Contrôle bientôt et Thalès jamais croisé ? Respire un coup. En vrai, c'est du produit en croix déguisé en géométrie. On va droit à l'essentiel, juste ce qu'il te faut pour ne pas paniquer devant ta feuille.
Les 3 prérequis à avoir en tête
Avant de calculer quoi que ce soit, trois outils suffisent. Si tu les as, tu es prêt.
- Le produit en croix : si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$. C'est LE geste qui isole la longueur cherchée.
- Reconnaître des droites parallèles : on note $(MN) \parallel (AB)$.
- Reconnaître des points alignés : trois points posés sur une même droite.
Si tu sais faire un produit en croix, tu connais déjà 80 % de Thalès. Le reste, c'est juste bien ranger les longueurs au bon endroit.
L'essentiel en une phrase + la formule
Le décor de Thalès est toujours le même : deux droites qui se croisent en un point $O$, coupées par deux droites parallèles. Résultat : les longueurs se répondent, elles sont proportionnelles.
Avec les points $M$, $A$ sur une droite (avec $O$) et $N$, $B$ sur l'autre (avec $O$), dès que $(MN) \parallel (AB)$ :
Trois longueurs connues, une inconnue : tu écris l'égalité qui contient l'inconnue, produit en croix, terminé.
Un exemple traité en entier
Données : $(MN) \parallel (AB)$, $OM = 4$ cm, $OA = 10$ cm, $ON = 6$ cm, $MN = 3$ cm.
1. On écrit l'égalité de Thalès (le parallélisme est donné, on a le droit) : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
2. Pour $OB$, je ne garde que les deux rapports où il apparaît : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$, soit $\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{OB}$.
Produit en croix : $4 \times OB = 10 \times 6$, donc $OB = \dfrac{60}{4} = 15$ cm.
3. Pour $AB$ : $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA}$, soit $\dfrac{3}{AB} = \dfrac{4}{10}$.
Produit en croix : $4 \times AB = 10 \times 3$, donc $AB = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$ cm.
Vérification : les deux longueurs sont positives, c'est cohérent. Voilà, tu viens de faire un exercice de Thalès complet.
Ah, les triangles emboîtés, ce fameux dessin en pointe ! Ça te revient. Reprenons proprement, cette fois avec les vrais mots et le pourquoi du comment, pour que ça tienne dans ta tête au-delà du contrôle.
Le théorème de Thalès (configuration directe)
On se place dans la configuration directe : $O$, $M$, $A$ alignés dans cet ordre ; $O$, $N$, $B$ alignés dans cet ordre. Le petit triangle $OMN$ est emboîté dans le grand triangle $OAB$.
Si $(MN) \parallel (AB)$, alors les longueurs sont proportionnelles :
$\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$
Comment lire cette égalité. Chaque rapport compare une longueur du petit triangle à sa correspondante dans le grand. Au numérateur, les longueurs du petit triangle ($OM$, $ON$, $MN$) ; au dénominateur, celles du grand ($OA$, $OB$, $AB$). On ne mélange jamais les deux.
Le réflexe anti-erreur : $\dfrac{OM}{OA}$ associe deux longueurs portées par la même droite. Idem pour $\dfrac{ON}{OB}$. C'est la clé pour ne pas se tromper de rapport.
La configuration croisée (le papillon)
Même point $O$, mais cette fois il est entre les points : $A$ et $M$ de part et d'autre de $O$, $B$ et $N$ de part et d'autre de $O$. Les triangles $OMN$ et $OAB$ se retrouvent tête-bêche : c'est le fameux papillon.
Bonne nouvelle : rien ne change dans la formule. Tant que $(MN) \parallel (AB)$ :
Le seul risque du papillon, c'est de mal repérer qui va avec qui à cause du croisement. Reste méthodique : $M$ va avec $A$ (leur droite), $N$ va avec $B$ (leur droite), exactement comme en configuration directe.
La réciproque et la méthode
Le théorème part du parallélisme pour trouver des longueurs. La réciproque fait exactement l'inverse : elle part de longueurs pour prouver le parallélisme.
Si $O$, $M$, $A$ sont alignés, $O$, $N$, $B$ sont alignés, et si $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$, alors $(MN) \parallel (AB)$.
Le mot d'ordre : dans le théorème, le parallélisme est une hypothèse qu'on te donne ; dans la réciproque, c'est la conclusion que tu gagnes en montrant que deux rapports sont égaux.
- Repérer le point $O$ et vérifier que $(O, M, A)$ et $(O, N, B)$ sont bien alignés.
- Repérer les droites parallèles et la longueur cherchée.
- Écrire l'égalité complète : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
- Ne garder que les deux rapports contenant l'inconnue, puis produit en croix.
- Calculer et vérifier que la longueur trouvée est positive.
On sort le brouillon et on fait les calculs ensemble, ligne par ligne. Ici tu ne fais rien tout seul : tu regardes la méthode tourner, comme un ralenti sportif. Trois exemples, trois situations, zéro piège caché.
