Demi-tour (symétrie centrale)

Les 3 prérequis à avoir sous la main

Avant de commencer, trois petites choses que tu connais déjà.

Le milieu d'un segment. Le milieu de $[AB]$, c'est le point pile au centre : il est sur le segment $[AB]$ et à égale distance des deux extrémités.

Des points alignés. Trois points sont alignés quand une seule droite passe par les trois.

Se repérer dans un repère. Un point a deux coordonnées $(x\,;\,y)$ : $x$ pour aller à droite ou à gauche, $y$ pour monter ou descendre.

Avec ça, tu as tout ce qu'il faut. Promis.

L'essentiel : un demi-tour autour d'un point

Le demi-tour de centre $O$ — son autre nom officiel est symétrie centrale de centre $O$ — transforme un point $A$ en un point $A'$ : on fait faire à $A$ un demi-tour autour de $O$. Le point $A'$ s'appelle l'image de $A$, ou son symétrique par rapport à $O$.

La règle à retenir, la seule : $O$ est le milieu de $[AA']$. Deux conséquences immédiates : les points $A$, $O$ et $A'$ sont alignés, et les longueurs $OA$ et $OA'$ sont égales.

Si on travaille dans un repère, on calcule directement les coordonnées de $A'$ :

$x_{A'} = 2\,x_O - x_A \qquad\text{et}\qquad y_{A'} = 2\,y_O - y_A$

Un exemple, du début à la fin

On donne le centre $O(2\,;\,1)$ et le point $A(5\,;\,3)$. On cherche $A'$, l'image de $A$ par le demi-tour de centre $O$.

Étape 1 — l'abscisse. $x_{A'} = 2\,x_O - x_A = 2\times 2 - 5 = 4 - 5 = -1$.

Étape 2 — l'ordonnée. $y_{A'} = 2\,y_O - y_A = 2\times 1 - 3 = 2 - 3 = -1$.

Étape 3 — la réponse. Donc $A'(-1\,;\,-1)$.

Étape 4 — on vérifie que $O$ est bien le milieu de $[AA']$ : le milieu a pour coordonnées $\left(\dfrac{5+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{3+(-1)}{2}\right) = (2\,;\,1)$, c'est bien $O$. Nickel.

La définition, au propre

Soit un point $O$ appelé centre. L'image d'un point $A$ par le demi-tour de centre $O$ est l'unique point $A'$ tel que $O$ est le milieu du segment $[AA']$.

Ce point $A'$ existe toujours, et il est unique. La transformation qui, à chaque point du plan, associe son image s'appelle le demi-tour de centre $O$. Le programme écrit exactement « le demi-tour, ou symétrie centrale » : les deux mots désignent la même transformation, et tu peux rencontrer l'un comme l'autre dans un énoncé. On dit aussi que $A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $O$.

Deux conséquences immédiates de « $O$ milieu de $[AA']$ » : les points $A$, $O$, $A'$ sont alignés, et les longueurs $OA$ et $OA'$ sont égales. C'est exactement l'idée du demi-tour autour de $O$.

Un cas particulier utile : l'image de $O$ est $O$ lui-même. Le centre est le seul point du plan qui ne bouge pas.

Deux méthodes pour construire l'image d'un point

Selon ce qu'on te donne, tu as deux façons de faire. Elles donnent le même point.

Méthode 1 — à la règle (sans repère).

1) Trace la droite qui passe par $O$ et par $A$.

2) Mesure la longueur $OA$ avec ta règle.

3) Reporte cette même longueur de l'autre côté de $O$, sur la droite : tu obtiens $A'$.

4) Vérifie que $OA = OA'$, autrement dit que $O$ est le milieu de $[AA']$.

Méthode 2 — par le calcul (dans un repère). Si $O(x_O\,;\,y_O)$ et $A(x_A\,;\,y_A)$, alors :

$x_{A'} = 2\,x_O - x_A \qquad y_{A'} = 2\,y_O - y_A$

Ces deux formules viennent directement du fait que $O$ est le milieu de $[AA']$ : l'abscisse de $O$ est la moyenne de celles de $A$ et $A'$, et pareil pour les ordonnées.

Sur la figure, $A(5\,;\,3)$ a pour image $A'(-1\,;\,-1)$ par le demi-tour de centre $O(2\,;\,1)$ : les trois points sont bien alignés, et $O$ tombe pile au milieu.

Ce que le demi-tour conserve

Le demi-tour ne déforme rien. Il conserve l'alignement, les longueurs, les angles et le parallélisme : ce sont les quatre propriétés à connaître. On écrit la deuxième ainsi — si $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$, alors $A'B' = AB$.

Quatre conséquences directes, très utiles en exercice :

• l'image d'un segment est un segment de même longueur ;

• l'image d'une droite $(d)$ est une droite parallèle à $(d)$ — et c'est $(d)$ elle-même lorsque $(d)$ passe par $O$ ;

• l'image d'un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l'image du centre ;

• l'image d'une figure est superposable à la figure de départ : même périmètre, même aire.

Pour transformer une figure entière, on construit l'image de chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre : c'est l'objet de l'exemple 3 du palier suivant.

