Pas de panique ! On attaque la proportionnalité et les fonctions linéaires, même si tu n'as jamais entendu parler de la leçon. Si tu sais déjà faire un tableau de proportionnalité et placer un point dans un repère, tu vas vite comprendre. On va voir l'essentiel pour être opérationnel pour ton contrôle.
Qu'est-ce qu'une fonction linéaire ?
Quand deux grandeurs sont proportionnelles, le rapport $\dfrac{y}{x}$ est toujours le même nombre, noté $a$. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. On peut alors exprimer $y$ en fonction de $x$ par une formule : $y = a \times x$. Une telle fonction s’appelle une fonction linéaire et on la note $f(x) = a x$.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère (le point $(0\,;\,0)$). C’est ce qui distingue une fonction linéaire d’une autre fonction.
Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
Pour vérifier si deux grandeurs sont proportionnelles (et donc si on a affaire à une fonction linéaire), on calcule les rapports $\dfrac{y}{x}$ pour plusieurs valeurs de $x$ (attention, $x$ doit être différent de $0$). Si tous ces rapports sont égaux, alors il y a proportionnalité et le rapport commun est le coefficient $a$.
Sur un graphique, si les points sont alignés avec l’origine, la situation est linéaire.
À toi de jouer
1. Complète le tableau suivant pour vérifier la proportionnalité. $$ \begin{array}{c|c} x & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & 5 & 10 & \underline{\hspace{1.1em}} \end{array} $$ Calcule les rapports : $\dfrac{5}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{10}{4} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Tous ces rapports sont , donc il s’agit d’un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est $a = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$$ \begin{array}{c|c} x & 2 & 4 & 6 \\ \hline y & 5 & 10 & 15 \end{array} $$ Rapports : $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$, $\dfrac{10}{4} = 2{,}5$, $\dfrac{15}{6} = 2{,}5$. Tous égaux à 2,5 donc proportionnel, $a = 2{,}5$.
2. Pour chaque expression, indique si c’est une fonction linéaire et, si oui, donne le coefficient $a$. $$ \begin{aligned} f(x) &= 3x \quad \rightarrow \; \text{linéaire, } a = \underline{\hspace{1.1em}} \\ g(x) &= x+2 \quad \rightarrow \; \text{non linéaire, car il y a } \underline{\hspace{1.1em}} \text{ ajouté} \\ h(x) &= -x \quad \rightarrow \; \text{linéaire, } a = \underline{\hspace{1.1em}} \\ k(x) &= \dfrac{x}{4} \quad \rightarrow \; \text{linéaire, } a = \underline{\hspace{1.1em}} \end{aligned} $$
Corrigé
$f(x)=3x$ : linéaire, $a=3$ ; $g(x)=x+2$ : non linéaire, car il y a $+2$ ajouté ; $h(x)=-x$ : linéaire, $a=-1$ ; $k(x)=\dfrac{x}{4}$ : linéaire, $a=\dfrac{1}{4}$.
Ah oui, la fonction linéaire c’est $f(x)=ax$, elle passe par l’origine, et $a$ est le coefficient. On va se remettre en mémoire les calculs d’images et d’antécédents, avec une méthode en quatre étapes.
Rappel structuré
Définition : $f(x)=ax$ avec $a$ réel non nul.
Coefficient : $a = \dfrac{y}{x}$ pour tout couple $(x,y)$ tel que $x eq 0$ sur la droite.
Image : $f(x_0)=a \times x_0$
Antécédent de $k$ : résoudre $a x = k$ soit $x = \dfrac{k}{a}$.
Propriété : $f(0)=0$ toujours.
Erreurs fréquentes : ne pas confondre image et antécédent — $f(6)=12$ : 6 est antécédent, 12 image. Attention, $f(x)=2x+3$ n’est pas linéaire (c’est affine).
Méthode pas-à-pas
1. Vérifier que c’est une fonction linéaire (tableau proportionnel, droite passant par l’origine, ou expression de la forme $ax$). 2. Déterminer le coefficient $a$ : soit il est donné dans l’expression $f(x)=ax$, soit on le calcule avec un point $A(x_A,y_A)$ en utilisant $a = \dfrac{y_A}{x_A}$. 3. Écrire la fonction : $f(x)=ax$. 4. S’en servir pour calculer des images (multiplier) ou des antécédents (diviser).
À toi de jouer
1. La droite représentant une fonction linéaire $f$ passe par le point $A(3\,;\,12)$. Trouve $a$ et écris $f(x)$. $$ a = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} \quad\text{donc}\quad f(x) = \underline{\hspace{1.1em}} $$
Corrigé
$a = \dfrac{12}{3} = 4$ donc $f(x) = 4x$.
2. Soit $f(x) = 2{,}5x$. Calcule l’image de 4 puis l’antécédent de 15. $$ \text{Image : } f(4) = 2{,}5 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} $$ $$ \text{Antécédent : } 2{,}5x = 15 \Rightarrow x = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}} $$
Des exercices de niveau contrôle pour vérifier que tu maîtrises bien tous les aspects : reconnaître une fonction linéaire, déterminer son coefficient, calculer images et antécédents, résoudre un problème concret. C’est le moment de s’entraîner sur du type brevet.