Exemple 1 — trouver deux longueurs (configuration directe)
Allez, brouillon sorti, on avance ensemble. Énoncé : $O$, $M$, $A$ alignés ; $O$, $N$, $B$ alignés ; $(MN) \parallel (AB)$. On sait que $OM = 8$, $OA = 12$, $OB = 9$ et $AB = 15$. Trouver $ON$ et $MN$.
On pose Thalès (le parallélisme est donné) : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
On cherche $ON$. Je choisis les deux rapports qui contiennent $ON$ : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$.
Je remplace : $\dfrac{8}{12} = \dfrac{ON}{9}$.
Produit en croix : $12 \times ON = 8 \times 9$, donc $ON = \dfrac{72}{12} = 6$.
On cherche $MN$. Cette fois : $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA}$, soit $\dfrac{MN}{15} = \dfrac{8}{12}$.
Produit en croix : $12 \times MN = 15 \times 8$, donc $MN = \dfrac{120}{12} = 10$.
Bilan : $ON = 6$ et $MN = 10$. Deux longueurs positives, tout roule.
Exemple 2 — la version papillon
Même méthode, dessin croisé. Énoncé : $O$ est entre $A$ et $M$, et entre $B$ et $N$ ; $(MN) \parallel (AB)$ ; $OA = 6$, $OM = 4$, $ON = 5$, $AB = 9$. Trouver $OB$ et $MN$.
Thalès, version papillon (même formule) : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
On cherche $OB$. Les deux rapports concernés : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$, soit $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{OB}$.
Produit en croix : $4 \times OB = 6 \times 5$, donc $OB = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$.
On cherche $MN$. $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{OM}{OA}$, soit $\dfrac{MN}{9} = \dfrac{4}{6}$.
Produit en croix : $6 \times MN = 9 \times 4$, donc $MN = \dfrac{36}{6} = 6$.
Le réflexe papillon : ne te laisse pas piéger par le croisement. $M$ va avec $A$ (leur droite), $N$ va avec $B$ (leur droite), pile comme en configuration directe.
Exemple 3 — prouver que deux droites sont parallèles
Ici on ne calcule pas une longueur : on démontre un parallélisme avec la réciproque. Énoncé : $O$, $M$, $A$ alignés dans cet ordre ; $O$, $N$, $B$ alignés dans cet ordre ; $OM = 4$, $OA = 10$, $ON = 6$, $OB = 15$. Les droites $(MN)$ et $(AB)$ sont-elles parallèles ?
Étape clé : on calcule séparément les deux rapports. Surtout, on ne suppose PAS le parallélisme au départ, ce serait de la triche.
Premier rapport : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{4}{10} = 0{,}4$.
Deuxième rapport : $\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$.
On compare : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ (les deux valent $0{,}4$), et les points sont alignés dans le même ordre.
Conclusion (réciproque de Thalès) : $(MN) \parallel (AB)$.
La rédaction gagnante : je cite la réciproque, je montre l'égalité des rapports, je conclus. Pas d'égalité posée d'avance.
Le contrôle (ou le brevet) approche pour de vrai. On vise les points : bonne rédaction, unités propres, pas de piège, et un correcteur content. On travaille sur des situations concrètes, comme celles qui tombent le jour J.
Problème concret — mesurer une hauteur inaccessible
Le grand classique : mesurer un arbre sans grimper dedans. On plante un piquet vertical, on aligne l'œil, le sommet du piquet et le sommet de l'arbre. Le sol et les deux verticales forment une configuration de Thalès.
Énoncé. Depuis un point $O$ au sol, la ligne de visée passe par le haut du piquet $[CD]$ puis par le sommet de l'arbre $[EF]$. Le piquet mesure $CD = 1{,}5$ m et se trouve à $OC = 2$ m de $O$ ; l'arbre est à $OE = 8$ m de $O$. Le piquet et l'arbre sont tous deux verticaux, donc $(CD) \parallel (EF)$. Quelle est la hauteur $EF$ de l'arbre ?
Thalès ($O$, $C$, $E$ alignés au sol ; $O$, $D$, $F$ alignés sur la visée ; $(CD) \parallel (EF)$) : $\dfrac{OC}{OE} = \dfrac{CD}{EF}$.
On remplace : $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1{,}5}{EF}$.
Produit en croix : $2 \times EF = 8 \times 1{,}5$, donc $EF = \dfrac{12}{2} = 6$ m.
L'arbre mesure 6 m. Petit réflexe malin : vérifier que c'est plausible. Un arbre de 6 m, oui ; de 60 m, on aurait cherché l'erreur.
Un exercice type brevet, entièrement rédigé
Énoncé. $O$, $M$, $A$ sont alignés et $O$, $N$, $B$ sont alignés. On donne $OM = 3$ cm, $OA = 4{,}5$ cm, $ON = 5$ cm, $OB = 7{,}5$ cm, et $(MN) \parallel (AB)$.
