Pas de panique ! Le théorème de Thalès, c'est simplement une histoire de proportionnalité entre les longueurs de triangles quand des droites sont parallèles. On va partir de ce que tu connais déjà – le théorème des milieux – puis généraliser. En un rien de temps, tu sauras calculer une longueur inconnue. On y va doucement.
Tu te souviens ? Dans un triangle, si un segment joint les milieux de deux côtés, alors il est parallèle au troisième côté et sa longueur est exactement la moitié de ce troisième côté.
Traduit en rapports : si I est le milieu de [AB] et J celui de [AC], alors (IJ) // (BC) et IJ = \frac{1}{2} BC. Cela s'écrit aussi : \frac{AI}{AB} = \frac{AJ}{AC} = \frac{IJ}{BC} = \frac{1}{2}. Les trois rapports sont égaux. C'est cette égalité de rapports qu'on retrouve dans le théorème de Thalès, mais sans l'obligation d'être au milieu.
Quand deux droites sécantes (qui se coupent) en un point O sont coupées par deux droites parallèles, alors les longueurs sont proportionnelles.
On considère deux droites (OA) et (OB) sécantes en O. On place M sur [OA] et N sur [OB] de sorte que (MN) soit parallèle à (AB). Alors :
\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}
Important : l'ordre des points sur chaque droite doit être respecté (O, M, A d'une part ; O, N, B d'autre part). La configuration fonctionne aussi en « papillon » quand O est entre les points.
Quand tu rencontres un problème, commence toujours par vérifier les alignements et le parallélisme, puis écris la fameuse égalité. Ensuite, remplace les longueurs connues et calcule l'inconnue par produit en croix.
On donne la figure ci-contre. Les points O, M, A sont alignés dans cet ordre ; les points O, N, B sont alignés ; et (MN) // (AB).
À trous : Complète les phrases.
D'après le , on a : $\dfrac{OM}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{OB} = \dfrac{MN}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
D'après le théorème de Thalès, on a : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
Dans la même configuration, on donne OM = 4 cm, OA = 10 cm, ON = 5 cm. Calcule OB.
Complète :
$\dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ donc $OB = \dfrac{5 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{4}{10} = \dfrac{5}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{5 \times 10}{4} = \dfrac{50}{4} = 12{,}5$ cm.
On cherche maintenant la longueur AB. On connaît MN = 3 cm, OM = 4 cm, OA = 10 cm.
Complète :
$\dfrac{MN}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{OM}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ soit $\dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{4}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ; donc $AB = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA}$ ⇒ $\dfrac{3}{AB} = \dfrac{4}{10}$ ⇒ $AB = \dfrac{3 \times 10}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm.
Ah, ces histoires de triangles proportionnels te rappellent quelque chose ? Super. On va remettre tout ça à plat, avec la méthode en béton et, cerise sur le gâteau, découvrir la réciproque : quand on te demande de prouver que deux droites sont parallèles, c'est Thalès qui s'en charge (dans l'autre sens). Prêt(e) pour la révision complète ?
Si deux droites sécantes (OA) et (OB) sont coupées par deux droites parallèles (MN) et (AB), alors les longueurs sont proportionnelles. Autrement dit :
\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}
Ceci est valable en configuration triangles emboîtés (O, M, A et O, N, B dans le même ordre) ou en configuration papillon (O entre les points). On l'utilise pour calculer une longueur inconnue.
1. Identifier le point O et vérifier l'alignement des triplets (O, M, A) et (O, N, B).
2. Repérer les droites parallèles et la longueur cherchée.
3. Écrire l'égalité des trois rapports.
4. Remplacer par les valeurs connues.
5. Isoler l'inconnue par produit en croix.
6. Vérifier la cohérence (longueur positive, ordre de grandeur).
Ici on part des longueurs pour prouver que deux droites sont parallèles. On suppose O, M, A alignés dans le même ordre que O, N, B. On calcule les rapports \frac{OM}{OA} et \frac{ON}{OB}. Si ces deux rapports sont égaux, alors on peut conclure que (MN) est parallèle à (AB).
Exemple : OM=8, OA=12, ON=6, OB=9. \frac{8}{12}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}, donc (MN)//(AB). Si les rapports différaient, les droites ne seraient pas parallèles.
Dans la figure ci-dessous, (MN) // (AB). On donne OM = 6 cm, OA = 15 cm, ON = 4 cm.
Complète pour calculer OB :
$\dfrac{OM}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{OB}$ ⇒ $\dfrac{6}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{4}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ⇒ $OB = \dfrac{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ ⇒ $\dfrac{6}{15} = \dfrac{4}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{4 \times 15}{6} = \dfrac{60}{6} = 10$ cm.
