Salut, pas de panique. Tu as un contrôle sur la quatrième proportionnelle mais tu n'as jamais vu ça en cours ? On va partir de ce que tu connais déjà : la proportionnalité vue en 5eme, avec les pourcentages et les échelles. Tu vas voir, c'est juste une technique pour trouver la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité quand on en connaît trois. On y va ensemble, étape par étape.

Ce que tu sais déjà (les prérequis de 5eme)

Proportionnalité : deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple : 1 kg de pommes coûte 3 euros. Le prix est proportionnel à la masse. Le coefficient est 3 (euros par kg). Pour 5 kg, on paie $5 \times 3 = 15$ euros.

Pourcentages : un pourcentage, c'est une proportion pour 100. 30% de 200, c'est $\frac{30}{100} \times 200 = 60$.

Échelles : sur une carte, les distances sont proportionnelles aux distances réelles. Une échelle 1 : 1000 signifie que 1 cm sur la carte représente 1000 cm en réalité.

Le produit en croix : l'idée

Quand trois valeurs d'un tableau de proportionnalité sont connues et une manquante, on utilise le produit en croix pour trouver la quatrième. C'est une formule rapide.

Égalité des rapports : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$

Produit en croix : $a \times x = b \times c$

Pour isoler $x$ (la valeur qu'on cherche), on divise de chaque côté par $a$ : $x = \dfrac{b \times c}{a}$

Important : $a$ n'est jamais zéro. Les produits se font en diagonale puis on divise par le nombre en face de $x$.

À toi de jouer

1. Dans ce tableau, les grandeurs sont proportionnelles. Complète :
Prix (euros) : 2 → $\underline{\hspace{1.1em}}$
Masse (kg) : $\underline{\hspace{1.1em}}$ → 7
Le coefficient de proportionnalité est 3.
Ainsi, la masse inconnue est $\underline{\hspace{1.1em}}$ kg et le prix inconnu est $\underline{\hspace{1.1em}}$ euros.
Corrigé
Prix (euros) : 2 → 21
Masse (kg) : 2/3 → 7
Le coefficient de proportionnalité est 3.
Ainsi, la masse inconnue est $\frac{2}{3}$ kg (car 2 divisé par 3) et le prix inconnu est $7 \times 3 = 21$ euros.
2. Complète le produit en croix pour trouver $x$.
$\dfrac{5}{8} = \dfrac{x}{12}$
Produit en croix : $5 \times \underline{\hspace{1.1em}} = 8 \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$5 \times 12 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Produit en croix : $5 \times 12 = 8 \times x$
$60 = 8x$
Donc $x = \dfrac{60}{8} = 7{,}5$
3. Même exercice, avec $x$ ailleurs dans l'égalité.
$\dfrac{3}{x} = \dfrac{9}{15}$
Produit en croix : $3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = x \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$3 \times 15 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Produit en croix : $3 \times 15 = x \times 9$
$45 = 9x$
$x = \dfrac{45}{9} = 5$

Ah oui, la quatrième proportionnelle ! Tu l'as peut-être déjà croisée sans t'en rendre compte. Ici, on va réactiver la méthode du produit en croix et la structurer pour ne plus jamais hésiter. Souviens-toi : trois valeurs connues, une inconnue, et la formule magique.

Méthode pas-à-pas

1. Repérer les quatre valeurs dans le tableau. Deux colonnes, deux grandeurs. On connaît trois valeurs, on cherche la quatrième, souvent notée $x$.

2. Écrire l'égalité des rapports : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$ (ou $\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{c}$ selon la place de l'inconnue).

3. Appliquer le produit en croix : $a \times x = b \times c$. Les termes sont multipliés en diagonale.

4. Isoler $x$ : $x = \dfrac{b \times c}{a}$ (on divise de chaque côté par $a$).

5. Vérifier l'ordre de grandeur et l'unité. Une erreur fréquente : croiser les mauvaises valeurs (ex : faire $a \times c$ au lieu de $b \times c$).

Exemple fil rouge

Problème : 4 stylos coûtent 6 euros. Combien coûtent 10 stylos ?

Tableau de proportionnalité :

Stylos410
Euros6x

Égalité : $\dfrac{4}{6} = \dfrac{10}{x}$

Produit en croix : $4 \times x = 6 \times 10$ → $4x = 60$

Résultat : $x = \dfrac{60}{4} = 15$. 10 stylos coûtent 15 euros.

À toi de jouer

1. Applique la méthode. Complète les produits en croix pour trouver $x$.
$\dfrac{7}{3} = \dfrac{x}{9}$
Produit en croix : $\underline{\hspace{1.1em}} \times x = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé

Pour $\dfrac{7}{3} = \dfrac{x}{9}$, le produit en croix s'obtient en multipliant en diagonale : le numérateur de chaque fraction avec le dénominateur de l'autre.

Produit en croix : $3 \times x = 7 \times 9$
$3x = 63$
$x = \dfrac{7 \times 9}{3} = \dfrac{63}{3} = \boxed{21}$

Vérification : $\dfrac{7}{3} = \dfrac{21}{9}$ ? On simplifie $\dfrac{21}{9} = \dfrac{7}{3}$ ✓

2. Ici, $x$ est au dénominateur. Complète.
$\dfrac{12}{x} = \dfrac{4}{5}$
Produit en croix : $12 \times \underline{\hspace{1.1em}} = x \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Produit en croix : $12 \times 5 = x \times 4$
$60 = 4x$
$x = \dfrac{60}{4} = 15$
3. Problème de recette avec trous. 6 oeufs pour 4 personnes. Combien pour 10 personnes ?
Tableau : Personnes : $\underline{\hspace{1.1em}}$ → $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; Oeufs : 6 → $x$.
Égalité : $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Produit en croix : $\underline{\hspace{1.1em}} \times x = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}$
$x = \underline{\hspace{1.1em}}$ oeufs.
Corrigé
Tableau : Personnes : 4 → 10 ; Oeufs : 6 → $x$.
Égalité : $\dfrac{6}{4} = \dfrac{x}{10}$
Produit en croix : $4x = 60$ → $x = 15$ oeufs.

