Pas de panique ! On va découvrir la symétrie centrale en partant de ce que tu connais déjà : la symétrie axiale. Accroche-toi, on y va vite mais en douceur.
Rappel éclair : la symétrie axiale (6e)
En symétrie axiale, on plie la feuille le long d'une droite (l'axe). Un point A et son symétrique A' sont de part et d'autre de l'axe, et la droite (AA') est perpendiculaire à l'axe. L'axe est la médiatrice du segment [AA'].
La symétrie centrale : un demi-tour autour d'un point
Imagine que tu tournes la feuille d'un demi-tour autour d'un point O. Le point A vient se placer exactement sur A'. On dit que A' est le symétrique de A par rapport à O. Géométriquement, cela signifie que O est le milieu du segment [AA']. Les points A, O et A' sont donc alignés, et OA = OA'.
À toi de jouer
1. Observe la figure ci-dessous. Le point A' est-il le symétrique de A par rapport à O ? Complète la justification. Figure : A, O, A' alignés, OA = 3 cm, OA' = 3 cm. Oui, car O est le $\underline{\hspace{1.1em}}$ de [AA'] et les points sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Oui, car O est le milieu de [AA'] et les points sont alignés.
2. Parmi ces trois situations, lesquelles correspondent à une symétrie centrale de centre O ? Complète par Oui ou Non. a) A et A' tels que O est le milieu de [AA'] : $\underline{\hspace{1.1em}}$ b) B et B' tels que (BB') est perpendiculaire à une droite (d) passant par O : $\underline{\hspace{1.1em}}$ c) C et C' tels que O est le milieu de [CC'] et C, O, C' alignés : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) Oui (c'est la définition). b) Non (c'est une symétrie axiale, pas centrale). c) Oui (les deux conditions sont réunies).
Ah, ça te revient ? On va remettre tout ça au propre avec la méthode et les propriétés. Après ça, tu sauras construire et calculer les coordonnées.
Définition et propriétés
Définition : A' est le symétrique de A par rapport à O si et seulement si O est le milieu de [AA'].
Propriétés :
Les points A, O et A' sont alignés.
OA = OA'.
La symétrie centrale conserve les longueurs : si A' et B' sont les symétriques de A et B, alors A'B' = AB.
Elle conserve aussi les angles : un angle et son symétrique ont la même mesure.
Méthode : construire le symétrique d'un point à la règle
Tracer la droite passant par O et A.
Mesurer la distance OA.
Reporter cette même distance de l'autre côté de O sur la droite : le point obtenu est A'.
Coordonnées du symétrique
Si O est l'origine du repère (0 ; 0), alors le symétrique de A(x ; y) est A'(-x ; -y).
Si O a pour coordonnées (a ; b), alors le symétrique de A(x ; y) est A'(2a - x ; 2b - y).
À toi de jouer
1. Soit O(0 ; 0). Donne les coordonnées du symétrique de A(4 ; -3) par rapport à O. $x_{A'} = -x_A = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = -y_A = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc A'( ; ).
Corrigé
$x_{A'} = -4$ ; $y_{A'} = 3$. Donc A'(-4 ; 3).
2. Soit O(2 ; 1). Calcule les coordonnées du symétrique de M(5 ; 3) par rapport à O. $x_{M'} = 2 \times 2 - 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{M'} = 2 \times 1 - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc M'( ; ).
3. Complète les étapes de construction du symétrique de A par rapport à O : 1. Tracer la droite passant par $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$. 2. Mesurer la distance $\underline{\hspace{1.1em}}$. 3. Reporter cette distance de l'autre côté de $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur la droite. Le point obtenu est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1. O et A. 2. OA. 3. O, A'.
On répète pour que ça devienne automatique. Cinq fois le même calcul, avec des nombres différents. Tu vas voir, c'est facile.
Rappel express
Si O(a ; b), alors le symétrique de A(x ; y) est A'(2a - x ; 2b - y).