On donne O, M, A alignés dans cet ordre, et O, N, B alignés. OM = 8 cm, OA = 12 cm, ON = 6 cm, OB = 9 cm. Veut-on savoir si (MN) // (AB) ?
Complète :
On compare $\dfrac{OM}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{8}{12} = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{6}{9} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Les deux rapports sont , donc (MN) (AB).
On compare $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Les deux rapports sont égaux, donc (MN) est parallèle à (AB).
Configuration croisée : O est situé entre A et M d'une part, et entre B et N d'autre part. (MN) // (AB). OA = 5 cm, OM = 10 cm, OB = 3 cm, MN = 8 cm.
a) Écris l'égalité des rapports.
b) Calcule ON.
c) Calcule AB.
a) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
b) $\dfrac{10}{5} = \dfrac{ON}{3}$ ⇒ ON = $\dfrac{10 \times 3}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$ cm.
c) $\dfrac{10}{5} = \dfrac{8}{AB}$ ⇒ AB = $\dfrac{8 \times 5}{10} = \dfrac{40}{10} = 4$ cm.
Maintenant que tu as la méthode, on va automatiser le calcul. Cinq fois le même exercice avec des nombres différents, histoire que le produit en croix devienne un réflexe. Objectif : zéro erreur.
Exercice 1. (MN)//(AB), O, M, A alignés, O, N, B alignés. OM = 3 cm, OA = 9 cm, ON = 4 cm. Calcule OB.
Complète : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ ⇒ $\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{4 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{3}{9} = \dfrac{4}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{4 \times 9}{3} = \dfrac{36}{3} = 12$ cm.
Exercice 2. (MN)//(AB). OM = 5 cm, OA = 15 cm, ON = 7 cm. Calcule OB.
Complète : $\dfrac{5}{15} = \dfrac{7}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ⇒ $OB = \dfrac{7 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{5}{15} = \dfrac{7}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{7 \times 15}{5} = \dfrac{105}{5} = 21$ cm.
Exercice 3. (MN)//(AB). OM = 2 cm, OA = 7 cm, ON = 3 cm. Calcule OB.
Complète : $\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ⇒ $OB = \dfrac{3 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{3 \times 7}{2} = \dfrac{21}{2} = 10{,}5$ cm.
Exercice 4. (MN)//(AB). OM = 4 cm, OA = 6 cm, ON = 6 cm. Calcule OB.
Complète : $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ⇒ $OB = \dfrac{6 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{6 \times 6}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$ cm.
Exercice 5. (MN)//(AB). OM = 8 cm, OA = 12 cm, ON = 10 cm. Calcule OB.
Complète : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ⇒ $OB = \dfrac{10 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
$\dfrac{8}{12} = \dfrac{10}{OB}$ ⇒ $OB = \dfrac{10 \times 12}{8} = \dfrac{120}{8} = 15$ cm.
C'est l'heure de s'entraîner comme au brevet. Tu es autonome, plus de trous ! Tu vas mélanger calculs de longueurs, réciproque, configuration croisée et problème concret. Souviens-toi : bien identifier O, vérifier les alignements et ne pas confondre les sens.
1. Application directe
Dans une configuration de Thalès (triangles emboîtés), on a (MN) // (AB), OM = 6 cm, OA = 9 cm, ON = 4 cm. Calcule OB.
$\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ ⇒ $\dfrac{6}{9} = \dfrac{4}{OB}$ ⇒ OB = $\dfrac{4 \times 9}{6} = \dfrac{36}{6} = 6$ cm.
2. Configuration croisée
O est entre A et M, et entre B et N. (MN) // (AB). OA = 6 cm, OM = 9 cm, OB = 4 cm, MN = 7,5 cm.
a) Calcule ON.
b) Calcule AB.
a) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ ; $\dfrac{ON}{OB} = 1{,}5$ ⇒ ON = OB × 1,5 = 4 × 1,5 = 6 cm.
b) $\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{OA}{OM}$ ou bien $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA}$. $\dfrac{7{,}5}{AB} = 1{,}5$ ⇒ AB = $\dfrac{7{,}5}{1{,}5} = 5$ cm.
3. Réciproque : parallèles ou non ?
Dans chaque cas, les points O, M, A sont alignés et O, N, B alignés. Détermine si (MN) // (AB) en justifiant par le calcul des rapports.
a) OA = 15 cm, OM = 10 cm, OB = 12 cm, ON = 8 cm.
b) OA = 10 cm, OM = 6 cm, OB = 8 cm, ON = 5 cm.
a) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$. Égalité donc (MN) // (AB).
b) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ ; $\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$. 0,6 ≠ 0,625 donc (MN) n'est pas parallèle à (AB).