Maintenant, on automatise. Cinq mini-exercices quasiment identiques pour que le produit en croix devienne un réflexe. Fais-les à la suite, sans stress, la réussite est garantie.

À toi de jouer

1. Calcule $x$ : $\dfrac{2}{10} = \dfrac{x}{25}$
Corrigé
$2 \times 25 = 10 \times x$
$50 = 10x$
$x = 5$
2. Calcule $x$ : $\dfrac{4}{16} = \dfrac{x}{20}$
Corrigé
$4 \times 20 = 16 \times x$
$80 = 16x$
$x = 5$
3. Calcule $x$ : $\dfrac{6}{30} = \dfrac{x}{45}$
Corrigé
$6 \times 45 = 30 \times x$
$270 = 30x$
$x = 9$
4. Calcule $x$ : $\dfrac{5}{15} = \dfrac{x}{12}$
Corrigé
$5 \times 12 = 15 \times x$
$60 = 15x$
$x = 4$
5. Calcule $x$ : $\dfrac{8}{32} = \dfrac{x}{40}$
Corrigé
$8 \times 40 = 32 \times x$
$320 = 32x$
$x = 10$

On passe au niveau attendu en contrôle. Problèmes concrets, échelles, et pièges classiques. Tu es prêt(e), applique la méthode et vérifie toujours la cohérence de tes réponses.

Astuces avant de se lancer

Dans un problème : identifie toujours les deux grandeurs et les unités. Convertis si nécessaire (ex : km en cm pour une échelle). Le produit en croix te donne une égalité entre produits : si tu as un doute, repasse par le coefficient de proportionnalité.

À toi de jouer

1. Une voiture consomme 6 litres de carburant pour parcourir 100 km. Quelle distance parcourra-t-elle avec 15 litres ? Résous avec un tableau et le produit en croix.
Corrigé
Litres615
Km100x
$\dfrac{6}{100} = \dfrac{15}{x}$
$6x = 1500$
$x = 250$ km.
2. Une carte a une échelle de 1 : 25 000. La distance réelle entre deux points est 3,75 km. Quelle distance les sépare sur la carte (en cm) ?
Corrigé
3,75 km = 375 000 cm.
$\dfrac{1}{25 000} = \dfrac{x}{375 000}$
$25 000 \times x = 375 000$
$x = 15$ cm.
3. Pour faire un gâteau au chocolat pour 6 personnes, il faut 210 g de sucre. Léo veut le même gâteau pour 15 personnes. Détermine la masse de sucre nécessaire.
Corrigé
$\dfrac{210}{6} = \dfrac{x}{15}$
$6x = 3150$
$x = 525$ g.
4. Un robinet fuit de manière régulière : 4 litres d'eau perdus en 10 minutes. Combien de temps faut-il pour perdre 22 litres ? Combien de litres perdus en une heure ?
Corrigé
a) $\dfrac{4}{10} = \dfrac{22}{x}$ → $4x = 220$ → $x = 55$ minutes.
b) 1h = 60 min. $\dfrac{4}{10} = \dfrac{x}{60}$ → $10x = 240$ → $x = 24$ litres.

Tu maîtrises la quatrième proportionnelle ? Parfait. Voici des exercices qui t'emmènent un peu plus loin, avec des changements d'unités complexes et des situations où il faut comparer des proportions, comme tu le feras au lycée.

À toi de jouer

1. Un piéton parcourt 450 mètres en 5 minutes. Quelle est sa vitesse en km/h ? Pense à convertir les unités avant d'utiliser le produit en croix.
Corrigé
450 m = 0,45 km ; 5 min = 5/60 h = 1/12 h.
Distance proportionnelle au temps.
$\dfrac{0,45}{1/12} = \dfrac{x}{1}$
$0,45 \times 1 = \frac{1}{12} \times x$
$x = 0,45 \times 12 = 5,4$ km/h.
2. Une imprimante imprime 18 pages en 3 minutes. Une autre imprime 32 pages en 5 minutes. Compare leurs débits (en pages/minute) pour déterminer laquelle est la plus rapide.
Corrigé
Débit 1 : 18/3 = 6 pages/min.
Débit 2 : 32/5 = 6,4 pages/min.
La seconde est plus rapide.
3. Sur un plan de maison à l'échelle 1/200, la surface du salon est un rectangle de 5 cm sur 4 cm. Quelle est l'aire réelle du salon en mètres carrés ? (Attention : les aires ne sont pas proportionnelles à l'échelle linéaire.)
Corrigé
Dimensions réelles : longueur = 5 cm × 200 = 1000 cm = 10 m ; largeur = 4 cm × 200 = 800 cm = 8 m.
Aire réelle = 10 × 8 = 80 m².
(On peut aussi faire : aire plan = 20 cm² ; échelle au carré = 200² = 40 000 ; aire réelle = 20 × 40 000 cm² = 800 000 cm² = 80 m²).