À toi de jouer
1. Pour chaque tableau, justifie si les grandeurs sont proportionnelles. $$ \text{Tableau 1 : } \begin{array}{c|c} x & 2 & 5 & 7 \\ \hline y & 10 & 25 & 35 \end{array} \quad \text{Tableau 2 : } \begin{array}{c|c} x & 1 & 3 & 4 \\ \hline y & 3 & 8 & 11 \end{array} $$
Corrigé
Tableau 1 : $\dfrac{10}{2}=5$, $\dfrac{25}{5}=5$, $\dfrac{35}{7}=5$ donc proportionnel, $a=5$. Tableau 2 : $\dfrac{3}{1}=3$, $\dfrac{8}{3}\approx2,67$, $\dfrac{11}{4}=2,75$ non proportionnel.
2. Soit $f(x)=1{,}4x$. Calcule $f(5)$, $f(-3)$ et l’antécédent de $21$.
Corrigé
$f(5)=1{,}4\times5=7$ ; $f(-3)=1{,}4\times(-3)=-4{,}2$ ; antécédent de 21 : $x=\dfrac{21}{1{,}4}=15$.
3. Détermine le coefficient de la fonction linéaire $f$ dans chaque cas. a) Sa droite passe par $A(2\,;\,10)$ ; b) $f(4)=-6$ ; c) elle passe par $B(0{,}8\,;\,4)$ ; d) $f(-1)=5$. Pour chaque cas, écris l’expression de $f$.
Corrigé
a) $a=\frac{10}{2}=5$ donc $f(x)=5x$ ; b) $a=\frac{-6}{4}=-1{,}5$ donc $f(x)=-1{,}5x$ ; c) $a=\frac{4}{0{,}8}=5$ donc $f(x)=5x$ ; d) $a=\frac{5}{-1}=-5$ donc $f(x)=-5x$.
4. Un magasin vend des pommes à $2{,}80$ € le kilogramme. On appelle $P(m)$ le prix à payer (en €) pour $m$ kilogrammes. a) Montre que $P$ est une fonction linéaire et donne son coefficient. b) Calcule le prix pour $6$ kg. c) Quelle masse peut-on acheter avec $19{,}60$ € ?
Corrigé
a) $P(m)=2{,}8m$ : le prix est proportionnel à la masse, coefficient $2{,}8$. b) $P(6)=2{,}8\times6=16{,}80$ €. c) Résoudre $2{,}8m=19{,}60$ donne $m=\dfrac{19{,}6}{2{,}8}=7$ kg.
5. $f$ est une fonction linéaire telle que $f(8)=20$. Sans calculer le coefficient $a$, utilise la propriété $f(kx)=k f(x)$ pour calculer : a) $f(16)$ ; b) $f(4)$ ; c) $f(24)-f(16)$.
Corrigé
a) $f(16)=f(2\times8)=2\times f(8)=2\times20=40$ ; b) $f(4)=f(\frac{8}{2})=\frac{1}{2}\times f(8)=\frac{20}{2}=10$ ; c) $f(24)=f(3\times8)=3\times20=60$, donc $f(24)-f(16)=60-40=20$.
Tu es prêt pour le contrôle, maintenant un petit aperçu de ce qui t’attend l’an prochain : les fonctions affines, et comment utiliser les fonctions linéaires dans des problèmes plus complexes, comme en géométrie.
Vers les fonctions affines
Une fonction affine s’écrit $f(x)=ax+b$. Si $b eq 0$, sa droite ne passe pas par l’origine. L’an prochain, tu étudieras en détail ces fonctions et tu verras qu’une fonction linéaire est un cas particulier d’affine (avec $b=0$).
La proportionnalité en géométrie
Le théorème de Thalès fournit des relations de proportionnalité entre longueurs. Ainsi, une longueur peut s’exprimer comme une fonction linéaire d’une autre. Tu verras au lycée que l’on peut modéliser de nombreuses situations géométriques par des fonctions.
À toi de jouer
1. Associe chaque droite à son expression algébrique. Observe la figure : $$ \begin{aligned} &\text{Droite } d_1 \text{ passe par } (0,0) \text{ et } (1,2) \\ &\text{Droite } d_2 \text{ passe par } (0,1) \text{ et } (1,3) \\ &\text{Droite } d_3 \text{ passe par } (0,0) \text{ et } (2,-1) \end{aligned} $$ Indique pour chaque droite si elle est linéaire ou affine, et donne son expression.
Corrigé
$d_1$ passe par l’origine et (1,2) donc $a=2$, linéaire : $f(x)=2x$. $d_2$ ne passe pas l’origine, affine : $f(x)=2x+1$. $d_3$ passe par l’origine et (2,-1) donc $a=-0,5$, linéaire : $f(x)=-0,5x$.
2. Un photographe agrandit une photo rectangulaire de dimensions initiales 10 cm sur 15 cm. Le facteur d’agrandissement est un nombre $k>0$. On note $L(k)$ la nouvelle largeur et $l(k)$ la nouvelle longueur. a) Exprime $L(k)$ et $l(k)$ comme des fonctions linéaires. b) Exprime le périmètre $P(k)$ en fonction de $k$. Est-ce une fonction linéaire ? c) Exprime l’aire $A(k)$ en fonction de $k$. Est-ce une fonction linéaire ?
Corrigé
a) $L(k)=10k$ et $l(k)=15k$, deux fonctions linéaires de coefficients 10 et 15. b) $P(k)=2(10k+15k)=50k$ : oui, linéaire de coefficient 50. c) $A(k)=10k\times15k=150k^2$ : ce n’est pas une fonction linéaire (c’est une fonction carré, que tu étudieras l’an prochain).
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