4. Problème du réverbère
Un lampadaire a sa lampe en L et sa base en O sur le sol. Yvan, mesurant AB = 1,75 m, se tient debout au point A tel que OA = 4 m. Son ombre s'étend jusqu'au point E sur le sol, avec OE = 8 m. Les segments [AB] et [OL] sont verticaux, donc parallèles. Les points E, A, O sont alignés dans cet ordre ; les points E, B, L sont alignés.
a) Calcule EA.
b) En appliquant le théorème de Thalès (point E), calcule la hauteur OL du lampadaire.
a) EA = EO – OA = 8 – 4 = 4 m.
b) Dans les triangles ELB et EOL? On utilise le point E : (AB) // (OL). D'après Thalès : $\dfrac{EA}{EO} = \dfrac{AB}{OL}$ ⇒ $\dfrac{4}{8} = \dfrac{1{,}75}{OL}$ ⇒ OL = $\dfrac{1{,}75 \times 8}{4} = \dfrac{14}{4} = 3{,}5$ m.
5. Dans un triangle
Dans le triangle ABC, M est un point de [AB], N un point de [AC] avec (MN) // (BC). On donne AM = 6 cm, AB = 15 cm, AN = 5 cm et BC = 12 cm.
a) Calcule AC.
b) Calcule MN.
c) Déduis-en MB et NC.
a) $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ ⇒ $\dfrac{6}{15} = \dfrac{5}{AC}$ ⇒ AC = $\dfrac{5 \times 15}{6} = \dfrac{75}{6} = 12{,}5$ cm.
b) $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ donc MN = $\dfrac{2}{5} \times 12 = 4{,}8$ cm.
c) MB = AB – AM = 15 – 6 = 9 cm ; NC = AC – AN = 12,5 – 5 = 7,5 cm.
Tu maîtrises Thalès ? Alors voyons comment il se prolonge : liens avec Pythagore, avec les fonctions, et un aperçu des homothéties (qui te seront super utiles en seconde).
1. Thalès et Pythagore
Un triangle ABC est rectangle en A avec AB = 8 cm, AC = 6 cm. Une droite (DE) parallèle à (BC) coupe [AB] en D (AD = 3 cm) et [AC] en E.
a) Calcule BC à l'aide du théorème de Pythagore.
b) Déduis-en AE et DE à l'aide du théorème de Thalès.
a) Dans ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, donc BC = 10 cm.
b) (DE) // (BC), donc d'après Thalès : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$.
$\dfrac{3}{8} = \dfrac{AE}{6}$ ⇒ AE = $\dfrac{3 \times 6}{8} = \dfrac{18}{8} = 2{,}25$ cm.
$\dfrac{3}{8} = \dfrac{DE}{10}$ ⇒ DE = $\dfrac{3 \times 10}{8} = \dfrac{30}{8} = 3{,}75$ cm.
2. Thalès et fonctions linéaires
Un triangle ABC a AB = 12 cm, AC = 9 cm. Un point M mobile se déplace sur [AB]. On pose AM = x cm. La droite parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N. Exprime la longueur AN en fonction de x (tu utiliseras le théorème de Thalès). Quelle est la nature de cette fonction ?
D'après Thalès, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$, soit $\dfrac{x}{12} = \dfrac{AN}{9}$.
Donc AN = $9 \times \dfrac{x}{12} = \dfrac{3}{4}x = 0{,}75x$.
Il s'agit d'une fonction linéaire (de coefficient 0,75).
3. Homothétie, l'an prochain
En seconde, tu verras que le théorème de Thalès décrit une transformation : l'homothétie. Si on considère un point O et un rapport k, l'image de M est le point A aligné avec O et M tel que OA = k × OM. Dans une configuration de Thalès, le triangle OAB est l'image du triangle OMN par l'homothétie de centre O et de rapport k = OA/OM.
Appliquons : O, M, A sont alignés dans cet ordre avec OM = 2 cm, OA = 6 cm. ON = 2,5 cm.
a) Calcule le rapport d'agrandissement k = OA/OM.
b) En utilisant OB = k × ON, détermine OB.
c) Vérifie que le résultat est le même en appliquant le théorème de Thalès.
a) k = $\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{6}{2} = 3$.
b) OB = 3 × 2,5 = 7,5 cm.
c) Par Thalès : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ ⇒ $\dfrac{2}{6} = \dfrac{2{,}5}{OB}$ ⇒ OB = $\dfrac{2{,}5 \times 6}{2} = 7{,}5$ cm. Même résultat.
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