Proportionnalité : quatrième proportionnelle et produit en croix

Trois valeurs connues, une inconnue : le produit en croix calcule la quatrième proportionnelle en une étape.

1 L'idée

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque leurs valeurs sont reliées par un coefficient constant $k$, appelé coefficient de proportionnalité : multiplier une valeur de la première grandeur par $k$ donne la valeur correspondante de la seconde.

Dans un tableau de proportionnalité à deux colonnes, les rapports entre les valeurs d'une même colonne sont tous égaux à $k$. Lorsque trois des quatre valeurs sont connues, la valeur manquante est appelée la quatrième proportionnelle : on la note $x$ et on la calcule grâce au produit en croix.

2 Formules

Égalité des rapports

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$

Produit en croix

$a \times x = b \times c$

Quatrième proportionnelle

$x = \dfrac{b \times c}{a}$

3 Exemples

Exemple A — par le coefficient de proportionnalité

Un cycliste roule à vitesse constante : il parcourt 60 km en 3 h. Combien parcourt-il en 5 h ?

Coefficient : $k = \dfrac{60}{3} = 20$ (km/h).

Réponse : $x = 20 \times 5 = 100$ km.

Exemple B — par le produit en croix

Même situation : $\dfrac{60}{3} = \dfrac{x}{5}$.

Produit en croix : $3 \times x = 60 \times 5 = 300$, d'où $x = \dfrac{300}{3}$.

Conclusion : $x = 100$ km.

Méthode — Calculer la quatrième proportionnelle

Repérer les deux colonnes du tableau : valeurs connues $(a, b)$ et $(c, x)$ avec $x$ inconnu.
Écrire l'égalité des rapports : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$.
Appliquer le produit en croix : $a \times x = b \times c$.
Isoler $x$ : $x = \dfrac{b \times c}{a}$.
Vérifier la cohérence du résultat : unité, ordre de grandeur, valeur positive.

Erreurs fréquentes

Croiser les mauvaises valeurs : dans $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$, le produit en croix donne $a \times x = b \times c$, et non $a \times c = b \times x$.
Additionner au lieu de multiplier : le produit en croix utilise $\times$, jamais $+$.
Oublier de convertir les unités avant de calculer (par exemple, transformer les km en cm dans un problème d'échelle).