Réciproque du théorème de Pythagore

Prouver qu'un triangle est rectangle à partir des seules longueurs de ses trois côtés.

1 L'idée

Le théorème de Pythagore dit : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse égale la somme des carrés des deux autres côtés.

Sa réciproque renverse cette implication : si les longueurs des trois côtés vérifient cette égalité, alors le triangle est rectangle. C'est un outil de preuve — il suffit de calculer trois carrés pour conclure, sans aucune mesure d'angle.

2 Énoncé

Réciproque

$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow \text{triangle rectangle (angle droit en face de } c\text{)}$

Contraposée

$c^2 \neq a^2 + b^2 \Rightarrow \text{triangle non rectangle}$

3 Exemple résolu

Triangle ABC : AB = 5 cm, BC = 12 cm, AC = 13 cm

Le plus grand côté est $AC = 13$ cm — c'est le candidat hypoténuse.

$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$AC^2 = 13^2 = 169$

On a $AB^2 + BC^2 = AC^2$, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Méthode — cinq étapes

Identifier le plus grand côté (futur candidat hypoténuse) : appeler ce côté $c$.
Calculer $c^2$.
Calculer $a^2 + b^2$ (somme des carrés des deux autres côtés).
Comparer $c^2$ et $a^2 + b^2$.
Conclure en citant explicitement « la réciproque du théorème de Pythagore » et nommer le sommet de l'angle droit (le sommet opposé au plus grand côté).

Erreurs fréquentes

Ne pas choisir le plus grand côté : tester une mauvaise égalité peut faussement conclure à un triangle rectangle.
Écrire $c = a + b$ au lieu de $c^2 = a^2 + b^2$ : la somme des côtés n'est pas la somme des carrés.
Omettre la phrase de conclusion avec le nom du théorème et la localisation de l'angle droit.
Confondre théorème direct et réciproque : ici on part des longueurs pour conclure sur l'angle, pas l'inverse.