V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reAlgebreExercices + corrigé

Modèles discrets — Exercices

Identifier, calculer, modéliser. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Reconnaître le type de suite/ 4 pts
Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer si elle est arithmétique, géométrique ou aucune des deux. Préciser la raison le cas échéant.
  1. $2\,;\,5\,;\,8\,;\,11\,;\,14\,\ldots$
  2. $3\,;\,6\,;\,12\,;\,24\,;\,48\,\ldots$
  3. $1\,;\,4\,;\,9\,;\,16\,;\,25\,\ldots$
  4. $100\,;\,90\,;\,81\,;\,72{,}9\,\ldots$
2Terme général et calcul/ 4 pts
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis calculer le terme demandé.
  1. Suite arithmétique : $u_0 = 7$, raison $r = -3$. Calculer $u_{10}$.
  2. Suite géométrique : $u_0 = 5$, raison $q = 2$. Calculer $u_8$.
3Modélisation démographique/ 5 pts

Une ville comptait 20 000 habitants en 2020. Deux scénarios d'évolution sont envisagés :

  • Scénario A : la population augmente de 400 habitants par an.
  • Scénario B : la population augmente de 2 % par an.

On note $n$ le nombre d'années écoulées depuis 2020.

  1. Écrire l'expression de $P_n^A$ et $P_n^B$ en fonction de $n$.
  2. Calculer la population prévue en 2030 ($n = 10$) selon chaque scénario. Arrondir à l'unité.
  3. En testant des valeurs entières de $n$, déterminer à partir de quelle année le scénario B dépasse strictement le scénario A.
4Sommes de termes/ 4 pts
Calculer les sommes suivantes.
  1. Suite arithmétique de premier terme $u_1 = 3$ et de raison $r = 4$ : calculer $S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{20}$.
  2. Calculer $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{9}$ (dix termes).
5Problème — doublement d'un capital/ 3 pts

Un capital de 500 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 %. On cherche au bout de combien d'années ce capital est au moins doublé.

  1. Exprimer $C_n$, le capital après $n$ années, en fonction de $n$.
  2. Montrer que la condition de doublement s'écrit $1{,}04^n \ge 2$.
  3. En calculant $1{,}04^n$ pour des valeurs entières croissantes de $n$, déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel le capital est au moins doublé.
Corrigé détaillé
1Reconnaître le type de suite
a) \(5-2=3,\quad 8-5=3,\quad 11-8=3 \Rightarrow \text{différences constantes}\) \(\text{Suite arithmétique, raison } r = 3\)
b) \(\dfrac{6}{3}=2,\quad \dfrac{12}{6}=2,\quad \dfrac{24}{12}=2 \Rightarrow \text{quotients constants}\) \(\text{Suite géométrique, raison } q = 2\)
c) \(4-1=3,\quad 9-4=5 \Rightarrow \text{différences non constantes} \qquad \dfrac{4}{1}=4,\quad \dfrac{9}{4} \neq 4 \Rightarrow \text{quotients non constants}\) \(\text{Ni arithmétique ni géométrique (suite des carrés)}\)
d) \(\dfrac{90}{100}=0{,}9,\quad \dfrac{81}{90}=0{,}9,\quad \dfrac{72{,}9}{81}=0{,}9 \Rightarrow \text{quotients constants}\) \(\text{Suite géométrique, raison } q = 0{,}9\)
2Terme général et calcul
a) \(u_n = 7 + n \times (-3) = 7 - 3n \qquad u_{10} = 7 - 3 \times 10 =\) \(-23\)
b) \(u_n = 5 \times 2^n \qquad u_8 = 5 \times 2^8 = 5 \times 256 =\) \(1\,280\)
3Modélisation démographique
1) \(\text{A : arithmétique, } r=400 \Rightarrow P_n^A = 20\,000 + 400n \qquad \text{B : géométrique, } q=1{,}02 \Rightarrow P_n^B = 20\,000 \times 1{,}02^n\) \(P_n^A = 20\,000 + 400n \qquad P_n^B = 20\,000 \times 1{,}02^n\)
2) \(P_{10}^A = 20\,000 + 400 \times 10 = 24\,000 \qquad P_{10}^B = 20\,000 \times 1{,}02^{10} \approx 20\,000 \times 1{,}2190 \approx 24\,380\) \(\text{Scénario A : }24\,000\text{ hab.} \qquad \text{Scénario B : }24\,380\text{ hab.}\)
3) \(n=1 :\; P_1^B = 20\,000 \times 1{,}02 = 20\,400 = P_1^A \;(\text{égaux}) \qquad n=2 :\; P_2^B = 20\,000 \times 1{,}0404 = 20\,808 \gt P_2^A = 20\,800\) \(\text{Le scénario B dépasse strictement A dès } n=2\text{, soit en 2022.}\)
4Sommes de termes
a) \(u_{20} = u_1 + 19\,r = 3 + 19 \times 4 = 79 \qquad S = 20 \times \dfrac{u_1 + u_{20}}{2} = 20 \times \dfrac{3+79}{2} = 20 \times 41 =\) \(820\)
b) \(S = 1 \cdot \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1024}{-1} = \dfrac{-1023}{-1} =\) \(1\,023\)
5Doublement d'un capital
1) \(\text{Suite géométrique : } C_0 = 500,\; q = 1{,}04\) \(C_n = 500 \times 1{,}04^n\)
2) \(C_n \ge 2 \times 500 \Leftrightarrow 500 \times 1{,}04^n \ge 1\,000 \Leftrightarrow 1{,}04^n \ge 2\) \(\text{La condition de doublement est bien } 1{,}04^n \ge 2\)
3) \(1{,}04^{17} \approx 1{,}948 \lt 2 \qquad 1{,}04^{18} \approx 2{,}026 \ge 2\) \(\text{Le capital est au moins doublé après } n = 18 \text{ années.}\)