Pas de panique ! Le programme appelle ce chapitre le demi-tour, ou symétrie centrale : un seul objet, deux noms officiels. On part de ce que tu sais déjà construire — un symétrique par rapport à un axe — pour arriver au demi-tour. On y va vite, mais en douceur.

Rappel : le symétrique par rapport à un axe

C'est un geste que tu dois savoir faire sans réfléchir : on plie la feuille le long d'une droite (l'axe). Un point A et son image A' sont de part et d'autre de l'axe, la droite (AA') est perpendiculaire à l'axe, et l'axe coupe [AA'] en son milieu. Ce n'est pas la leçon d'aujourd'hui : c'est l'automatisme sur lequel on s'appuie.

(axe)AA'I

Le demi-tour (symétrie centrale) : on tourne autour d'un point

Cette fois, on ne plie plus : on tourne. Imagine que tu fais faire à la feuille un demi-tour autour d'un point O. Le point A vient se placer exactement sur A'. On dit que A' est l'image de A par le demi-tour de centre O, ou son symétrique par rapport à O. Géométriquement, cela signifie que O est le milieu du segment [AA']. Les points A, O et A' sont donc alignés, et OA = OA'.

demi-tour autour de OAOA'

À toi de jouer

1. Observe la figure ci-dessous. Le point A' est-il l'image de A par le demi-tour de centre O ? Complète la justification.
Figure : A, O, A' alignés, OA = 3 cm, OA' = 3 cm.
Oui, car O est le $\underline{\hspace{1.1em}}$ de [AA'] et les points sont $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3 cm3 cmAOA'
Corrigé
Oui, car O est le milieu de [AA'] et les points sont alignés.
2. Parmi ces trois situations, lesquelles décrivent bien un demi-tour de centre O ? Réponds par Oui ou Non.
a) A et A' tels que O est le milieu de [AA'] : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) B et B' tels que la droite (BB') est perpendiculaire à une droite (d) passant par O : $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) C et C' tels que C, O, C' sont alignés et OC = OC' : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) Oui : c'est exactement la définition.
b) Non : cette condition parle d'une droite, pas d'un point, et elle ne dit même pas que (d) coupe [BB'] en son milieu. Elle ne décrit donc ni un demi-tour, ni une symétrie axiale.
c) Oui : « alignés » + « OC = OC' » revient à dire que O est le milieu de [CC'] — attention toutefois, il faut bien les deux conditions, car OC = OC' tout seul placerait C' n'importe où sur un cercle de centre O.

Ah, ça te revient ? On remet tout au propre : la définition, les propriétés, la construction à la règle et le calcul dans un repère.

Définition et propriétés

Définition : A' est l'image de A par le demi-tour de centre O (on dit aussi : le symétrique de A par rapport à O) si et seulement si O est le milieu de [AA'].

Propriétés du demi-tour :

  • Les points A, O et A' sont alignés, et OA = OA'.
  • Il conserve les longueurs : si A' et B' sont les images de A et B, alors A'B' = AB.
  • Il conserve les angles : un angle et son image ont la même mesure.
  • Il conserve l'alignement : trois points alignés ont pour images trois points alignés.
  • Il conserve le parallélisme : l'image d'une droite (d) est une droite parallèle à (d), sauf si (d) passe par le centre O — son image est alors (d) elle-même.
  • Conséquence : l'image d'une figure lui est superposable — même périmètre, même aire.
OABCA'B'C'Centre O : longueurs et angles conservés

Méthode : construire l'image d'un point à la règle

  1. Tracer la droite passant par O et A.
  2. Mesurer la distance OA.
  3. Reporter cette même distance de l'autre côté de O sur la droite : le point obtenu est A'.
OAOAAOA'

Coordonnées de l'image

Si O est l'origine du repère (0 ; 0), alors l'image de A(x ; y) est A'(-x ; -y).

Si O a pour coordonnées (a ; b), alors l'image de A(x ; y) est A'(2a - x ; 2b - y).

