Alors, tu découvres le théorème de Pythagore juste avant un contrôle ? Pas de panique, on va te donner l'essentiel pour être fonctionnel très vite. Pour ça, on a besoin de deux prérequis : savoir élever un nombre au carré (par exemple 5² = 25) et savoir prendre la racine carrée (√25 = 5). Et bien sûr, reconnaître l'hypoténuse, ce côté spécial du triangle rectangle. C'est parti, en douceur et à ton rythme.
Prérequis : carré et racine carrée
Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même : 3² = 3 × 3 = 9, 10² = 10 × 10 = 100.
La racine carrée fait l'inverse : √9 = 3 parce que 3² = 9. √100 = 10. Pour le théorème, on utilisera la touche √ de la calculatrice quand le nombre n'est pas un carré parfait.
L'idée du théorème
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long. La relation magique : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Cela permet de calculer une longueur quand on connaît les deux autres.
À toi de jouer
1. Dans un triangle ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm. On veut calculer BC, l'hypoténuse.
Complète avec les bons nombres (aide : BC² = AB² + AC²).
BC² = ² + ² = + = , donc BC = √ = cm.
Corrigé
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc BC = √25 = 5 cm.
2. Même question avec le triangle DEF rectangle en D, DE = 5 cm, DF = 12 cm. Trouve EF.
Complète : EF² = ² + ² = + = , donc EF = √ = cm.
Corrigé
EF² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, donc EF = √169 = 13 cm.
Tu as déjà dû croiser ce théorème, n'est-ce pas ? Ravivons la mémoire avec un rappel structuré et une méthode pas à pas. À la fin, trois exercices pour t'assurer que la mécanique est bien huilée.
Rappel du cours
Théorème (direct) : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Avec ABC rectangle en A, on a BC² = AB² + AC².
Remarque : l'hypoténuse se repère facilement, c'est le côté qui ne touche pas l'angle droit.
Méthode pour calculer une longueur
- Repère l'angle droit et identifie l'hypoténuse.
- Écris la relation de Pythagore adaptée au triangle : (hypoténuse)² = (côté1)² + (côté2)².
- Remplace les longueurs connues dans l'égalité.
- Isole l'inconnue si nécessaire (pour un côté de l'angle droit, on fait une soustraction).
- Utilise la racine carrée pour obtenir la longueur cherchée.
À toi de jouer
1. Soit le triangle XYZ rectangle en Y, avec XY = 9 cm et YZ = 12 cm. Calcule XZ (hypoténuse).
Remplis les trous :
XZ² = ² + ² = + = , donc XZ = √ = cm.
Corrigé
XZ² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, donc XZ = √225 = 15 cm.
2. Triangle RST rectangle en R, avec ST = 17 cm et RS = 8 cm. Calcule RT (côté de l'angle droit).
Attention, ici c'est un côté de l'angle droit qui manque, donc on isole : RT² = ST² - RS².
Complète :
RT² = ² - ² = - = , donc RT = √ = cm.
Corrigé
RT² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225, donc RT = √225 = 15 cm.
3. Petit défi : triangle MNP rectangle en M, avec MN = 7 cm et NP = 25 cm. Calcule MP.
Complète la démarche :
MP² = ² - ² = - = , donc MP = √ = cm.
Corrigé
MP² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576, donc MP = √576 = 24 cm.
Cinq exercices ultra-simples pour muscler le réflexe de Pythagore. Même format, juste les nombres qui changent. Tu répètes la manipulation jusqu'à ce que ça devienne un automatisme. Aucun piège, juste du calcul.
À toi de jouer
1. Triangle ABC rectangle en B, avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. Calcule AC.
Complète : AC² = ² + ² = + = , donc AC = √ = cm.
Corrigé
AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc AC = √100 = 10 cm.
2. Triangle DEF rectangle en E, avec DE = 15 cm et EF = 20 cm. Calcule DF.
Complète : DF² = ² + ² = + = , donc DF = √ = cm.
Corrigé
DF² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625, donc DF = √625 = 25 cm.
3. Triangle GHI rectangle en H, avec GH = 10 cm et HI = 24 cm. Calcule GI.
Complète : GI² = ² + ² = + = , donc GI = √ = cm.
Corrigé
GI² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676, donc GI = √676 = 26 cm.
4. Triangle JKL rectangle en K, avec JL = 29 cm et JK = 20 cm. Calcule KL.
Ici on cherche un côté de l'angle droit : KL² = JL² - JK².
Complète : KL² = ² - ² = - = , donc KL = √ = cm.
Corrigé
KL² = 29² - 20² = 841 - 400 = 441, donc KL = √441 = 21 cm.
5. Triangle MNO rectangle en N, avec MO = 41 cm et NO = 9 cm. Calcule MN.
MN² = ² - ² = - = , donc MN = √ = cm.
