Théorème de Thalès et réciproque

Calculer des longueurs inconnues grâce au parallélisme — l'outil de géométrie central de la 3e.

1 L'idée

Lorsque deux droites sécantes en un point O sont coupées par deux droites parallèles, les longueurs correspondantes sont proportionnelles. Ce résultat permet de calculer une longueur inconnue à partir de trois longueurs connues.

Configuration directe (triangles emboîtés) : les points sont dans l'ordre $O$, $M$, $A$ sur une droite et $O$, $N$, $B$ sur une autre — les triangles $OAB$ et $OMN$ sont emboîtés.

Configuration croisée (papillon) : $O$ est situé entre $A$ et $M$ d'une part, et entre $B$ et $N$ d'autre part — les deux triangles se croisent en $O$. Dans les deux cas, la formule est identique.

2 Théorème de Thalès

Hypothèse : (MN) ∥ (AB)

$\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$

3 Exemple numérique

Trouver OB et AB

Données : $(MN) \parallel (AB)$, $OM = 4$ cm, $OA = 10$ cm, $ON = 6$ cm, $MN = 3$ cm.

Calcul de $OB$ : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{OB}$, donc $OB = \dfrac{6 \times 10}{4} = 15$ cm.

Calcul de $AB$ : $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA} = \dfrac{4}{10}$, donc $AB = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7{,}5$ cm.

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles : on calcule les deux rapports et, s'ils sont égaux, on conclut au parallélisme.

Hypothèses : $O$, $M$, $A$ alignés ; $O$, $N$, $B$ alignés ; $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$.
Conclusion : $(MN) \parallel (AB)$.

Méthode — calculer une longueur inconnue

Identifier le point $O$ et vérifier l'alignement des triplets $(O, M, A)$ et $(O, N, B)$.
Repérer les droites parallèles et la longueur cherchée.
Écrire l'égalité des rapports : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
Isoler la longueur inconnue par produit en croix et calculer.
Vérifier la cohérence : la longueur doit être positive.

Erreurs fréquentes

Mélanger les rapports : écrire $\dfrac{OM}{ON}$ au lieu de $\dfrac{OM}{OA}$ — toujours associer deux longueurs sur la même droite.
Négliger la vérification de l'alignement : sans triplets alignés confirmés, le théorème ne s'applique pas.
Confondre théorème et réciproque : dans le théorème, le parallélisme est une hypothèse ; dans la réciproque, c'est la conclusion.
Utiliser des longueurs exprimées dans des unités différentes sans conversion préalable.