123-1-2-3123-1-2-3OA(3 ; 2)A'(-3 ; -2)

À toi de jouer

1. Soit O(0 ; 0). Donne les coordonnées de l'image de A(4 ; -3) par le demi-tour de centre O.
$x_{A'} = -x_A = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = -y_A = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc A'( ; ).
Corrigé
$x_{A'} = -4$ ; $y_{A'} = 3$. Donc A'(-4 ; 3).
2. Soit O(2 ; 1). Calcule les coordonnées de l'image de M(5 ; 3) par le demi-tour de centre O.
$x_{M'} = 2 \times 2 - 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{M'} = 2 \times 1 - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc M'( ; ).
Corrigé
$x_{M'} = 4 - 5 = -1$ ; $y_{M'} = 2 - 3 = -1$. Donc M'(-1 ; -1).
3. Complète les étapes de construction de l'image de A par le demi-tour de centre O :
1. Tracer la droite passant par $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
2. Mesurer la distance $\underline{\hspace{1.1em}}$.
3. Reporter cette distance de l'autre côté de $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur la droite. Le point obtenu est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1. O et A. 2. OA. 3. O, A'.

On répète pour que ça devienne automatique. Cinq fois le même calcul, avec des nombres différents. Tu vas voir, c'est facile.

Rappel express

Si O(a ; b), alors l'image de A(x ; y) par le demi-tour de centre O est A'(2a - x ; 2b - y).

À toi de jouer

1. O(0 ; 0) et A(3 ; -2).
$x_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$x_{A'} = -3$ ; $y_{A'} = 2$.
2. O(0 ; 0) et A(-5 ; 0).
$x_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$x_{A'} = 5$ ; $y_{A'} = 0$.
3. O(1 ; 2) et A(4 ; 6).
$x_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$x_{A'} = 2 \times 1 - 4 = -2$ ; $y_{A'} = 2 \times 2 - 6 = -2$.
4. O(-1 ; 3) et A(2 ; -1).
$x_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$x_{A'} = 2 \times (-1) - 2 = -4$ ; $y_{A'} = 2 \times 3 - (-1) = 7$.
5. O(0 ; 0) et A(-4 ; -3).
$x_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $y_{A'} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$x_{A'} = 4$ ; $y_{A'} = 3$.

On passe aux exercices type contrôle. Tu vas utiliser tout ce que tu sais : conservation des longueurs et des angles, figures qui ont un centre de symétrie, et le lien avec les parallélogrammes. Prêt ?

Figures possédant un centre de symétrie

  • Le cercle : son centre est centre de symétrie.
  • Le parallélogramme (et ses cas particuliers : rectangle, losange, carré) : le centre est l'intersection des diagonales.
  • Un segment : son milieu est centre de symétrie.
  • Un triangle n'a jamais de centre de symétrie.
OCerclecentre OOParallélogrammecentre = diagonalesOSegmentmilieu OTriangleaucun centre

