<p>Pas de panique ! Même si tu n’as jamais vu cette notion en classe, on va la décomposer ensemble. Elle s’appuie sur le théorème de Pythagore que tu connais depuis la 4e. On en fait un petit rappel, puis on attaque la réciproque. Tu vas voir, avec une méthode simple, tu sauras vite t’en servir pour le contrôle.</p>
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse : c'est toujours le plus grand côté. Le théorème de Pythagore dit :
$ \text{hypoténuse}^2 = (\text{côté 1})^2 + (\text{côté 2})^2 $.
Exemple : si ABC est rectangle en A, alors BC est l'hypoténuse et on a : $ BC^2 = AB^2 + AC^2 $.
On utilise ce théorème pour calculer une longueur quand on connaît les deux autres.
La réciproque renverse le théorème. Elle dit :
Si dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
En clair, quand on te donne les trois longueurs d’un triangle sans te dire s’il est rectangle, tu peux vérifier la relation de Pythagore pour le savoir. Si l’égalité tient, l’angle droit se trouve en face du plus grand côté.
Méthode en 5 étapes :
Exemple éclair : Soit le triangle MNP avec $ MN = 3 \text{ cm} $, $ NP = 4 \text{ cm} $, $ MP = 5 \text{ cm} $.
Plus grand côté : $ MP = 5 \text{ cm} $.
$ MP^2 = 5^2 = 25 $.
$ MN^2 + NP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $.
$ MP^2 = MN^2 + NP^2 $ → d’après la réciproque, MNP est rectangle en N.
Soit le triangle ABC suivant :
Vérifie si ABC est rectangle en complétant le raisonnement :
Soit le triangle ABC :
Même consigne pour le triangle RST : RS = 5 cm, ST = 6 cm, RT = 9 cm. Attention, le résultat pourrait être différent !
<p>Tu as l’impression de reconnaître ces calculs ? Normal ! C’est la réciproque de Pythagore. On va réactiver la méthode ensemble, avec une fiche claire et des exercices bien guidés pour que tout devienne automatique.</p>
1. Trouver le plus grand côté
Repère la plus grande longueur parmi les trois. Ce côté est le candidat hypoténuse. On l'appelle souvent c.
2. Calculer son carré
Élève cette longueur au carré (attention à bien utiliser les unités). Ex : $ 12^2 = 144 $.
3. Calculer la somme des carrés des deux autres
Prends les deux autres côtés, élève chacun au carré puis additionne. Ex : $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $.
4. Comparer
Regarde si le carré du plus grand côté (étape 2) est égal à la somme calculée (étape 3).
5. Conclure
- Si égalité : « D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en … » (le sommet opposé au plus grand côté).
- Si inégalité : « D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle. »
Petite astuce : la rédaction compte beaucoup au contrôle. N'oublie pas de nommer le théorème et l'angle droit quand il y a un.
Applique la méthode sur le triangle EFG : EF = 7 cm, FG = 24 cm, EG = 25 cm.
Complète :
Même exercice avec le triangle PQR : PQ = 10 cm, QR = 12 cm, PR = 13 cm.
Voici un triangle ABC avec AB = 13 cm, BC = 5 cm, AC = 12 cm. Prouve qu'il est rectangle et précise le sommet de l'angle droit.
<p>On robotise la vérification ! Cinq triangles, une seule routine : identification du plus grand, calculs, comparaison, conclusion. Tu vas le faire les doigts dans le nez.</p>
Triangle 1 : ABC avec AB = 8 cm, BC = 15 cm, CA = 17 cm.
Complète :
Triangle 2 : DEF avec DE = 5 cm, EF = 10 cm, FD = 12 cm.
Triangle 3 : GHI avec GH = 9 cm, HI = 12 cm, IG = 15 cm.
Triangle 4 : JKL avec JK = 7 cm, KL = 24 cm, LJ = 25 cm.
Triangle 5 : MNO avec MN = 3 cm, NO = 5 cm, MO = 6 cm.
<p>Ça y est, tu es chaud ! Ces exercices sont au niveau de ce qu’on peut te demander en brevet blanc ou en contrôle. Problèmes concrets, rédaction complète, tu gères.</p>
Exercice 1 : On considère le triangle XYZ tel que $ XY = 5{,}6 \text{ cm} $, $ YZ = 3{,}3 \text{ cm} $ et $ ZX = 6{,}5 \text{ cm} $. Ce triangle est-il rectangle ? Justifie.
Le plus grand côté est $ ZX = 6{,}5 \text{ cm} $.
$ ZX^2 = 6{,}5^2 = 42{,}25 $.
$ XY^2 + YZ^2 = 5{,}6^2 + 3{,}3^2 = 31{,}36 + 10{,}89 = 42{,}25 $.
On a $ ZX^2 = XY^2 + YZ^2 $.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle XYZ est rectangle en Y.
Exercice 2 : Une étagère est fixée à un mur. Pour vérifier qu’elle est perpendiculaire au mur, on mesure les distances suivantes : le long de l’étagère depuis le mur : 80 cm ; le long du mur depuis le point de fixation jusqu’au sol : 60 cm ; la distance entre l’extrémité de l’étagère et le point au sol : 100 cm. L’étagère forme-t-elle un angle droit avec le mur ?
