Réciproque du théorème de Pythagore

Avant tout : les trois prérequis

Un carré, c'est un nombre multiplié par lui-même : $5^2 = 5 \times 5 = 25$. C'est tout ce dont tu as besoin comme calcul.

Le théorème de Pythagore « direct » (celui que tu as peut-être déjà croisé) dit : quand un triangle est rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres.

Repérer le plus grand côté : tu compares les trois longueurs, la plus grande est le candidat « hypoténuse ». Retiens ce mot : le plus grand côté est toujours celui qui est face à l'angle droit.

L'essentiel en une phrase

La réciproque fait le chemin inverse du théorème direct. Le direct part d'un angle droit pour trouver une longueur ; la réciproque part des trois longueurs pour prouver qu'il y a un angle droit.

Autrement dit : tu n'as pas de rapporteur, juste trois nombres, et tu veux être certain que le triangle est rectangle. La réciproque est exactement l'outil pour ça.

La formule clé, en appelant $c$ le plus grand côté et $a$, $b$ les deux autres :

$c^2 = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; \text{le triangle est rectangle, l'angle droit étant face à } c$

Un exemple traité en entier

Énoncé. Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 5$ cm, $BC = 12$ cm et $AC = 13$ cm. Est-il rectangle ?

Étape 1. Le plus grand côté est $AC = 13$ cm : c'est le candidat hypoténuse. C'est lui que je vais comparer aux deux autres.

Étape 2. Je calcule le carré du plus grand côté : $AC^2 = 13^2 = 169$.

Étape 3. Je calcule la somme des carrés des deux autres : $AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

Étape 4. Je compare les deux résultats : $AC^2 = 169$ et $AB^2 + BC^2 = 169$. Ils sont égaux.

Étape 5 (la conclusion qui rapporte les points). Puisque $AC^2 = AB^2 + BC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle. L'angle droit est face au plus grand côté $AC$, donc le triangle est rectangle en $B$.

Le direct et la réciproque, face à face

Le théorème de Pythagore et sa réciproque, c'est une égalité lue dans deux sens.

Théorème direct. Si le triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On part de l'angle pour obtenir une longueur.

Réciproque. Si les trois longueurs vérifient cette égalité, alors le triangle est rectangle. On part des longueurs pour obtenir un angle.

Retiens la distinction : le direct sert à calculer un côté manquant dans un triangle qu'on sait déjà rectangle ; la réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle. Confondre les deux est l'erreur classique.

Énoncé propre, et la contraposée

On note $c$ le plus grand côté (candidat hypoténuse) et $a$, $b$ les deux autres.

Réciproque du théorème de Pythagore. Si $c^2 = a^2 + b^2$, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit se trouve au sommet opposé au côté $c$.

$c^2 = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; \text{triangle rectangle (angle droit face à } c\text{)}$

Contraposée (l'autre outil très utile). Si l'égalité est fausse, alors le triangle n'est pas rectangle. C'est ce qui te permet de prouver qu'un triangle n'a aucun angle droit.

$c^2 \neq a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; \text{triangle non rectangle}$

La méthode en cinq étapes

La même méthode marche à tous les coups, dans les deux cas (rectangle ou non) :

1. Repérer le plus grand côté et l'appeler $c$ (c'est le seul candidat pour l'hypoténuse).

2. Calculer $c^2$ à part.

3. Calculer $a^2 + b^2$ à part (la somme des carrés des deux autres).

4. Comparer les deux nombres obtenus.

5. Conclure : s'ils sont égaux, citer la réciproque et nommer le sommet de l'angle droit (le sommet opposé à $c$) ; s'ils sont différents, citer la contraposée pour dire que le triangle n'est pas rectangle.

Exemple d'un triangle qui n'est PAS rectangle. Un triangle a pour côtés $4$ cm, $5$ cm et $6$ cm.

Plus grand côté : $6$ cm, donc $c = 6$. On calcule $c^2 = 6^2 = 36$.

Puis $a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

On compare : $36 \neq 41$. Comme $c^2 \neq a^2 + b^2$, d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore, ce triangle n'est pas rectangle.

Ensemble n°1 : un triangle rectangle

On nous donne un triangle $DEF$ avec $DE = 9$ cm, $EF = 12$ cm et $DF = 15$ cm.

