Théorème de Thalès et réciproque — Exercices

Du calcul direct à la réciproque, jusqu'au problème de la vie courante. Corrigé détaillé en fin de fiche.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée

1Application directe/ 4 pts

Dans les deux questions, les points $O$, $M$, $A$ sont alignés dans cet ordre, les points $O$, $N$, $B$ sont alignés dans cet ordre, et $(MN) \parallel (AB)$.

$OM = 5$ cm, $OA = 8$ cm, $ON = 3$ cm. Calcule $OB$.
$OM = 5$ cm, $OA = 8$ cm, $MN = 6$ cm. Calcule $AB$.

2Configuration croisée/ 3 pts

$O$ est situé entre $A$ et $M$ d'une part, et entre $B$ et $N$ d'autre part. $(MN) \parallel (AB)$. Données : $OA = 6$ cm, $OM = 9$ cm, $OB = 4$ cm, $MN = 7{,}5$ cm.

Calcule $ON$.
Calcule $AB$.

3Réciproque — parallèles ou non ?/ 4 pts

Pour chaque cas, les points $O$, $M$, $A$ sont alignés et les points $O$, $N$, $B$ sont alignés. En comparant $\dfrac{OM}{OA}$ et $\dfrac{ON}{OB}$, détermine si $(MN) \parallel (AB)$. Justifie ta réponse par un calcul.

$OA = 12$ cm, $OM = 8$ cm, $OB = 9$ cm, $ON = 6$ cm.
$OA = 10$ cm, $OM = 6$ cm, $OB = 8$ cm, $ON = 5$ cm.

4Problème — hauteur d'un réverbère/ 4 pts

Un réverbère a sa lampe en $L$ et sa base en $O$ sur le sol. Yvan (hauteur $AB = 1{,}75$ m) se tient debout au point $A$, à $OA = 5$ m de la base $O$. Son ombre s'étend jusqu'au point $E$ sur le sol, avec $OE = 10$ m.

Les segments $[AB]$ et $[OL]$ sont tous deux verticaux, donc parallèles. Les points $E$, $A$, $O$ sont alignés sur le sol ; les points $E$, $B$, $L$ sont alignés le long du rayon lumineux.

Calcule $EA$ (distance du bout de l'ombre aux pieds de Yvan).
Applique le théorème de Thalès (point $E$) pour calculer la hauteur $OL$ du réverbère.

5Dans un triangle/ 5 pts

Dans le triangle $ABC$, $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $(MN) \parallel (BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $AB = 10$ cm, $AN = 3$ cm et $BC = 12{,}5$ cm.

Calcule $AC$.
Calcule $MN$.
Calcule $MB$ et $NC$.

Corrigé détaillé

1Application directe

a) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} \Rightarrow \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{OB} \Rightarrow OB = \dfrac{3 \times 8}{5} = \dfrac{24}{5}$ $OB = 4{,}8 \text{ cm}$

b) $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{5}{8} \Rightarrow AB = \dfrac{6 \times 8}{5} = \dfrac{48}{5}$ $AB = 9{,}6 \text{ cm}$

2Configuration croisée

a) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} \Rightarrow \dfrac{9}{6} = \dfrac{ON}{4} \Rightarrow ON = \dfrac{9 \times 4}{6} = \dfrac{36}{6}$ $ON = 6 \text{ cm}$

b) $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{9}{6} \Rightarrow AB = \dfrac{7{,}5 \times 6}{9} = \dfrac{45}{9}$ $AB = 5 \text{ cm}$

3Réciproque

a) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \qquad \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} \qquad \text{Les deux rapports sont égaux.}$ $\text{Donc } (MN) \parallel (AB)$

b) $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \qquad \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625 \qquad 0{,}6 \neq 0{,}625$ $\text{Donc } (MN) \text{ n'est pas parallèle à } (AB)$

4Hauteur d'un réverbère

a) $EA = EO - OA = 10 - 5$ $EA = 5 \text{ m}$

b) $\dfrac{EA}{EO} = \dfrac{AB}{OL} \Rightarrow \dfrac{5}{10} = \dfrac{1{,}75}{OL} \Rightarrow OL = \dfrac{1{,}75 \times 10}{5} = \dfrac{17{,}5}{5}$ $OL = 3{,}5 \text{ m}$

5Dans un triangle

a) $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \Rightarrow \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{3 \times 10}{4} = \dfrac{30}{4}$ $AC = 7{,}5 \text{ cm}$

b) $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{10} \Rightarrow MN = \dfrac{4 \times 12{,}5}{10} = \dfrac{50}{10}$ $MN = 5 \text{ cm}$

c) $MB = AB - AM = 10 - 4 = 6 \text{ cm} \qquad NC = AC - AN = 7{,}5 - 3 = 4{,}5 \text{ cm}$ $MB = 6 \text{ cm},\quad NC = 4{,}5 \text{ cm}$