V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques3eFonctionsExercices + corrigé

Proportionnalité et fonctions linéaires — Exercices

De l'identification à la résolution de problème. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée
1Reconnaître la proportionnalité/ 3 pts

Pour chaque tableau, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Justifier en calculant les rapports $\dfrac{y}{x}$. Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.

  1. Tableau A — $x$ : $2$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ et $y$ : $7$ ; $14$ ; $21$ ; $28$
  2. Tableau B — $x$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ et $y$ : $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$
  3. Tableau C — $x$ : $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ et $y$ : $0$ ; $4$ ; $8$ ; $12$
2Images et antécédents/ 4 pts
Soit $f(x) = 2{,}5x$.
  1. Calculer $f(4)$.
  2. Calculer $f(7)$.
  3. Calculer $f(-3)$.
  4. Trouver l'antécédent de $15$ par $f$.
3Déterminer le coefficient directeur/ 4 pts

Dans chaque cas, $f$ est une fonction linéaire. Trouver $a$ et écrire l'expression de $f$.

  1. La droite représentant $f$ passe par $A(3\,;\,12)$.
  2. La droite représentant $f$ passe par $B(5\,;\,-15)$.
  3. La droite représentant $f$ passe par $C(0{,}4\,;\,2)$.
  4. $f(6) = 9$.
4Problème — Tarif de taxi/ 4 pts

Un taxi facture $1{,}8$ € par kilomètre, sans forfait de prise en charge. On appelle $p(d)$ le prix total (en euros) pour un trajet de $d$ kilomètres.

  1. Montrer que $p$ est une fonction linéaire. Donner son expression.
  2. Calculer le prix pour un trajet de $12$ km.
  3. Un client dispose de $27$ €. Quelle distance maximale peut-il parcourir ?
5Calcul malin — Linéarité/ 3 pts

$f$ est une fonction linéaire telle que $f(7) = 35$. Répondre sans calculer $a$ au préalable, en utilisant la propriété $f(k \times x) = k \times f(x)$.

  1. Calculer $f(14)$.
  2. Calculer $f(3{,}5)$.
  3. Calculer $f(21) - f(14)$.
Corrigé détaillé
1Reconnaître la proportionnalité
A) \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5 ;\quad \dfrac{14}{4} = 3{,}5 ;\quad \dfrac{21}{6} = 3{,}5 ;\quad \dfrac{28}{8} = 3{,}5\) \(\text{Proportionnel, coefficient } a = 3{,}5\)
B) \(\dfrac{3}{1} = 3 \neq \dfrac{5}{2} = 2{,}5\) \(\text{Non proportionnel (les rapports ne sont pas égaux).}\)
C) \(\dfrac{4}{1} = 4 ;\quad \dfrac{8}{2} = 4 ;\quad \dfrac{12}{3} = 4\) \(\text{Proportionnel, coefficient } a = 4\)
2Images et antécédents
a) \(f(4) = 2{,}5 \times 4 =\) \(10\)
b) \(f(7) = 2{,}5 \times 7 =\) \(17{,}5\)
c) \(f(-3) = 2{,}5 \times (-3) =\) \(-7{,}5\)
d) \(2{,}5 \times x = 15 \implies x = \dfrac{15}{2{,}5} =\) \(6\)
3Déterminer le coefficient directeur
A(3 ; 12) \(a = \dfrac{12}{3} = 4\) \(f(x) = 4x\)
B(5 ; −15) \(a = \dfrac{-15}{5} = -3\) \(f(x) = -3x\)
C(0,4 ; 2) \(a = \dfrac{2}{0{,}4} = 5\) \(f(x) = 5x\)
f(6) = 9 \(a = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\) \(f(x) = 1{,}5x\)
4Problème — Tarif de taxi
a) \(\text{Prix} = 1{,}8 \times d : \text{ rapport constant } 1{,}8\text{, aucune constante ajoutée.}\) \(p(d) = 1{,}8d \text{ (fonction linéaire, } a = 1{,}8\text{)}\)
b) \(p(12) = 1{,}8 \times 12 =\) \(21{,}6 \text{ €}\)
c) \(1{,}8 \times d = 27 \implies d = \dfrac{27}{1{,}8} =\) \(15 \text{ km}\)
5Calcul malin — Linéarité
a) \(f(14) = f(2 \times 7) = 2 \times f(7) = 2 \times 35 =\) \(70\)
b) \(f(3{,}5) = f\!\left(\dfrac{7}{2}\right) = \dfrac{1}{2} \times f(7) = \dfrac{35}{2} =\) \(17{,}5\)
c) \(f(21) = f(3 \times 7) = 3 \times 35 = 105 ;\quad f(21) - f(14) = 105 - 70 =\) \(35\)