Corrigé
MN² = 41² - 9² = 1681 - 81 = 1600, donc MN = √1600 = 40 cm.
Place au vrai contrôle : des exercices variés, avec rédaction complète, des problèmes concrets et la fameuse réciproque. Montre que tu maîtrises aussi bien le sens direct (calcul) que le sens réciproque (prouver qu'un triangle est rectangle). Courage, tu es prêt !
Réciproque : l'autre sens
Le théorème de Pythagore sert à calculer une longueur quand on sait que le triangle est rectangle.
La réciproque sert à prouver qu'un triangle est rectangle quand on connaît les trois longueurs. Méthode : on calcule le carré du plus grand côté, on calcule la somme des carrés des deux autres. Si les deux résultats sont égaux, alors le triangle est rectangle (l'angle droit est en face du plus grand côté). Sinon, il ne l'est pas.
À toi de jouer
1. 1. Calculer l'hypoténuse (sens direct).
a) Triangle ABC rectangle en A, avec AB = 16 cm et AC = 30 cm. Calcule BC.
b) Triangle PQR rectangle en Q, avec PQ = 24 cm et QR = 45 cm. Calcule PR.
Corrigé
a) BC² = 16² + 30² = 256 + 900 = 1156, BC = √1156 = 34 cm.
b) PR² = 24² + 45² = 576 + 2025 = 2601, PR = √2601 = 51 cm.
2. 2. Calculer un côté de l'angle droit.
a) Triangle MNP rectangle en N, avec MP = 35 cm et MN = 21 cm. Calcule NP.
b) Triangle STU rectangle en T, avec SU = 53 cm et TU = 28 cm. Calcule ST.
Corrigé
a) NP² = 35² - 21² = 1225 - 441 = 784, NP = √784 = 28 cm.
b) ST² = 53² - 28² = 2809 - 784 = 2025, ST = √2025 = 45 cm.
3. 3. Réciproque : ces triangles sont-ils rectangles ?
a) Triangle ayant pour côtés 11 cm, 60 cm et 61 cm.
b) Triangle ayant pour côtés 14 cm, 18 cm et 23 cm.
Corrigé
a) 61² = 3721, 11²+60² = 121+3600 = 3721, égalité, donc rectangle.
b) 23² = 529, 14²+18² = 196+324 = 520, 520 ≠ 529 donc pas rectangle.
4. 4. Problème concret : une échelle de 8,5 m est posée contre un mur. Son pied est à 1,5 m du mur. À quelle hauteur le sommet de l'échelle touche-t-il le mur ? (Schéma conseillé).
Corrigé
On modélise par un triangle rectangle mur vertical, sol horizontal. Hypothénuse = échelle 8,5 m, un côté = 1,5 m. Hauteur h vérifie h² = 8,5² - 1,5² = 72,25 - 2,25 = 70, donc h = √70 ≈ 8,37 m (arrondi au centimètre).
5. 5. Diagonale d'un terrain rectangulaire de 120 m de long sur 50 m de large. Calcule sa diagonale.
Corrigé
Diagonale d² = 120² + 50² = 14400 + 2500 = 16900, donc d = √16900 = 130 m.
Tu domines le programme de 4e, bravo ! Pour voir plus loin, on va utiliser Pythagore dans des situations où les racines ne sont pas entières (valeur exacte ou approchée) et jeter un œil à la formule de distance dans un repère, qui est une conséquence directe du théorème. Un avant-goût de la 3e.
À toi de jouer
1. 1. Calcule la longueur BC dans le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 7 cm. Donne la valeur exacte sous la forme √... puis une valeur approchée au dixième (utilise la calculatrice).
Corrigé
BC² = 5² + 7² = 25 + 49 = 74, donc BC = √74 cm (valeur exacte). À la calculatrice, √74 ≈ 8,6 cm (arrondi au dixième).
2. 2. Une échelle de 7,2 m est appuyée contre un mur. Le pied est à 3 m du mur. Le sommet atteint-il une fenêtre située à 6,5 m de hauteur ? Justifie par le calcul.
Corrigé
Hauteur h² = 7,2² - 3² = 51,84 - 9 = 42,84. h = √42,84 ≈ 6,55 m. La fenêtre est à 6,5 m, donc oui, le sommet dépasse légèrement (6,55 > 6,5).
3. 3. (Aperçu 3e) Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est donnée par AB² = (xB - xA)² + (yB - yA)². Cette formule vient directement du théorème de Pythagore !
Calcule la distance entre A(2, 5) et B(10, 8).
Corrigé
AB² = (10-2)² + (8-5)² = 8² + 3² = 64 + 9 = 73. Donc AB = √73 ≈ 8,54 unités.