Proportionnalité et fonctions linéaires

Les prérequis à avoir en tête

Avant de te lancer, trois réflexes suffisent :

• Lire un point dans un repère : un point $A$ a deux coordonnées, notées $A(x\,;\,y)$ — d'abord l'abscisse $x$ (horizontale), puis l'ordonnée $y$ (verticale).
• Savoir multiplier et diviser deux nombres, y compris avec un nombre négatif ou une virgule.
• Comprendre qu'une fonction $f$ transforme un nombre $x$ en un autre nombre noté $f(x)$ : une petite machine « j'entre $x$, il sort $f(x)$ ».

L'essentiel + la formule clé

Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe toujours de l'une à l'autre en multipliant par le même nombre. Ce nombre s'appelle le coefficient de proportionnalité, noté $a$.

Traduit en fonction, cela donne une fonction linéaire :

$$f(x) = a \times x \qquad (a \neq 0)$$

Deux choses à retenir absolument :

• Pour trouver le coefficient à partir d'un couple $(x\,;\,y)$ avec $x \neq 0$ : $a = \dfrac{y}{x}$.
• Le graphe d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine $O(0\,;\,0)$.

Un exemple fait en entier

Prenons $f(x) = 3x$ (donc $a = 3$). Calculons $f(5)$.

Étape 1 — j'écris la formule en remplaçant $x$ par $5$ : $f(5) = 3 \times 5$.

Étape 2 — je calcule le produit : $f(5) = 15$.

Et une image avec un nombre négatif, $f(-2)$ :

$f(-2) = 3 \times (-2) = -6$.

C'est tout : une fonction linéaire, ça se calcule en une seule multiplication.

Les définitions au propre

Proportionnalité. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque le quotient (le rapport) de l'une par l'autre est constant. Ce quotient constant est le coefficient de proportionnalité $a$.

Fonction linéaire. Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax$, où $a$ est un nombre fixé non nul. Modéliser une situation de proportionnalité, c'est exactement lui associer la fonction linéaire $f(x) = ax$.

Image et antécédent. Le nombre $f(x_0)$ s'appelle l'image de $x_0$. Réciproquement, si $f(x) = k$, alors $x$ est un antécédent de $k$. Autrement dit : on part de $x$ pour aller vers son image ; on part de $k$ pour remonter à un antécédent.

Formules, méthode, et « linéaire ou affine ? »

Les quatre relations à savoir manier :

• Définition : $f(x) = ax$ avec $a \neq 0$.
• Coefficient : $a = \dfrac{y}{x}$ pour $x \neq 0$.
• Image d'un réel $x_0$ : $f(x_0) = a \times x_0$.
• Antécédent d'un nombre $k$ : on résout $ax = k$, d'où $x = \dfrac{k}{a}$.

Méthode pas à pas pour exploiter une droite passant par l'origine :

• 1. Vérifier que la droite passe bien par l'origine $O(0\,;\,0)$.
• 2. Lire les coordonnées d'un point $(x_0\,;\,y_0)$ de la droite, avec $x_0 \neq 0$.
• 3. Calculer le coefficient $a = \dfrac{y_0}{x_0}$.
• 4. Écrire $f(x) = ax$, puis s'en servir pour toute image ou tout antécédent.

Linéaire ou affine ? Si la droite passe par l'origine, la fonction est linéaire ($f(x) = ax$). Si elle coupe l'axe des ordonnées ailleurs qu'en $O$, elle est affine ($f(x) = ax + b$ avec $b \neq 0$) et n'est donc pas linéaire.

Trois exemples traités

Calculer une image. Soit $f(x) = 3x$. Alors $f(5) = 3 \times 5 = 15$ et $f(-2) = 3 \times (-2) = -6$.

Trouver le coefficient. Une droite passe par l'origine et par $A(4\,;\,10)$. Le coefficient vaut $a = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$, donc $f(x) = 2{,}5x$.

