Contrôle bientôt et tu découvres le produit en croix ce soir ? Respire. C'est l'une des rares notions de maths qui tient dans une seule opération bien rangée. Dix minutes de lecture et tu es opérationnel.
Les prérequis à avoir en tête
Avant de te lancer, trois réflexes suffisent.
Un rapport (ou quotient), c'est une division : $\dfrac{60}{3}$ se lit « 60 divisé par 3 » et vaut $20$.
Multiplier en croix, c'est juste multiplier deux nombres placés en diagonale dans un tableau. Rien de plus compliqué.
Isoler une inconnue : si $3 \times x = 300$, alors $x = \dfrac{300}{3} = 100$. On divise le résultat par le nombre qui multiplie $x$.
L'essentiel, en une phrase et une formule
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre $k$, appelé coefficient de proportionnalité.
On range les valeurs dans un tableau de proportionnalité à deux lignes. Quand trois valeurs sont connues et qu'il en manque une, la valeur inconnue s'appelle la quatrième proportionnelle : on la note $x$.
Pour la trouver, une seule formule à retenir, le produit en croix :
si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$, alors $a \times x = b \times c$, donc $x = \dfrac{b \times c}{a}$.
En clair : tu multiplies les deux valeurs placées en diagonale de l'inconnue, puis tu divises par la troisième.
Un exemple fait en entier
Un cycliste roule à vitesse constante : il parcourt $60$ km en $3$ h. Combien parcourt-il en $5$ h ?
On range les valeurs dans un tableau (voir ci-contre) : le temps sur une ligne, la distance sur l'autre. L'inconnue est la distance après $5$ h, on la note $x$.
On écrit l'égalité des rapports : $\dfrac{60}{3} = \dfrac{x}{5}$.
Produit en croix (les diagonales) : $60 \times 5 = 3 \times x$, soit $300 = 3 \times x$.
On isole $x$ : $x = \dfrac{300}{3} = 100$.
Réponse : en $5$ h, le cycliste parcourt $100$ km. On vérifie que c'est cohérent : plus de temps, plus de distance, ça monte, tout va bien.
Ça y est, ça te revient : le tableau à deux lignes, la petite croix... On remet tout au propre, dans l'ordre, pour que ça tienne vraiment et pas juste jusqu'à la sortie de la salle.
Les définitions au propre
Grandeurs proportionnelles. Deux grandeurs sont proportionnelles s'il existe un nombre constant $k$ tel que chaque valeur de la seconde s'obtient en multipliant la valeur correspondante de la première par $k$. Ce nombre $k$ est le coefficient de proportionnalité.
Tableau de proportionnalité. On présente les valeurs sur deux lignes. Pour passer de la ligne du haut à la ligne du bas, on multiplie toujours par le même $k$, quelle que soit la colonne.
Quatrième proportionnelle. Dans un tableau où trois des quatre valeurs sont connues, la valeur manquante $x$ s'appelle la quatrième proportionnelle.
La méthode pas à pas et les formules
Les trois formules à connaître forment une seule chaîne :
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x} \;\Longrightarrow\; a \times x = b \times c \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{b \times c}{a}$.
Étape 1. Repérer les valeurs : trois connues $a$, $b$, $c$ et l'inconnue $x$.
Étape 2. Écrire l'égalité des rapports : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$.
Étape 3. Appliquer le produit en croix : $a \times x = b \times c$.
Étape 4. Isoler l'inconnue : $x = \dfrac{b \times c}{a}$.
Étape 5. Vérifier : bonne unité, ordre de grandeur crédible, valeur positive.
Le produit en croix, c'est simplement l'égalité des deux diagonales du tableau (schéma ci-contre) : $a \times x = b \times c$.
Deux chemins pour le même résultat
Selon les nombres, deux méthodes existent ; elles donnent toujours la même réponse.
Chemin 1 — par le coefficient. Pratique quand $k$ tombe juste. Reprenons le cycliste : $k = \dfrac{60}{3} = 20$ (c'est la vitesse en km/h). Alors pour $5$ h : $x = 20 \times 5 = 100$ km.
Chemin 2 — par le produit en croix. Pratique quand $k$ ne tombe pas rond. Même situation : $\dfrac{60}{3} = \dfrac{x}{5}$, donc $60 \times 5 = 3 \times x$, soit $x = \dfrac{300}{3} = 100$ km.
