theoreme de pythagore 4eme : cours et rédaction de contrôle

Vous avez tapé « theoreme de pythagore 4eme » et les pages qui remontent donnent souvent la formule, puis proposent un abonnement pour la suite : voici le chapitre entier, démonstration et réciproque comprises, avec la rédaction qu'on attend sur une copie de contrôle.

theoreme de pythagore 4eme : l'énoncé et la formule

En 4e, le théorème de Pythagore s'applique à un triangle rectangle : le carré de l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit, est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². On l'utilise pour calculer la longueur d'un côté quand on connaît les deux autres.

Tout repose sur la première condition. Le théorème ne dit rien d'un triangle quelconque : il faut savoir, par l'énoncé ou par le petit carré codé sur la figure, que le triangle possède un angle droit. Le sommet de cet angle droit fixe ensuite l'écriture. Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est le côté qui ne passe pas par A, c'est-à-dire [BC], et c'est BC² qui se retrouve seul d'un côté du signe égal.

L'hypoténuse est toujours le plus long des trois côtés. Cette propriété sert de garde-fou pendant un exercice : un calcul qui donne une hypoténuse plus courte qu'un autre côté contient une erreur quelque part.

Avant tout calcul, repassez l'angle droit en couleur sur la figure et écrivez « rectangle en » suivi de la lettre du sommet. L'égalité se déduit de cette phrase.

Calculer une longueur avec le théorème

Un exercice de 4e pose l'une de deux questions, et elles ne se traitent pas tout à fait de la même manière.

Premier cas : on cherche l'hypoténuse. On connaît AB et AC, on écrit BC² = AB² + AC², on remplace les deux longueurs par leurs valeurs et on additionne leurs carrés. On prend ensuite la racine carrée de cette somme avec la touche √ de la calculatrice. La racine se prend à la fin, sur la somme entière. Additionner directement AB et AC donne un résultat faux, parce que la racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines carrées.

Second cas : on cherche un côté de l'angle droit, par exemple AB. On garde la même égalité, BC² = AB² + AC², et on isole AB² : il est égal à BC² auquel on retire AC². On prend ensuite la racine carrée. L'ordre compte ici, puisque c'est toujours du carré de l'hypoténuse qu'on retire l'autre carré ; faire l'inverse donne un nombre négatif, dont la calculatrice refuse de prendre la racine.

Deux précautions valent dans les deux cas. Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant le moindre calcul. L'arrondi se fait à la toute dernière ligne, à la précision que fixe la consigne, car arrondir un carré intermédiaire décale le résultat final.

Pour vous entraîner sur ces deux cas, ouvrez les exercices de 4e sur le théorème de Pythagore, qui se font en ligne ou s'impriment.

Démonstration : Comment Pythagore a-t-il prouvé son théorème ?

La réponse honnête est qu'on ne le sait pas. Aucun texte écrit par Pythagore lui-même ne nous est parvenu, et les démonstrations que l'on connaît ont été rédigées par d'autres mathématiciens, après lui. Le nom est resté attaché au résultat.

Une démonstration se suit très bien dès la 4e, parce qu'elle compare des aires au lieu d'enchaîner des calculs. On prend un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent a et b, et dont l'hypoténuse mesure c. On en découpe quatre exemplaires identiques, puis on trace un grand carré de côté a + b.

Premier assemblage. On place les quatre triangles dans les coins du grand carré, de sorte que chaque bord du grand carré soit partagé en une longueur a et une longueur b. Au centre reste une figure dont les quatre côtés sont des hypoténuses et mesurent donc c. Cette figure est un carré : là où deux triangles se touchent sur un bord, on retrouve les deux angles aigus du triangle rectangle, qui font ensemble un angle droit, et ce qui complète l'angle plat est donc droit lui aussi. L'aire du grand carré vaut alors l'aire des quatre triangles plus c².

Second assemblage. On regroupe les triangles deux par deux pour former deux rectangles de côtés a et b, que l'on pousse dans deux coins opposés du grand carré. La place libre forme deux carrés, l'un de côté a, l'autre de côté b. L'aire du grand carré vaut cette fois l'aire des quatre triangles plus a² plus b².

Le grand carré n'a pas changé, les quatre triangles non plus. Les surfaces laissées libres ont donc la même aire dans les deux assemblages : c² = a² + b², ce qui est exactement l'énoncé du théorème.

Faites-le avec les mains : quatre triangles rectangles identiques découpés dans du carton suffisent, et la preuve apparaît quand on déplace les pièces d'un assemblage à l'autre.

La réciproque du théorème de Pythagore

Le théorème part d'un triangle que l'on sait rectangle et sert à calculer. La réciproque fait le trajet dans l'autre sens : on connaît les trois longueurs et l'on veut savoir si le triangle est rectangle.

Son énoncé : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté. Dans un triangle ABC dont [BC] est le plus grand côté, si BC² = AB² + AC², alors ABC est rectangle en A.

La méthode commence par repérer le plus grand côté, puisque c'est le seul qui puisse être l'hypoténuse. On calcule ensuite son carré, seul. On calcule à part la somme des carrés des deux autres côtés, puis on compare les deux nombres obtenus.