Trouver un antécédent. Avec $f(x) = 2{,}5x$, l'antécédent de $15$ vérifie $2{,}5x = 15$, d'où $x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$.

Exemple 1 — image et antécédent, ligne par ligne

On travaille avec la fonction linéaire $f(x) = 2{,}5x$. Objectif : calculer l'image de $4$, puis l'antécédent de $20$.

Image de 4.

Ligne 1 — je remplace $x$ par $4$ dans $f(x) = 2{,}5x$ : $f(4) = 2{,}5 \times 4$.

Ligne 2 — je calcule le produit : $f(4) = 10$.

Conclusion : l'image de $4$ est $10$ (le point $(4\,;\,10)$ est donc sur la droite).

Antécédent de 20.

Ligne 1 — chercher l'antécédent de $20$, c'est résoudre $f(x) = 20$, soit $2{,}5x = 20$.

Ligne 2 — je divise les deux membres par $2{,}5$ : $x = \dfrac{20}{2{,}5}$.

Ligne 3 — je calcule : $x = 8$.

Conclusion : $8$ est l'antécédent de $20$. Vérification : $2{,}5 \times 8 = 20$. Parfait.

Exemple 2 — retrouver la fonction à partir d'un point

Sur un graphique, une droite passe par l'origine et par le point $A(4\,;\,10)$. On veut son expression $f(x) = ax$.

Ligne 1 — la droite passe par l'origine : c'est bien une fonction linéaire, il y a donc un coefficient $a$ à déterminer.

Ligne 2 — je lis un point autre que l'origine : $A(4\,;\,10)$, donc $x_0 = 4$ et $y_0 = 10$.

Ligne 3 — j'applique $a = \dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$.

Ligne 4 — je conclus : $f(x) = 2{,}5x$.

Petit contrôle : $f(4) = 2{,}5 \times 4 = 10$, on retombe bien sur $A$. C'est cohérent.

Exemple 3 — est-ce vraiment de la proportionnalité ?

Un tableau donne le prix payé selon le nombre de cahiers achetés : $2$ cahiers $\to 3$ €, $4$ cahiers $\to 6$ €, $5$ cahiers $\to 7{,}5$ €. Est-ce proportionnel ?

Ligne 1 — je calcule le rapport prix divisé par quantité pour chaque colonne : $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

Ligne 2 — colonne suivante : $\dfrac{6}{4} = 1{,}5$.

Ligne 3 — dernière colonne : $\dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$.

Ligne 4 — le rapport est constant, égal à $1{,}5$ : c'est bien une situation de proportionnalité, modélisée par $f(x) = 1{,}5x$ (le prix d'un cahier est $1{,}5$ €).

Un problème type entièrement résolu

Énoncé. Au marché, $3$ kg de pommes coûtent $7{,}50$ €. Le prix est proportionnel à la masse. On note $f(x)$ le prix (en euros) de $x$ kg de pommes.

Question 1 — Donner l'expression de $f$.

Le prix est proportionnel à la masse, donc $f$ est linéaire : $f(x) = ax$.

Je connais un couple : $3$ kg coûtent $7{,}50$ €, donc $f(3) = 7{,}5$.

D'où $a = \dfrac{7{,}5}{3} = 2{,}5$. Le prix d'un kilo est $2{,}5$ €, et donc $f(x) = 2{,}5x$.

Question 2 — Combien coûtent $5$ kg ?

Je calcule l'image de $5$ : $f(5) = 2{,}5 \times 5 = 12{,}5$. Donc $5$ kg coûtent $12{,}50$ €.

Question 3 — Avec $20$ €, quelle masse puis-je acheter ?

Je cherche l'antécédent de $20$ : $2{,}5x = 20$, donc $x = \dfrac{20}{2{,}5} = 8$. Avec $20$ €, j'achète $8$ kg.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points.

