10,50 euros. Sur ce problème, la linéarité est la plus courte, parce que 7 est la somme des deux quantités connues.

Méthode	À choisir quand	Ce qu'on écrit sur la copie
Coefficient	le tableau a beaucoup de cases vides, ou le coefficient est simple	le calcul du coefficient, puis une multiplication par case
Passage à l'unité	la valeur d'une seule unité est un nombre simple	la valeur d'une unité, puis la multiplication par la quantité
Linéarité	la quantité cherchée est un double, une moitié ou une somme de quantités connues	la relation utilisée entre les colonnes

Aucune méthode n'est meilleure dans tous les cas. Sur la page d'exercices de proportionnalité en cinquième, nommez la méthode la plus courte avant d'écrire le premier calcul, puis contrôlez le résultat avec une autre méthode.

Pourcentages, échelles et vitesses : des cas de proportionnalité

Appliquer un pourcentage revient à utiliser la proportionnalité. La quantité de départ et la part que l'on en prend sont proportionnelles, et le coefficient est le taux divisé par cent. Calculer un pourcentage d'une quantité, c'est donc multiplier cette quantité par ce coefficient.

Une échelle de carte suit la même règle. La distance mesurée sur la carte et la distance réelle sont proportionnelles, et l'échelle donne le coefficient qui relie les deux. Le point délicat est celui des unités. Une distance sur la carte se mesure en centimètres, une distance réelle s'exprime souvent en kilomètres, et le calcul n'a de sens que si les deux distances sont exprimées dans la même unité.

Les vitesses posent la même question. Une distance parcourue à vitesse constante est proportionnelle à la durée du trajet, à condition que la durée soit exprimée dans l'unité de la vitesse : des heures pour une vitesse en kilomètres par heure. Une durée donnée en minutes doit d'abord être convertie, et cette conversion est elle-même un calcul de proportionnalité.

Dans un exercice d'échelle ou de vitesse, écrivez l'unité à côté de chaque nombre du tableau. Une unité qui ne correspond pas se repère alors avant le calcul.

Après la cinquième : le produit en croix et la fonction linéaire

La proportionnalité ne s'arrête pas en cinquième. Dans nos fiches de 4e, la même idée prend la forme de la quatrième proportionnelle : trois valeurs d'un tableau de proportionnalité sont connues, et l'on calcule la quatrième par le produit en croix. La fiche de cours sur la quatrième proportionnelle et le produit en croix présente la règle, et la fiche d'exercices correspondante permet de l'appliquer.

Le produit en croix découle directement de l'égalité des quotients vue au début de cette page. Si deux colonnes d'un tableau ont le même quotient, le produit des nombres placés en diagonale est le même dans les deux sens. Dans le tableau des cahiers, 2 × 7,5 = 15 et 5 × 3 = 15. C'est pour cette raison qu'il ne s'utilise qu'une fois la proportionnalité établie : sur un tableau qui n'est pas proportionnel, il donne un nombre, mais ce nombre ne veut rien dire.

Dans nos fiches de 3e, la proportionnalité devient une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère, et un graphique devient un autre moyen de reconnaître une situation proportionnelle : les points doivent être alignés sur une droite passant par l'origine. La fiche de cours sur les fonctions linéaires et les exercices sur la proportionnalité et les fonctions linéaires montrent ce passage.

Ces fiches se consultent en ligne et s'impriment. Si le chapitre de cinquième est acquis, lisez la fiche de 4e sur le produit en croix pour voir d'où vient la règle avant de devoir l'appliquer.

Se faire aider en maths au collège, en présentiel

Vidyalaya est une association loi 1901, implantée dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019 et entièrement bénévole depuis février 2024. Nous faisons du soutien scolaire au collège, en maths, en français, en SVT et en physique-chimie. Les cours ont repris en septembre 2026, en présentiel, à raison de 2 heures par semaine.

Ils se tiennent à deux adresses : Paris 10e, au 16 rue Demarquay, et Paris 19e, à l'École démocratique, au 6 rue Léon Giraud. Pour le soutien scolaire, la participation aux frais se situe entre 10 et 15 € de l'heure de cours. Le montant exact est arrêté à l'inscription, selon la situation.

Nous ne promettons pas de note. Cette page est un cours de méthode : elle ne rend pas compte de nos séances et ne s'appuie sur aucun bilan chiffré de ce chapitre. Une séance apporte ce qu'une page ne peut pas apporter, c'est-à-dire une personne qui lit le raisonnement de l'élève pendant qu'il cherche.

Pour une inscription ou une question, écrivez-nous depuis la page contact.

Questions fréquentes

Comment savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité ?

On divise chaque nombre de la seconde ligne par le nombre placé au-dessus. Si tous les quotients sont égaux, le tableau est de proportionnalité, et ce quotient commun est le coefficient. Une colonne (0 ; 0) s'écarte, car on ne divise pas par zéro, et l'on compare les quotients des autres colonnes. Un seul quotient différent suffit pour dire non.

Deux grandeurs qui augmentent ensemble sont-elles proportionnelles ?

Pas forcément. La taille d'un enfant augmente avec son âge sans lui être proportionnelle. Un doublement réussi ne prouve rien non plus : il faut que le quotient soit le même pour toutes les valeurs.

Quelle méthode choisir pour trouver une valeur manquante ?

Celle qui donne les calculs les plus simples avec les nombres de l'énoncé. La linéarité convient quand la quantité cherchée est un double ou une somme de quantités connues. Le passage à l'unité convient quand une seule unité a une valeur simple, et le coefficient quand il y a beaucoup de cases à remplir.

Peut-on utiliser le produit en croix en cinquième ?

Oui, le calcul est juste dès que la proportionnalité est établie. Il n'est jamais nécessaire pour autant : le coefficient, le passage à l'unité et la linéarité suffisent toujours pour justifier une réponse en cinquième. Si l'enseignant demande une méthode précise sur la copie, c'est sa consigne qui s'applique.