Si les deux nombres sont égaux, la réciproque permet de conclure que le triangle est rectangle. S'ils sont différents, c'est la contraposée du théorème qui sert : si le triangle était rectangle, l'égalité serait vérifiée ; elle ne l'est pas, donc le triangle n'est pas rectangle. Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle fait partie des questions possibles, et la même comparaison y répond.

Sur notre site, la réciproque est rangée dans le programme de 3e. La fiche de cours sur la réciproque du théorème de Pythagore et les exercices sur la réciproque prolongent directement ce chapitre de 4e.

La rédaction attendue en contrôle

Sur une copie, un calcul juste ne suffit pas. Il faut nommer le triangle, dire en quel sommet il est rectangle et citer le théorème utilisé avant d'écrire l'égalité. Les trois modèles ci-dessous sont écrits avec des lettres pour servir à n'importe quel exercice.

Pour calculer une longueur :

• Le triangle ABC est rectangle en A.
• D'après le théorème de Pythagore, on a : BC² = AB² + AC².
• On remplace AB et AC par leurs valeurs et on calcule BC².
• BC est la racine carrée de ce résultat, arrondie à la précision demandée, avec l'unité.

Pour prouver qu'un triangle est rectangle :

• Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].
• D'une part : BC² = … (on calcule).
• D'autre part : AB² + AC² = … (on calcule).
• On constate que BC² = AB² + AC².
• D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Pour prouver qu'un triangle n'est pas rectangle :

• Dans le triangle ABC, le plus grand côté est [BC].
• D'une part : BC² = … ; d'autre part : AB² + AC² = …
• On constate que BC² ≠ AB² + AC².
• Si le triangle ABC était rectangle, l'égalité de Pythagore serait vérifiée. Elle ne l'est pas, donc le triangle ABC n'est pas rectangle.

Le « d'une part, d'autre part » a une raison. On ne peut pas écrire BC² = AB² + AC² dès la première ligne, puisque cette égalité est précisément ce qu'on cherche à vérifier. On calcule donc chaque membre séparément, puis on compare.

Recopiez ces trois modèles en première page de votre cahier et rédigez chaque exercice de la fiche en suivant l'un d'eux.

En 3e, le théorème de Thalès suit le même schéma

Le théorème de Thalès, classé en 3e sur notre site, fonctionne sur le même modèle. Le théorème sert à calculer des longueurs quand on sait que deux droites sont parallèles. La réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles à partir de longueurs connues. Un élève qui distingue déjà « je sais que le triangle est rectangle, donc je calcule » de « je veux savoir s'il est rectangle, donc je compare » retrouvera la même logique l'année suivante.

La fiche sur le théorème de Thalès et sa réciproque et les exercices de Thalès font partie de la même bibliothèque, qui compte plus de 1 100 fiches consultables en ligne et imprimables. Quand la réciproque de Pythagore est acquise, la fiche de Thalès est la suite à ouvrir.

Soutien scolaire en 4e : quand la fiche ne suffit plus

Cette page est un cours écrit. Elle ne voit pas la copie de votre enfant, ni la ligne précise où son calcul déraille. Pour ce travail-là, l'association Vidyalaya propose du soutien scolaire au collège pour l'année qui a commencé en septembre 2026, en présentiel, 2 heures par semaine.

Les cours ont lieu à deux adresses : Paris 10e, au 16 rue Demarquay, et Paris 19e, au 6 rue Léon Giraud. L'association est installée dans le quartier de la Gare du Nord depuis 2019 et fonctionne à 100 % avec des bénévoles depuis février 2024. Le soutien porte sur les mathématiques, et aussi sur le français, les SVT et la physique-chimie.

La participation aux frais est comprise entre 10 et 15 € de l'heure de cours. Le montant exact est arrêté à l'inscription, selon la situation de la famille.

Nous ne promettons pas de note au prochain contrôle. Nous proposons du temps avec un bénévole, chaque semaine, sur les chapitres qui bloquent, dont celui-ci.

Pour inscrire un collégien ou poser une question, écrivez-nous depuis la page contact en indiquant la classe et la matière.

Questions fréquentes

Peut-on utiliser le théorème de Pythagore dans n'importe quel triangle ?

Non. Le théorème ne s'applique qu'à un triangle rectangle. Pour un triangle dont on ne sait rien, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : la réciproque ou la contraposée permet alors de conclure.

Comment reconnaître l'hypoténuse ?

C'est le côté opposé à l'angle droit, celui qui ne passe pas par le sommet de l'angle droit. C'est aussi le plus long des trois côtés.

Quelle différence entre le théorème et sa réciproque ?

Le théorème part d'un triangle rectangle et sert à calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs connues et sert à prouver qu'un triangle est rectangle.

Où trouver de l'aide en 4e à Paris ?

Vidyalaya propose du soutien scolaire au collège en présentiel, 2 heures par semaine, à Paris 10e et à Paris 19e. La demande se fait par la page contact.