Symétrie centrale

Tourner d'un demi-tour autour d'un point — une transformation qui conserve les distances et les angles.

1 L'idée

La symétrie centrale de centre $O$ est une transformation géométrique qui associe à tout point $A$ un point $A'$ tel que $O$ est le milieu du segment $[AA']$. On dit que $A'$ est le symétrique de $A$ par rapport à $O$.

Géométriquement, obtenir $A'$ depuis $A$ revient à effectuer un demi-tour autour de $O$ : les points $A$, $O$ et $A'$ sont alignés, et $OA = OA'$.

2 Propriétés fondamentales

Définition

$A' \text{ symétrique de } A \text{ par rapport à } O \iff O \text{ milieu de } [AA']$

Coordonnées

$x_{A'} = 2x_O - x_A \qquad y_{A'} = 2y_O - y_A$

Conservation

$A'B' = AB \quad \text{(longueurs et angles conservés)}$

3 Trouver le symétrique d'un point dans un repère

Exemple

Soit $O(2, 1)$ et $A(5, 3)$. Calculer les coordonnées de $A'$, symétrique de $A$ par rapport à $O$.

$x_{A'} = 2 \times 2 - 5 = 4 - 5 = -1$

$y_{A'} = 2 \times 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Donc $A'(-1, -1)$.

Vérification : milieu de $[AA'] = \left(\dfrac{5 + (-1)}{2},\; \dfrac{3 + (-1)}{2}\right) = (2, 1) = O$ ✓

Méthode — construire le symétrique d'un point à la règle

Tracer la droite passant par $O$ et par $A$.
Mesurer la distance $OA$ avec la règle.
Reporter cette même distance de l'autre côté de $O$ sur la droite : le point obtenu est $A'$.
Vérifier que $OA = OA'$ (c'est-à-dire que $O$ est bien le milieu de $[AA']$).

Figures ayant un centre de symétrie

Dans tout parallélogramme $ABCD$, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$ : $A$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$, et $B$ et $D$ aussi.

Le cercle : le centre du cercle est le centre de symétrie.
Le parallélogramme (et ses cas particuliers : rectangle, losange, carré) : le centre est l'intersection de ses deux diagonales.
Le triangle (en général) n'a pas de centre de symétrie.

Erreurs fréquentes

Confondre symétrie centrale (par rapport à un point) et symétrie axiale (par rapport à une droite).
Oublier de transformer les deux coordonnées : si $O = (0, 0)$, le symétrique de $A(3, -2)$ est $A'(-3, 2)$ et non $(-3, -2)$.
Croire que $A$, $O$ et $A'$ ne sont pas alignés : en symétrie centrale, ces trois points sont toujours alignés.