On passe aux exercices type contrôle. Tu vas utiliser tout ce que tu sais : conservation des longueurs, des angles, figures avec centre de symétrie, et le lien avec les parallélogrammes. Prêt ?
Figures possédant un centre de symétrie
Le cercle : son centre est centre de symétrie.
Le parallélogramme (et ses cas particuliers : rectangle, losange, carré) : le centre est l'intersection des diagonales.
Un segment : son milieu est centre de symétrie.
Un triangle quelconque n'a pas de centre de symétrie.
À toi de jouer
1. ABC est un triangle avec AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 8 cm et $\widehat{BAC} = 40°$. A'B'C' est son symétrique par rapport à un point O. a) Donne la longueur A'B'. b) Donne la mesure de $\widehat{B'A'C'}$. c) Calcule le périmètre du triangle A'B'C'.
Corrigé
a) La symétrie centrale conserve les longueurs, donc A'B' = AB = 6 cm. b) Elle conserve les angles, donc $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC} = 40°$. c) Périmètre(A'B'C') = A'B' + A'C' + B'C' = 6 + 4 + 8 = 18 cm.
2. Pour chaque figure, indique si elle possède un centre de symétrie et, si oui, précise-le. a) Un losange. b) Un triangle équilatéral. c) Un segment. d) Un pentagone régulier.
Corrigé
a) Oui, le centre est l'intersection des diagonales. b) Non, un triangle n'a jamais de centre de symétrie. c) Oui, le centre est le milieu du segment. d) Non, un pentagone régulier n'est pas invariant par demi-tour (rotation de 180°).
3. ABCD est un parallélogramme de centre O. On donne AC = 12 cm et BD = 8 cm. a) Pourquoi O est-il le milieu de [AC] et de [BD] ? b) Déduis-en que A et C sont symétriques par rapport à O, et que B et D le sont aussi. c) Calcule OA, OC, OB et OD.
Corrigé
a) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [AC] et de [BD]. b) O milieu de [AC] signifie que A et C sont symétriques par rapport à O. De même pour B et D. c) OA = OC = AC/2 = 6 cm ; OB = OD = BD/2 = 4 cm.
4. Dans un repère, on donne O(3 ; -1). Calcule les coordonnées du symétrique de P(-2 ; 5) par rapport à O.
Tu maîtrises la symétrie centrale ? On va voir comment l'utiliser pour résoudre des problèmes plus malins, et un aperçu de ce qui t'attend l'an prochain avec les autres transformations.
Symétrie centrale et parallélogrammes
Une propriété très utile : si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Cela revient à dire que ses sommets sont symétriques deux à deux par rapport au point d'intersection.
Ouverture : rotation et translation
La symétrie centrale est une rotation de 180° autour de O. L'an prochain, tu étudieras les rotations d'angle quelconque et les translations. Toutes ces transformations conservent les longueurs et les angles : on les appelle des isométries.
À toi de jouer
1. Soit A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(5 ; 0). Trouve les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme. (Indice : utilise le centre de symétrie.)
Corrigé
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le milieu de [AC] est ((1+5)/2 ; (2+0)/2) = (3 ; 1). Ce point est aussi le milieu de [BD]. Donc si D(x ; y), alors (4+x)/2 = 3 et (3+y)/2 = 1. On trouve x = 2 et y = -1. Donc D(2 ; -1).
2. ABC est un triangle quelconque et O un point. On construit les symétriques A', B', C' de A, B, C par rapport à O. Quelle est la nature du quadrilatère ABA'B' ? Justifie.
Corrigé
Par construction, O est le milieu de [AA'] et de [BB']. Les diagonales [AA'] et [BB'] du quadrilatère ABA'B' se coupent donc en leur milieu O. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc ABA'B' est un parallélogramme.
3. Défi : Un pentagone régulier possède-t-il un centre de symétrie ? Justifie en une phrase.
Corrigé
Non, car une rotation de 180° (demi-tour) ne superpose pas un pentagone régulier à lui-même : son centre n'est pas un centre de symétrie.
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