Proportionnalité et fonctions linéaires

Quand le rapport entre deux grandeurs est constant, une fonction linéaire modélise la situation.

1 L'idée

Deux grandeurs sont proportionnelles quand leur rapport est toujours le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Mathématiquement, cela correspond à une fonction linéaire $f(x) = ax$, où $a$ est ce coefficient.

Le graphe d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine $O(0\,;\,0)$ du repère. Si la droite ne passe pas par l'origine, la fonction n'est pas linéaire (c'est une fonction affine).

2 Formules essentielles

Fonction linéaire

$f(x) = ax \quad (a \neq 0)$

Coefficient de prop.

$a = \dfrac{y}{x} \quad (x \neq 0)$

Image d'un réel

$f(x_0) = a \times x_0$

Antécédent de k

$f(x) = k \implies x = \dfrac{k}{a}$

3 Exemples

Exemple A — Calculer une image

Soit $f(x) = 3x$. Calculer $f(5)$ et $f(-2)$.

$f(5) = 3 \times 5 = 15$

$f(-2) = 3 \times (-2) = -6$

Exemple B — Trouver le coefficient

La droite passe par $A(4\,;\,10)$. Quel est $a$ ?

$a = \dfrac{10}{4} = 2{,}5$ donc $f(x) = 2{,}5x$

Exemple C — Trouver un antécédent

Avec $f(x) = 2{,}5x$, trouver l'antécédent de $15$.

$2{,}5x = 15 \implies x = \dfrac{15}{2{,}5} = 6$

Méthode — lire et utiliser une fonction linéaire

Vérifier que la droite passe par l'origine $O(0\,;\,0)$.
Lire les coordonnées d'un point $(x_0\,;\,y_0)$ avec $x_0 \neq 0$.
Calculer $a = \dfrac{y_0}{x_0}$.
Écrire $f(x) = ax$ et l'utiliser pour tout calcul d'image ou d'antécédent.

Erreurs fréquentes

$f(x) = 2x + 3$ n'est pas linéaire : elle ne passe pas par l'origine (c'est une fonction affine).
Ne pas confondre image et antécédent : $f(6) = 12$ signifie que $6$ est l'antécédent de $12$, et $12$ est l'image de $6$.
Ne jamais calculer $a$ avec le point $(0\,;\,0)$ : $\dfrac{0}{0}$ est une forme indéterminée.