On commence toujours pareil : on cherche le plus grand côté. Ici $15 > 12 > 9$, donc le candidat hypoténuse est $DF = 15$. C'est lui qu'on isole.

On calcule son carré, tout seul dans son coin : $DF^2 = 15^2 = 225$.

On calcule la somme des carrés des deux autres, tout seul aussi : $DE^2 + EF^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.

On met les deux résultats en face : $DF^2 = 225$ et $DE^2 + EF^2 = 225$. Ils tombent pile pareils.

On conclut proprement. Comme $DF^2 = DE^2 + EF^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle. L'angle droit est face au plus grand côté $DF$, donc il est rectangle en $E$. (Remarque : $9$, $12$, $15$, c'est le triangle $3$, $4$, $5$ multiplié par $3$ — pratique à reconnaître.)

Ensemble n°2 : un triangle qui trompe l'œil

On nous donne un triangle $GHI$ avec $GH = 7$ cm, $HI = 8$ cm et $GI = 11$ cm.

Plus grand côté : $11$, donc $c = GI = 11$. On l'isole.

Son carré : $GI^2 = 11^2 = 121$.

La somme des carrés des deux autres : $GH^2 + HI^2 = 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$.

On compare : $121$ et $113$. Ce n'est pas égal, même si les nombres sont proches. C'est le piège : « presque égal » ne suffit jamais, il faut l'égalité exacte.

On conclut. Comme $GI^2 \neq GH^2 + HI^2$, d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ n'est pas rectangle.

Ensemble n°3 : bien nommer le sommet

On nous donne un triangle $ABC$ avec $AB = 8$ cm, $BC = 17$ cm et $AC = 15$ cm. Attention, les côtés ne sont pas rangés dans l'ordre : ne te fais pas avoir.

On cherche le plus grand : $17 > 15 > 8$, donc le candidat hypoténuse est $BC = 17$ (et surtout pas $AC$ juste parce qu'il finit par $C$).

Son carré : $BC^2 = 17^2 = 289$.

La somme des carrés des deux autres : $AB^2 + AC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

On compare : $289 = 289$. Égalité.

On conclut, et surtout on nomme le bon sommet. Comme $BC^2 = AB^2 + AC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle. L'angle droit est face au plus grand côté $BC$ ; le sommet opposé à $[BC]$ est $A$, donc le triangle est rectangle en $A$. Le sommet de l'angle droit est toujours celui qui n'apparaît pas dans le nom du plus grand côté.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Une réponse complète, aux yeux du correcteur, contient toujours ces éléments :

Deux calculs séparés. Tu calcules $c^2$ d'un côté, $a^2 + b^2$ de l'autre, sans écrire d'emblée $c^2 = a^2 + b^2$ : cette égalité est ce que tu veux prouver, tu ne peux pas la poser comme point de départ. Écris chaque carré, puis la comparaison.

La phrase magique. La conclusion doit citer explicitement « d'après la réciproque du théorème de Pythagore » (ou « d'après la contraposée… » si le triangle n'est pas rectangle). Sans le nom du théorème, la conclusion n'est pas justifiée.

Le sommet de l'angle droit. « Le triangle est rectangle » ne suffit pas : il faut préciser rectangle en quel sommet — celui opposé au plus grand côté.

Les pièges classiques, à éviter absolument :

— Ne pas prendre le plus grand côté comme $c$ : tester la mauvaise égalité peut te faire conclure « rectangle » à tort.

— Écrire $c = a + b$ au lieu de $c^2 = a^2 + b^2$ : la somme des côtés n'a rien à voir avec la somme des carrés.

— Oublier de nommer le théorème ou le sommet de l'angle droit.

— Confondre le direct et la réciproque : ici on part des longueurs pour conclure sur l'angle.

Problème type n°1 : le menuisier vérifie l'équerre

Situation. Un menuisier veut s'assurer que le coin d'un panneau forme bien un angle droit. Le long d'un bord il mesure $60$ cm, le long de l'autre bord $80$ cm, puis il mesure la diagonale entre ces deux points : $100$ cm. Le coin est-il « à l'équerre » (c'est-à-dire rectangle) ?

On reconnaît un triangle de côtés $60$, $80$ et $100$. Le plus grand est $100$ : c'est le candidat hypoténuse, $c = 100$.