• Justifier que la fonction est linéaire AVANT d'écrire $f(x) = ax$ : « le prix est proportionnel à la masse, donc… ».
• Montrer le calcul du coefficient $a = \dfrac{y}{x}$ avec les valeurs, pas seulement le résultat.
• Écrire les unités dans la réponse finale (€, kg) et rédiger une phrase de conclusion.
• Distinguer clairement image (« combien ça coûte ») et antécédent (« quelle masse, combien de… »).

Les pièges classiques.

• Confondre image et antécédent : $f(6) = 12$ veut dire que $12$ est l'image de $6$, et $6$ l'antécédent de $12$ — pas l'inverse.
• Croire que $f(x) = 2x + 3$ est linéaire : non, elle ne passe pas par l'origine, c'est une fonction affine.
• Vouloir calculer $a$ avec le point $(0\,;\,0)$ : $\dfrac{0}{0}$ n'a pas de sens (forme indéterminée). Il faut toujours un point d'abscisse non nulle.
• Oublier de tester la proportionnalité : si un tableau donne des rapports différents, ce n'est PAS linéaire.

Subtilité — reconnaître une fonction linéaire à coup sûr

Trois tests, équivalents entre eux, pour affirmer qu'une situation est linéaire :

• Par le tableau : tous les rapports $\dfrac{y}{x}$ sont égaux (au même nombre $a$).
• Par le graphe : les points sont alignés avec l'origine (une droite passant par $O$).
• Par l'expression : elle s'écrit $f(x) = ax$, sans terme constant ajouté.

Ces trois tests reviennent au même : il suffit d'en appliquer un. S'il échoue, la fonction n'est pas linéaire (elle est peut-être affine, ou pas une fonction du tout).

D'où vient la formule : la linéarité

Pourquoi une fonction linéaire « respecte » si bien la proportionnalité ? Parce qu'elle possède deux propriétés remarquables, faciles à démontrer.

Propriété d'additivité. Pour $f(x) = ax$ :

$f(x_1) + f(x_2) = a x_1 + a x_2 = a(x_1 + x_2) = f(x_1 + x_2)$.

Traduction concrète : le prix de $2$ kg plus le prix de $3$ kg égale le prix de $5$ kg. Logique — et c'est exactement l'idée de proportionnalité.

Propriété d'homogénéité. Pour tout nombre $k$ : $f(kx) = a(kx) = k(ax) = k \times f(x)$. Doubler la quantité double le prix.

Ces deux règles, additivité et homogénéité, forment ce qu'on appelle la linéarité — d'où le nom « fonction linéaire ».

Le coefficient, c'est une pente (cap sur la seconde)

Le coefficient $a$ mesure de combien monte la droite quand $x$ augmente de $1$ : c'est sa pente, aussi appelée coefficient directeur.

Sur le graphe : si on avance de $1$ vers la droite, on monte de $a$. Plus $a$ est grand, plus la droite est raide ; si $a$ était négatif, la droite descendrait.

Cette année déjà, en ajoutant un terme constant $b$, tu obtiens une fonction affine $f(x) = ax + b$ : la droite garde la même pente $a$, mais démarre à la hauteur $b$ sur l'axe des ordonnées, au lieu de passer par l'origine. En seconde, tu iras plus loin avec ces mêmes fonctions affines : sens de variation selon le signe de $a$, tableau de signes et résolution d'inéquations. La fonction linéaire n'est que le cas particulier $b = 0$.

Le pont secret : proportionnalité et pourcentages

Appliquer un pourcentage, c'est appliquer une fonction linéaire. Prendre $t\%$ d'un nombre $x$, c'est calculer $f(x) = \dfrac{t}{100} \times x$.

Par exemple, prendre $20\%$ revient à multiplier par $\dfrac{20}{100} = 0{,}2$, donc $f(x) = 0{,}2x$. Et une remise qui te fait payer $80\%$ du prix correspond à $f(x) = 0{,}8x$.

Bilan : tous les calculs de pourcentages « simples » sont des fonctions linéaires déguisées. Tu retrouveras cette idée en seconde avec les coefficients multiplicateurs et les évolutions successives.