À toi de jouer

1. ABC est un triangle avec AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 8 cm. A'B'C' est son image par le demi-tour de centre O.
a) Donne la longueur A'B', en justifiant.
b) Calcule le périmètre du triangle A'B'C'.
c) Sans mesurer quoi que ce soit, que peux-tu dire de l'angle $\widehat{B'A'C'}$ par rapport à $\widehat{BAC}$ ?
Corrigé
a) Le demi-tour conserve les longueurs, donc A'B' = AB = 6 cm.
b) Pour la même raison, A'C' = AC = 4 cm et B'C' = BC = 8 cm. Périmètre(A'B'C') = 6 + 4 + 8 = 18 cm. (On pouvait aller plus vite : le périmètre est conservé lui aussi.)
c) Le demi-tour conserve les angles, donc $\widehat{B'A'C'} = \widehat{BAC}$ : les deux angles ont exactement la même mesure.
2. Pour chaque figure, indique si elle possède un centre de symétrie et, si oui, précise-le.
a) Un losange.
b) Un triangle équilatéral.
c) Un segment.
d) Un pentagone régulier.
Corrigé
a) Oui, le centre est l'intersection des diagonales.
b) Non, un triangle n'a jamais de centre de symétrie.
c) Oui, le centre est le milieu du segment.
d) Non : après un demi-tour, un pentagone régulier ne se retrouve pas sur lui-même (une pointe se retrouve en face d'un côté).
3. ABCD est un parallélogramme de centre O. On donne AC = 12 cm et BD = 8 cm.
a) Pourquoi O est-il le milieu de [AC] et de [BD] ?
b) Déduis-en que A et C sont images l'un de l'autre par le demi-tour de centre O, et que B et D le sont aussi.
c) Calcule OA, OC, OB et OD.
OABCDAC = 12 cmBD = 8 cm
Corrigé
a) Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Donc O est le milieu de [AC] et de [BD].
b) O milieu de [AC] signifie exactement que A et C sont images l'un de l'autre par le demi-tour de centre O. De même pour B et D.
c) OA = OC = AC/2 = 6 cm ; OB = OD = BD/2 = 4 cm.
4. Dans un repère, on donne O(3 ; -1). Calcule les coordonnées de l'image de P(-2 ; 5) par le demi-tour de centre O.
Corrigé
$x_{P'} = 2 \times 3 - (-2) = 6 + 2 = 8$ ; $y_{P'} = 2 \times (-1) - 5 = -2 - 5 = -7$. Donc P'(8 ; -7).

Tu maîtrises le demi-tour ? On va s'en servir pour résoudre des problèmes plus malins, et jeter un œil à ce qui t'attend en 4e puis en 3e.

Demi-tour et parallélogrammes

Une propriété très utile : si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. Cela revient à dire que ses sommets sont images deux à deux par le demi-tour dont le centre est le point d'intersection des diagonales.

Ouverture : la translation, en 4e puis en 3e

En 4e, le demi-tour ne sera plus une leçon mais un automatisme : construire l'image d'un point, reconnaître deux figures images l'une de l'autre, retrouver le centre. La nouveauté de 4e, c'est la translation : faire glisser une figure sans la faire pivoter. Le programme demande d'en comprendre l'effet, de faire le lien avec les parallélogrammes et les angles, et d'utiliser ses propriétés de conservation — comme pour le demi-tour, les longueurs et les angles ne changent pas.

En 3e, la translation sera définie à l'aide d'un parallélogramme, et tu découvriras les vecteurs : le demi-tour s'y écrira très simplement, $\overrightarrow{OA'}$ étant l'opposé de $\overrightarrow{OA}$.

À toi de jouer

1. Soit A(1 ; 2), B(4 ; 3) et C(5 ; 0). Trouve les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme. (Indice : utilise le centre de symétrie.)
Corrigé
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Le milieu de [AC] est ((1+5)/2 ; (2+0)/2) = (3 ; 1). Ce point est aussi le milieu de [BD]. Donc si D(x ; y), alors (4+x)/2 = 3 et (3+y)/2 = 1. On trouve x = 2 et y = -1. Donc D(2 ; -1).
2. ABC est un triangle quelconque et O un point qui n'est aligné avec aucun de ses côtés. On construit les images A', B', C' de A, B, C par le demi-tour de centre O. Quelle est la nature du quadrilatère ABA'B' ? Justifie.
Corrigé
Par construction, O est le milieu de [AA'] et de [BB']. Les diagonales [AA'] et [BB'] du quadrilatère ABA'B' se coupent donc en leur milieu O. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Donc ABA'B' est un parallélogramme. (C'est là qu'on se sert de l'hypothèse : si A, O et B étaient alignés, les quatre points seraient sur une même droite et il n'y aurait pas de quadrilatère.)
3. Défi : un pentagone régulier possède-t-il un centre de symétrie ? Justifie en une phrase.
Corrigé
Non : après un demi-tour autour de son centre, le pentagone régulier ne se superpose pas à lui-même — chacune de ses cinq pointes se retrouve en face d'un côté.