Les figures qui ont un centre de symétrie

Certaines figures se retrouvent sur elles-mêmes après un demi-tour : on dit qu'elles ont un centre de symétrie.

• Le cercle : son centre de symétrie est son centre.

• Le segment : son centre de symétrie est son milieu.

• Le parallélogramme (et ses cas particuliers : rectangle, losange, carré) : son centre de symétrie est le point d'intersection de ses deux diagonales.

• Un triangle n'a jamais de centre de symétrie.

Dans un parallélogramme $ABCD$, les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$ : $A$ et $C$ sont donc images l'un de l'autre par le demi-tour de centre $O$, et $B$ et $D$ aussi.

Exemple 1 — une image par le calcul (attention aux signes)

On prend le centre à l'origine $O(0\,;\,0)$ et le point $A(3\,;\,-2)$. Cherchons $A'$ ensemble.

On applique les formules avec $x_O = 0$ et $y_O = 0$.

$x_{A'} = 2\,x_O - x_A = 2\times 0 - 3 = 0 - 3 = -3$.

$y_{A'} = 2\,y_O - y_A = 2\times 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$.

Donc $A'(-3\,;\,2)$.

Le point clé : on change le signe des deux coordonnées. Le piège serait de répondre $(-3\,;\,-2)$ en oubliant de toucher au $y$. Quand le centre est l'origine, retiens simplement : $A(x\,;\,y)$ a pour image $A'(-x\,;\,-y)$.

Exemple 2 — construire l'image à la règle

Cette fois, pas de repère : juste un point $A$, un centre $O$, et une règle graduée. On construit $A'$ ensemble.

Ligne 1. On trace la droite $(OA)$, celle qui passe par $O$ et par $A$. Le point $A'$ sera sur cette droite, jamais ailleurs.

Ligne 2. On mesure la distance : disons $OA = 4$ cm.

Ligne 3. On repart de $O$ dans la direction opposée à $A$, et on avance de $4$ cm sur la droite. On marque le point : c'est $A'$.

Ligne 4. Contrôle : $OA = OA' = 4$ cm et $A$, $O$, $A'$ sont alignés. $O$ est bien le milieu de $[AA']$, et au passage $AA' = 8$ cm. Construction validée.

Sur le schéma, le petit trait posé sur $[OA]$ et sur $[OA']$ rappelle que ces deux longueurs sont égales, et l'arc en pointillés montre le demi-tour.

Exemple 3 — l'image d'une figure entière

Pour transformer une figure, on transforme chaque sommet, puis on relie les images dans le même ordre. Prenons le triangle $ABC$ et son image par le demi-tour de centre $O$.

Étape 1. On construit $A'$, image de $A$ : $O$ milieu de $[AA']$.

Étape 2. On construit $B'$, image de $B$ : $O$ milieu de $[BB']$.

Étape 3. On construit $C'$, image de $C$ : $O$ milieu de $[CC']$.

Étape 4. On relie $A'$, $B'$ et $C'$. Le triangle $A'B'C'$ est l'image du triangle $ABC$.

Comme le demi-tour conserve les longueurs, $A'B' = AB$, $B'C' = BC$ et $A'C' = AC$ : les deux triangles sont superposables — exactement la même forme et la même taille, simplement tournés d'un demi-tour autour de $O$.

Piège n°1 : demi-tour ou symétrie axiale ?

C'est l'erreur classique. La symétrie axiale, tu la construis déjà : c'est un automatisme qu'on entretient, pas la leçon de ce chapitre. Mais elle ressemble assez au demi-tour pour qu'on les confonde.

• Le demi-tour (symétrie centrale) se fait par rapport à un point, le centre $O$ : $O$ est le milieu de $[AA']$, donc $A$, $O$ et $A'$ sont alignés.

• La symétrie axiale se fait par rapport à une droite, l'axe : c'est un pliage, un effet miroir, et l'axe coupe $[AA']$ en son milieu et perpendiculairement.

Comment ne plus jamais confondre : on te parle d'un point, c'est un demi-tour ; on te parle d'une droite (un axe, un pli), c'est une symétrie axiale.

Le contrôle au papier calque, imparable : décalque la figure de départ, plante la pointe de ton crayon sur $O$ et fais pivoter le calque d'un demi-tour, sans jamais le retourner. Si les deux figures se superposent, c'est bien un demi-tour. Avec un axe, au contraire, il faut retourner le calque.

Sur la figure : à gauche, un demi-tour autour du point $O$ ; à droite, un reflet par rapport à la droite $(d)$. Regarde bien : à droite le segment arrive perpendiculairement à l'axe — le petit carré marque l'angle droit — alors qu'à gauche il traverse le point $O$.

Un problème type, entièrement résolu

Énoncé. Dans un repère, on donne $A(-2\,;\,1)$, $B(4\,;\,3)$ et le centre $O(1\,;\,-1)$. On note $A'$ et $B'$ les images de $A$ et $B$ par le demi-tour de centre $O$. Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$, puis comparer les longueurs $AB$ et $A'B'$.