Calcul du carré du plus grand côté : $100^2 = 10\,000$.

Calcul de la somme des carrés des deux autres : $60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000$.

Comparaison : $10\,000 = 10\,000$, les deux sont égaux.

Conclusion. Comme $100^2 = 60^2 + 80^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, l'angle droit étant face au côté de $100$ cm. Le coin du panneau est donc bien à l'équerre. (C'est le vieux « triangle $3$-$4$-$5$ » des maçons, ici multiplié par $20$.)

Problème type n°2 : prouver qu'un angle n'est PAS droit

Situation. On veut savoir si le triangle $MNP$, avec $MN = 5$ cm, $NP = 8$ cm et $MP = 6$ cm, possède un angle droit. Ici on n'a pas d'a priori : peut-être oui, peut-être non. La méthode tranche.

Plus grand côté : $8$, donc $c = NP = 8$.

Carré du plus grand côté : $NP^2 = 8^2 = 64$.

Somme des carrés des deux autres : $MN^2 + MP^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$.

Comparaison : $64 \neq 61$.

Conclusion. Comme $NP^2 \neq MN^2 + MP^2$, d'après la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNP$ n'est pas rectangle : il n'a aucun angle droit. Note bien : il suffit que l'égalité échoue avec le plus grand côté pour conclure — inutile de tester les autres côtés.

Réciproque, contraposée : un peu de logique

Ce que tu manipules ici, ce sont trois formes d'un même énoncé, et c'est une compétence qui dépasse largement la géométrie.

À partir de l'implication directe « rectangle $\Rightarrow$ $c^2 = a^2 + b^2$ », on fabrique :

— la réciproque, en échangeant hypothèse et conclusion : « $c^2 = a^2 + b^2$ $\Rightarrow$ rectangle » ;

— la contraposée, en niant les deux membres et en les échangeant : « $c^2 \neq a^2 + b^2$ $\Rightarrow$ non rectangle » ; c'est elle qui permet de prouver qu'un triangle n'est pas rectangle.

Fait important : une implication et sa réciproque ne sont pas automatiquement vraies en même temps. Ici, il se trouve que les deux sont vraies — c'est justement ce qui rend le théorème de Pythagore si commode. Au lycée, tu verras des cas où la réciproque d'un énoncé vrai est fausse : garde l'œil ouvert.

Comment on démontre la réciproque

Voici l'idée de la démonstration classique (celle d'Euclide), pour comprendre pourquoi la réciproque est vraie et pas seulement l'admettre.

On part d'un triangle dont les côtés vérifient $c^2 = a^2 + b^2$. À côté, on construit un deuxième triangle, rectangle celui-là, dont les deux côtés de l'angle droit mesurent exactement $a$ et $b$.

Par le théorème direct appliqué à ce triangle construit, son hypoténuse vaut $\sqrt{a^2 + b^2}$, c'est-à-dire exactement $c$.

Les deux triangles ont donc leurs trois côtés égaux deux à deux ($a$, $b$ et $c$) : ils sont superposables. Or le triangle construit est rectangle ; donc le triangle de départ l'est aussi. C'est ce raisonnement qui justifie la réciproque.

Un pont vers l'an prochain

Les triplets pythagoriciens. Certains trios d'entiers vérifient l'égalité et reviennent tout le temps : $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$, $(7, 24, 25)$… ainsi que tous leurs multiples. Les reconnaître te fait gagner un temps fou au contrôle.

Le lien avec le cercle et les angles inscrits. Un triangle rectangle s'inscrit toujours dans un demi-cercle dont l'hypoténuse est le diamètre. C'est le même fait vu autrement : « un angle inscrit qui intercepte un diamètre est droit ». Tu retrouveras cette idée dans la fiche des angles inscrits.

Au lycée : une seule formule pour tout. La loi des cosinus (dite aussi théorème d'Al-Kashi) généralise Pythagore à n'importe quel triangle :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

où $\gamma$ est l'angle opposé à $c$. Quand cet angle est droit, $\cos(90^\circ) = 0$ et le terme en trop disparaît : on retombe sur $c^2 = a^2 + b^2$. Cette formule contient à la fois le théorème direct et sa réciproque en une seule ligne — et plus tard, le produit scalaire en fera une simple conséquence du calcul vectoriel.