1. Calculer $AB$ sachant que $MN = 2$ cm.
2. Un élève affirme que $\dfrac{OM}{OA}$ et $\dfrac{ON}{OB}$ sont égaux. A-t-il raison ?
Question 1. Comme $O$, $M$, $A$ sont alignés, $O$, $N$, $B$ sont alignés et $(MN) \parallel (AB)$, le théorème de Thalès donne $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{MN}{AB}$.
On remplace : $\dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{AB}$.
Produit en croix : $3 \times AB = 4{,}5 \times 2$, donc $AB = \dfrac{9}{3} = 3$ cm.
Question 2. On calcule chaque rapport : $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{ON}{OB} = \dfrac{5}{7{,}5} = \dfrac{2}{3}$.
Les deux valent $\dfrac{2}{3}$ : l'élève a raison, ils sont bien égaux, ce qui est cohérent avec $(MN) \parallel (AB)$.
Pièges classiques et attentes du correcteur
- Mélanger les rapports : écrire $\dfrac{OM}{ON}$ au lieu de $\dfrac{OM}{OA}$. Rappel : un rapport associe toujours deux longueurs de la même droite.
- Oublier de vérifier l'alignement : sans triplets alignés, pas de Thalès. On l'écrit dans la copie.
- Confondre théorème et réciproque : le parallélisme est soit une hypothèse (théorème), soit une conclusion (réciproque), jamais les deux à la fois.
- Unités différentes : convertir avant de calculer. Mélanger des cm et des m donne un faux résultat.
- Une phrase qui justifie l'emploi de Thalès : « Comme les points sont alignés et $(MN) \parallel (AB)$, d'après le théorème de Thalès… ».
- L'égalité des rapports écrite en entier avant de remplacer par les nombres.
- Pour la réciproque : les deux rapports calculés séparément, la comparaison, puis la conclusion, en précisant que les points sont alignés dans le même ordre.
- Une conclusion rédigée avec l'unité.
Bonus rédaction — prouver que deux droites ne sont PAS parallèles. Si $\dfrac{OM}{OA} \neq \dfrac{ON}{OB}$, alors $(MN)$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles : c'est la contraposée du théorème, parfaitement acceptée en démonstration.
Tu maîtrises Thalès ? Alors regardons pourquoi il marche, et où tu vas le recroiser plus tard (spoiler : à peu près partout). De quoi arriver en seconde avec un temps d'avance.
Pourquoi Thalès fonctionne (l'idée de la preuve)
En 3e on admet Thalès, mais tu peux déjà en sentir la raison. Passer du triangle $OMN$ au triangle $OAB$, c'est faire un agrandissement de centre $O$ : chaque point du petit triangle est poussé le long de sa droite d'un même facteur $k$.
Ce facteur, c'est justement $k = \dfrac{OA}{OM}$. Comme tout est multiplié par le même $k$, on a en même temps $OB = k \times ON$ et $AB = k \times MN$. En réécrivant ces égalités sous forme de quotients, on retombe pile sur $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB} = \dfrac{MN}{AB}$.
Cette transformation « agrandir depuis un centre » porte un nom que tu croises aussi en 3e : l'homothétie. Thalès et homothétie racontent la même histoire, vue sous deux angles.
Les notions cousines à relier
- Homothéties (3e) : l'agrandissement/réduction de centre $O$ et de rapport $k$, le moteur caché de Thalès.
- Agrandissement–réduction (3e) : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires le sont par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Thalès, lui, te donne le $k$.
- Proportionnalité : Thalès n'est finalement qu'un tableau de proportionnalité déguisé en figure.
- Trigonométrie (déjà amorcée en 3e) : une autre façon de relier longueurs et rapports dans les triangles.
Le vrai super-pouvoir : quand une figure te montre deux droites parallèles et un point de croisement, ton radar Thalès doit s'allumer, même dans un chapitre qui ne s'appelle pas « Thalès ».
Ce qui t'attend en seconde
Thalès ne prend pas sa retraite après le brevet, il change juste de costume :
- En seconde, on manipule les vecteurs et la colinéarité : dire que $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{OA}$ sont colinéaires, c'est exactement la version « vecteurs » de l'alignement de Thalès.
- La géométrie repérée (avec des coordonnées) redémontre proprement pourquoi des droites sont parallèles, sans avoir à sortir la règle graduée.
- Le principe « des parallèles découpent des segments proportionnels » réapparaît dans les projections et les jeux de droites.
Autrement dit, la petite égalité $\dfrac{OM}{OA} = \dfrac{ON}{OB}$ que tu écris aujourd'hui est une graine : elle repousse en vecteurs, en coordonnées et jusque dans les fonctions affines, dont la pente est, elle aussi, un rapport de proportionnalité. Bien joué d'avance.