Quand le coefficient n'est pas un nombre entier, le produit en croix reste toujours utilisable : c'est la méthode « qui marche à tous les coups ».
Sors ton brouillon, on fait les calculs à quatre mains. Je rédige chaque ligne comme tu devrais le faire au propre, et je commente ce qui se passe à chaque étape. Regarde bien, tu reproduiras ça seul juste après.
Exemple 1 — une recette qu'on agrandit
Énoncé. Une recette de crêpes pour $4$ personnes demande $240$ g de farine. Quelle quantité pour $6$ personnes ?
On le fait ensemble. D'abord le tableau : la ligne « personnes » et la ligne « farine (g) ». L'inconnue est la farine pour $6$ personnes, on la note $x$.
On écrit l'égalité des rapports, en alignant personnes sur personnes et farine sur farine : $\dfrac{4}{240} = \dfrac{6}{x}$.
Produit en croix : $4 \times x = 240 \times 6$.
On calcule le membre de droite : $240 \times 6 = 1440$, donc $4 \times x = 1440$.
On isole $x$ : $x = \dfrac{1440}{4} = 360$.
Conclusion. Il faut $360$ g de farine pour $6$ personnes. Vérification : $6 > 4$, donc plus de farine, et bien $360 > 240$. Cohérent.
Exemple 2 — une échelle, où l'unité fait tout
Énoncé. Sur une carte à l'échelle $\dfrac{1}{200\,000}$, deux villages sont distants de $4{,}5$ cm. Quelle est la distance réelle ?
L'échelle $\dfrac{1}{200\,000}$ signifie : $1$ cm sur la carte représente $200\,000$ cm en vrai. On garde tout en centimètres pour l'instant, on convertira à la fin.
Tableau : ligne « carte (cm) » et ligne « réel (cm) ». Égalité des rapports : $\dfrac{1}{200\,000} = \dfrac{4{,}5}{x}$.
Produit en croix : $1 \times x = 200\,000 \times 4{,}5$.
Calcul : $x = 900\,000$ cm.
Conversion finale (l'étape que tout le monde oublie) : $900\,000$ cm $= 9\,000$ m $= 9$ km.
Conclusion. Les deux villages sont à $9$ km l'un de l'autre.
Exemple 3 — le même problème par les deux chemins
Énoncé. $8$ stylos identiques coûtent $12$ €. Combien coûtent $5$ stylos ?
Par le coefficient (le prix d'un stylo). Un stylo coûte $\dfrac{12}{8} = 1{,}5$ €. Donc $5$ stylos : $x = 1{,}5 \times 5 = 7{,}5$ €.
Par le produit en croix. On écrit $\dfrac{8}{12} = \dfrac{5}{x}$, donc $8 \times x = 12 \times 5 = 60$, d'où $x = \dfrac{60}{8} = 7{,}5$ €.
Deux routes, une seule réponse : $5$ stylos coûtent $7{,}5$ €. À toi de choisir la méthode la plus rapide selon que le prix unitaire tombe rond ou non.
Le jour du contrôle (et au brevet plus tard), les points ne se perdent presque jamais sur la formule, mais sur les détails : les unités, le sens de la croix, la phrase de conclusion. On blinde tout ça.
Ce que le correcteur attend, et les pièges
Au contrôle, la formule rapporte peu de points à elle seule ; c'est la rédaction et les détails qui font la note. Le correcteur veut voir :
1. Le tableau ou l'égalité des rapports écrite clairement, avec les grandeurs alignées (personnes sous personnes, prix sous prix).
2. La ligne du produit en croix visible : $a \times x = b \times c$, pas seulement le résultat final.
3. Une phrase de conclusion avec la bonne unité.
Les trois pièges qui coûtent des points :
— Croiser les mauvaises valeurs. Dans $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$, la bonne croix est $a \times x = b \times c$, jamais $a \times c = b \times x$.
— Additionner au lieu de multiplier. Le produit en croix utilise $\times$, jamais $+$. « $2$ personnes de plus, donc $120$ g de plus » est faux : la proportionnalité multiplie, elle n'ajoute pas.
— Oublier de convertir les unités (les cm en km d'un problème d'échelle, les minutes en heures...).
