Symétrie centrale — Exercices

Du repère au parallélogramme — cinq exercices de difficulté croissante.

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1Symétrique par rapport à l'origine/ 3 pts

$O$ est l'origine d'un repère. Donner les coordonnées du symétrique de chaque point par rapport à $O$.

$A(3, -2)$
$B(-5, 0)$
$C(-4, -3)$

2Symétrique par rapport à un point quelconque/ 4 pts

Dans un repère, $O$ a pour coordonnées $(2, 1)$. Calculer les coordonnées du symétrique de chaque point par rapport à $O$.

$M(5, 3)$
$N(-1, 4)$

3Conservation des mesures/ 3 pts

$ABC$ est un triangle avec $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 7$ cm et $\widehat{BAC} = 35°$. Le triangle $A'B'C'$ est son symétrique par rapport à un point $O$.

Donner la longueur $A'B'$.
Donner la mesure de $\widehat{B'A'C'}$.
Calculer le périmètre du triangle $A'B'C'$.

4Figures avec centre de symétrie/ 4 pts

Pour chaque figure, indiquer si elle possède un centre de symétrie. Si oui, préciser où il se trouve.

Un rectangle $ABCD$.
Un triangle isocèle $PQR$.
Un parallélogramme $EFGH$ (non rectangle).
Un trapèze quelconque $MNPQ$.

5Problème — Parallélogramme/ 6 pts

$ABCD$ est un parallélogramme. On note $O$ le point d'intersection de ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$. On sait que $AC = 10$ cm et $BD = 6$ cm.

Rappeler la propriété des diagonales d'un parallélogramme, et en déduire que $O$ est le milieu de $[AC]$ et le milieu de $[BD]$.
En déduire que $A$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$, et que $B$ et $D$ sont symétriques par rapport à $O$.
Calculer $OA$, $OC$, $OB$ et $OD$.

Corrigé détaillé

1Symétrique par rapport à l'origine

a) $x_{A'} = -x_A = -3 \quad ; \quad y_{A'} = -y_A = -(-2) = 2$ $A'(-3,\; 2)$

b) $x_{B'} = -(-5) = 5 \quad ; \quad y_{B'} = -0 = 0$ $B'(5,\; 0)$

c) $x_{C'} = -(-4) = 4 \quad ; \quad y_{C'} = -(-3) = 3$ $C'(4,\; 3)$

2Symétrique par rapport à un point quelconque

a) $x_{M'} = 2 \times 2 - 5 = 4 - 5 = -1 \quad ; \quad y_{M'} = 2 \times 1 - 3 = 2 - 3 = -1$ $M'(-1,\; -1)$

b) $x_{N'} = 2 \times 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 \quad ; \quad y_{N'} = 2 \times 1 - 4 = 2 - 4 = -2$ $N'(5,\; -2)$

3Conservation des mesures

a) $\text{La symétrie centrale conserve les longueurs : } A'B' = AB =$ $5 \text{ cm}$

b) $\text{La symétrie centrale conserve les angles : } \widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} =$ $35°$

c) $\text{Périmètre}(ABC) = AB + AC + BC = 5 + 4 + 7 = 16 \text{ cm} \Rightarrow \text{Périmètre}(A'B'C') =$ $16 \text{ cm}$

4Figures avec centre de symétrie

a) $\text{Rectangle } ABCD :$ $\text{Oui — centre = intersection des diagonales } [AC] \text{ et } [BD].$

b) $\text{Triangle isocèle } PQR :$ $\text{Non — aucun triangle n'a de centre de symétrie.}$

c) $\text{Parallélogramme } EFGH :$ $\text{Oui — centre = intersection des diagonales } [EG] \text{ et } [FH].$

d) $\text{Trapèze quelconque } MNPQ :$ $\text{Non.}$

5Problème — Parallélogramme

a) $\text{Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.}$ $\text{Donc } O \text{ est le milieu de } [AC] \text{ et le milieu de } [BD].$

b) $O \text{ milieu de } [AC] \Rightarrow A \text{ et } C \text{ symétriques par rapport à } O. \quad O \text{ milieu de } [BD] \Rightarrow B \text{ et } D \text{ symétriques par rapport à } O.$ $A \text{ et } C \text{ sont symétriques par rapport à } O \text{ ; } B \text{ et } D \text{ aussi.}$

c) $OA = OC = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ cm} \qquad OB = OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ cm}$ $OA = OC = 5 \text{ cm} \quad \text{et} \quad OB = OD = 3 \text{ cm}$