On modélise la situation par un triangle ABC rectangle en A si l'étagère est bien droite. AB = 80 cm (étagère), AC = 60 cm (mur), BC = 100 cm (distance oblique).
Le plus grand côté est BC = 100 cm.
$ BC^2 = 10 000 $.
$ AB^2 + AC^2 = 80^2 + 60^2 = 6 400 + 3 600 = 10 000 $.
Comme $ BC^2 = AB^2 + AC^2 $, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en A. Donc l'étagère est bien perpendiculaire au mur.
Exercice 3 : Soit un triangle ABC avec $ AB = 7 \text{ dm} $, $ BC = 10 \text{ dm} $, $ AC = 12 \text{ dm} $. Ce triangle est-il rectangle ?
Plus grand côté : $ AC = 12 \text{ dm} $.
$ AC^2 = 144 $.
$ AB^2 + BC^2 = 7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149 $.
On a $ AC^2
eq AB^2 + BC^2 $ (144 ≠ 149).
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n'est pas rectangle.
Exercice 4 : Un champ triangulaire a pour dimensions 180 m, 240 m et 300 m. Montre qu'il est rectangle et indique en quel sommet se trouve l'angle droit.
Plus grand côté = 300 m.
$ 300^2 = 90 000 $.
$ 180^2 + 240^2 = 32 400 + 57 600 = 90 000 $.
On a l'égalité, donc d'après la réciproque, le triangle est rectangle. L'angle droit est au sommet opposé au côté de 300 m, c'est-à-dire au sommet commun aux côtés de 180 m et 240 m.
Exercice 5 : Dans un repère orthonormé, place les points $ A(1 ; 2) $, $ B(5 ; 5) $ et $ C(4 ; 0) $. Calcule les longueurs AB, AC et BC. Le triangle ABC est-il rectangle ?
$ AB^2 = (5-1)^2 + (5-2)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 $ donc $ AB = 5 $.
$ AC^2 = (4-1)^2 + (0-2)^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13 $ donc $ AC = \sqrt{13} \approx 3{,}61 $.
$ BC^2 = (4-5)^2 + (0-5)^2 = (-1)^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26 $ donc $ BC = \sqrt{26} \approx 5{,}10 $.
Le plus grand côté est $ BC $.
$ BC^2 = 26 $, $ AB^2 + AC^2 = 25 + 13 = 38 $.
$ 26
eq 38 $, donc le triangle ABC n'est pas rectangle.
<p>Curieux de voir où ça peut mener ? Voici des situations qui mêlent la réciproque à d’autres notions, comme en seconde. Prends ton temps, explore, et si tu coinces, les corrigés sont là.</p>
Exercice 1 — Preuve algébrique : Soit $ n $ un nombre entier strictement supérieur à 1. On construit un triangle ABC avec $ AB = n^2 - 1 $, $ BC = 2n $ et $ AC = n^2 + 1 $. Démontre que, quelle que soit la valeur de $ n $, ce triangle est toujours rectangle. Précise en quel point se trouve l'angle droit.
On détermine d'abord le plus grand côté. Pour $ n > 1 $, on a $ n^2 + 1 > 2n $ et $ n^2 + 1 > n^2 - 1 $, donc AC est le plus grand côté.
Calculons $ AC^2 = (n^2 + 1)^2 = n^4 + 2n^2 + 1 $.
Puis $ AB^2 + BC^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 $.
On trouve $ AC^2 = AB^2 + BC^2 $. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle (quel que soit $ n > 1 $). L'angle droit est en B, car opposé à AC.
Exercice 2 — Avec coordonnées : Dans un repère orthonormé, on donne les points $ E(1 ; 2) $, $ F(7 ; 2) $ et $ G(1 ; 10) $. Montre que le triangle EFG est rectangle, puis calcule son aire.
$ EF^2 = (7-1)^2 + (2-2)^2 = 6^2 = 36 $, donc $ EF = 6 $.
$ EG^2 = (1-1)^2 + (10-2)^2 = 8^2 = 64 $, donc $ EG = 8 $.
$ FG^2 = (1-7)^2 + (10-2)^2 = (-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $, donc $ FG = 10 $.
Le plus grand côté est $ FG = 10 $.
$ FG^2 = 100 $ ; $ EF^2 + EG^2 = 36 + 64 = 100 $.
Donc $ FG^2 = EF^2 + EG^2 $. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.
Aire = $ \dfrac{EF \times EG}{2} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24 $ unités d'aire.
Fiche gratuite créée par Vidyalaya, association d'éducation populaire — soutien scolaire, FLE & DELF, libre et gratuit pour tous.
Tu bloques encore ? Écris-nous, on t'aide gratuitement : contact@vidyalaya.fr.
Fiche librement réutilisable sous licence CC BY-SA 4.0 — copiez, imprimez, adaptez, en citant Vidyalaya et en conservant la même licence.