Subtilité bonus. La croix sert aussi à tester si un tableau est proportionnel : il l'est seulement si les deux produits en croix sont égaux. Dans le tableau ci-contre, $2 \times 7 = 14$ mais $3 \times 5 = 15$ : les produits diffèrent, donc ce tableau n'est pas proportionnel.
Problème type 1 — la carte au 1/25 000
Énoncé (type brevet). Sur une carte IGN à l'échelle $\dfrac{1}{25\,000}$, un sentier mesure $12$ cm. Quelle est sa longueur réelle, en km ?
Étape 1. Le tableau : ligne « carte (cm) », ligne « réel (cm) ». On a $\dfrac{1}{25\,000} = \dfrac{12}{x}$.
Étape 2. Produit en croix : $1 \times x = 25\,000 \times 12$.
Étape 3. Calcul : $x = 300\,000$ cm.
Étape 4. Conversion, le point piège : $300\,000$ cm $= 3\,000$ m $= 3$ km.
Étape 5. Phrase de conclusion : le sentier mesure $3$ km. Le correcteur coche l'unité et la conversion : ne les saute surtout pas.
Problème type 2 — distance et consommation
Énoncé. Une voiture consomme $6$ L d'essence pour $100$ km, à allure constante. Combien lui faut-il pour un trajet de $250$ km ?
Tableau : ligne « distance (km) », ligne « essence (L) ». Égalité des rapports : $\dfrac{100}{6} = \dfrac{250}{x}$.
Produit en croix : $100 \times x = 6 \times 250$.
Calcul du membre de droite : $6 \times 250 = 1500$, donc $100 \times x = 1500$.
On isole : $x = \dfrac{1500}{100} = 15$.
Conclusion. Il faut $15$ L pour $250$ km. Vérification d'ordre de grandeur : $250$ km, c'est $2{,}5$ fois $100$ km, et $2{,}5 \times 6 = 15$. Les deux méthodes concordent, on est sûr de nous.
Envie de prendre de l'avance ? Le produit en croix n'est que la partie émergée de l'iceberg : derrière, il y a les fonctions linéaires qui t'attendent en 3e, et une même idée qui traverse toute la géométrie. Petit tour d'horizon.
Pourquoi le produit en croix, ça marche
Ce n'est pas un tour de magie, ça se démontre. Pars de l'égalité des rapports $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$. Deux fractions égales le restent si tu les multiplies par un même nombre. Multiplie les deux côtés par $b \times x$ :
$\dfrac{a}{b} \times (b \times x) = \dfrac{c}{x} \times (b \times x)$.
À gauche, le $b$ se simplifie ; à droite, le $x$ se simplifie :
$a \times x = c \times b$.
C'est exactement le produit en croix. Autrement dit, « croiser » n'est qu'un raccourci pour « je multiplie les deux membres par les deux dénominateurs ». Bon à savoir : c'est ce même raisonnement qui justifiera la résolution des équations en 3e.
Proportionnalité = fonction linéaire (spoiler de la 3e)
En 3e, tu diras que « la distance en fonction du temps » est une fonction linéaire : $x = k \times t$, où $k$ est justement ton coefficient de proportionnalité (ici la vitesse).
Et si tu places les colonnes du tableau comme des points dans un repère, ils sont tous alignés sur une droite qui passe par l'origine (schéma ci-contre). C'est même la définition graphique de la proportionnalité : une droite et qui passe par le point $(0\,;0)$.
Le coefficient $k$, c'est la « pente » de cette droite : plus $k$ est grand, plus la droite monte vite.
La même idée, un peu partout
Pourcentages. Prendre $15\%$ d'un prix, c'est une quatrième proportionnelle : $\dfrac{15}{100} = \dfrac{x}{\text{prix}}$. Tu retrouveras le produit en croix à chaque calcul de remise ou de TVA.
Vitesses, débits, masses volumiques. Toutes ces grandeurs « par unité » ($\text{km/h}$, $\text{L/min}$, $\text{g/cm}^3$) sont des coefficients de proportionnalité déguisés.
Géométrie. En 4e puis en 3e, le théorème de Thalès et les agrandissements-réductions reposent sur des rapports égaux : exactement la même croix, appliquée cette fois à des longueurs.
Une fois le produit en croix maîtrisé, tu tiens un outil que tu réutiliseras jusqu'au lycée. Pas mal, pour une seule petite croix.