Coordonnées de $A'$. $x_{A'} = 2\times 1 - (-2) = 2 + 2 = 4$ et $y_{A'} = 2\times(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$. Donc $A'(4\,;\,-3)$.

Coordonnées de $B'$. $x_{B'} = 2\times 1 - 4 = 2 - 4 = -2$ et $y_{B'} = 2\times(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$. Donc $B'(-2\,;\,-5)$.

Comparaison des longueurs. Pas besoin de calculer $AB$ et $A'B'$ un par un : le demi-tour conserve les longueurs. Comme $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$, on a directement $A'B' = AB$.

Ce que le correcteur veut lire : la phrase de justification « le demi-tour conserve les longueurs ». Donner juste $A'B' = AB$ sans la justifier, c'est perdre les points du raisonnement, même quand le résultat est juste.

Deuxième problème + la checklist anti-fautes

Énoncé. On sait que $A$ et $C$ sont images l'un de l'autre par le demi-tour de centre $O$, et que $B$ et $D$ le sont aussi, pour ce même centre $O$. Que peut-on dire du quadrilatère $ABCD$ ?

Raisonnement. « $A$ et $C$ symétriques par rapport à $O$ » signifie que $O$ est le milieu de $[AC]$. De même, $O$ est le milieu de $[BD]$.

Donc les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du quadrilatère $ABCD$ se coupent en leur milieu commun $O$.

Conclusion. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

La checklist à cocher avant de rendre ta copie :

• J'ai bien transformé les deux coordonnées, pas seulement le $x$.

• J'ai justifié par « $O$ est le milieu de $[AA']$ » ou par une propriété de conservation, pas seulement lâché un résultat.

• Je n'ai pas confondu le demi-tour (un point) et la symétrie axiale (une droite).

• Sur ma figure, $A$, $O$ et $A'$ sont alignés, et $O$ est visiblement au milieu de $[AA']$.

Pourquoi les longueurs sont-elles conservées ? (une démonstration)

On l'a utilisé partout : $A'B' = AB$. Mais pourquoi ? Voici l'idée, entièrement à ta portée en 5e.

Soit $A$ et $B$ deux points, et $A'$, $B'$ leurs images par le demi-tour de centre $O$. Par définition, $O$ est le milieu de $[AA']$ et le milieu de $[BB']$.

Regarde le quadrilatère $ABA'B'$ (dans cet ordre). Ses diagonales sont $[AA']$ et $[BB']$ — et elles se coupent justement en leur milieu commun $O$.

Or un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc $ABA'B'$ est un parallélogramme.

Et dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur. Les côtés $[AB]$ et $[A'B']$ sont opposés, donc $A'B' = AB$. Voilà la conservation des longueurs démontrée, et plus seulement admise.

Une précision d'honnêteté. Ce raisonnement suppose que $A$, $O$ et $B$ ne sont pas alignés, sinon il n'y a pas de vrai quadrilatère. Dans ce cas particulier, les quatre points sont sur une même droite et on conclut directement avec $OA = OA'$ et $OB = OB'$.

Ce qui t'attend en 4e, puis en 3e

Quelques ponts vers la suite, pour que rien ne te surprenne :

• En 4e, le demi-tour passe du côté des automatismes. Construire l'image d'un point, reconnaître deux figures images l'une de l'autre et retrouver le centre : ce ne sera plus une leçon, ce sera un réflexe supposé acquis. Autant le verrouiller cette année.

• En 4e arrive la translation : faire glisser une figure sans la faire pivoter. Et le pont, c'est justement le parallélogramme que tu viens de rencontrer — le programme demande de comprendre l'effet d'une translation, de faire le lien avec les parallélogrammes et les angles, et d'utiliser ses propriétés de conservation.

• En 4e aussi, le théorème de Pythagore te permettra de calculer une longueur — et donc de vérifier toi-même, chiffres à l'appui, que $A'B' = AB$.

• En 3e, les vecteurs. La translation y sera définie à l'aide d'un parallélogramme, et le demi-tour s'écrira de façon très compacte : $\overrightarrow{OA'}$ est l'opposé de $\overrightarrow{OA}$ — même longueur, sens contraire.

• Le milieu par le calcul. La formule de l'image vient de celle du milieu : $x_O = \dfrac{x_A + x_{A'}}{2}$. On la retourne pour isoler $x_{A'}$, et on retrouve $x_{A'} = 2\,x_O - x_A$. Tu la reverras pour calculer des milieux directement.

Le clin d'œil culturel (jamais évalué)

Le programme propose lui-même une ouverture culturelle autour de ce chapitre : les rosaces et les pavages dans l'art du Moyen Âge, et les formes de la nature — le flocon de neige, les alvéoles d'abeilles, les fleurs.

Amuse-toi à trier : le flocon à six branches et l'alvéole hexagonale se retrouvent sur eux-mêmes après un demi-tour, ils ont donc un centre de symétrie. Une fleur à cinq pétales, elle, ne se retrouve pas sur elle-même : pas de centre de symétrie. Même motif, même beauté, mais pas la même propriété — et c'est le vocabulaire de cette fiche qui permet de faire la différence.

C'est une ouverture, pas une leçon : rien de tout ça ne sera demandé au contrôle.