Mathématiques · 1re

Modèles discrets (croissance linéaire/exponentielle)

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Salut. Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre mais le contrôle arrive. Pas de panique : on va repartir des bases que tu connais déjà (Python, les fonctions de seconde) pour comprendre en un clin d'oeil comment une grandeur évolue par paliers. L'objectif ? Devenir fonctionnel en 20 minutes : reconnaître le type d'évolution, et calculer un terme. On y va !

Prérequis réels : Python (variables, boucles, fonctions de seconde)

Tu as vu en seconde comment une boucle for répète une opération. Par exemple, ajouter 5 dix fois de suite, ou multiplier par 2 dix fois de suite. C'est exactement l'idée d'un modèle discret : une grandeur évolue pas à pas, à chaque étape on applique la même règle.

u = 10
for i in range(5):
u = u + 3 ← on ajoute 3 à chaque tour : croissance linéaire
v = 10
for i in range(5):
v = v * 2 ← on multiplie par 2 à chaque tour : croissance exponentielle

Croissance linéaire (suite arithmétique) : on ajoute toujours la même chose

Définition : À chaque étape, on ajoute un nombre fixe r appelé raison.

Formule de récurrence : $u_{n+1} = u_n + r$
Formule directe (terme général) : $u_n = u_0 + n \times r$

Exemple : Épargne mensuelle. Compte de départ $u_0 = 200$ €, on verse $50$ € par mois. $r = 50$.
Après 1 mois : $200 + 50 = 250$. Après $n$ mois : $u_n = 200 + 50n$.
Après 12 mois : $200 + 50 \times 12 = 800$ €.

Croissance exponentielle (suite géométrique) : on multiplie toujours par la même chose

Définition : À chaque étape, on multiplie par un nombre fixe q appelé raison (q > 0 en général).

Formule de récurrence : $u_{n+1} = u_n \times q$
Formule directe (terme général) : $u_n = u_0 \times q^n$

Exemple : Intérêts composés. Capital initial $u_0 = 1\,000$ € placé à $3\,\%$ par an. $q = 1{,}03$.
Après 1 an : $1\,000 \times 1{,}03 = 1\,030$. Après $n$ ans : $u_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.
Après 10 ans : $1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,344$ €.

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Reconnaître sans se tromper. Pour chaque suite, calcule ce qu'il faut ajouter ou par quoi on multiplie. Puis coche la bonne case. On le fait ensemble.

a) Suite $u : 2\;;\;5\;;\;8\;;\;11\;;\;14\;\ldots$
Différences : $5-2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $8-5 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $11-8 = \underline{\hspace{1.1em}}$. → Suite $\underline{\hspace{1.1em}}$ (arithmétique / géométrique) de raison $r = \underline{\hspace{1.1em}}$.

b) Suite $v : 3\;;\;6\;;\;12\;;\;24\;;\;48\;\ldots$
Quotients : $\dfrac{6}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{12}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{24}{12} = \underline{\hspace{1.1em}}$. → Suite $\underline{\hspace{1.1em}}$ (arithmétique / géométrique) de raison $q = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) Différences : $5-2 = 3$, $8-5 = 3$, $11-8 = 3$. → Suite arithmétique de raison $r = 3$.

b) Quotients : $\dfrac{6}{3} = 2$, $\dfrac{12}{6} = 2$, $\dfrac{24}{12} = 2$. → Suite géométrique de raison $q = 2$.

2. Exercice 2 — Un piège classique (ne te fais pas avoir). Suite $w : 1\;;\;4\;;\;9\;;\;16\;;\;25\;\ldots$
Différences : $4-1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $9-4 = \underline{\hspace{1.1em}}$ → Les différences sont-elles constantes ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui / non)
Quotients : $\dfrac{4}{1} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{9}{4} = \underline{\hspace{1.1em}}$ → Les quotients sont-ils constants ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui / non)
Conclusion : cette suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (arithmétique / géométrique / ni l'un ni l'autre).

Corrigé

Différences : $4-1 = 3$, $9-4 = 5$ → Les différences ne sont pas constantes (non).
Quotients : $\dfrac{4}{1} = 4$, $\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ → Les quotients ne sont pas constants (non).
Conclusion : cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

3. Exercice 3 — Calcul express avec la formule directe. On donne la formule, tu remplaces $n$ par la valeur demandée.

a) Linéaire : $u_n = 12 + 7n$. Calcule $u_5$.
$u_5 = 12 + 7 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$

b) Exponentielle : $v_n = 3 \times 2^n$. Calcule $v_4$.
$v_4 = 3 \times 2^{\underline{\hspace{1.1em}}} = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

a) $u_5 = 12 + 7 \times 5 = 12 + 35 = 47$

b) $v_4 = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$

Ah, ça te revient ? Suite arithmétique, suite géométrique... Oui, on avait vu ces mots en seconde. Mais là, en 1re, on va plus loin : on va modéliser des situations concrètes (démographie, épargne, capital) avec ces suites. On révise la méthode une fois, on la déroule pas-à-pas, et c'est reparti.

Deux modèles, deux comportements

Croissance linéaire (suite arithmétique) : on ajoute une même quantité à chaque étape. La différence $u_{n+1} - u_n = r$ est constante.
Terme général : $u_n = u_0 + n \times r$ (si le premier terme est $u_0$).
Exemples : salaire fixe augmenté de 100 € par an, production de pièces identiques par heure.

Croissance exponentielle (suite géométrique) : on multiplie par un même facteur à chaque étape. Le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$ est constant.
Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$ (si le premier terme est $u_0$).
Exemples : population augmentant de 2 % par an, capital à intérêts composés, décroissance radioactive.

Méthode pas à pas : identifier et exploiter le modèle

Étape 1 — Identifier le type de suite.
• On calcule les différences $u_{n+1} - u_n$. Si elles sont constantes (égales à $r$), la suite est arithmétique.
• On calcule les quotients $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Si ils sont constants (égaux à $q$), la suite est géométrique.
• Si aucun des deux n'est constant, la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Étape 2 — Écrire le terme général $u_n$ en fonction de $n$.
• Arithmétique : $u_n = u_0 + n \times r$ (attention : si le premier terme donné est $u_1$, la formule devient $u_n = u_1 + (n-1) \times r$).
• Géométrique : $u_n = u_0 \times q^n$ (ou $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$ si premier terme $u_1$).

Étape 3 — Substituer $n$ pour obtenir le terme cherché.
On remplace $n$ par la valeur souhaitée et on calcule (calculatrice autorisée pour les puissances).

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre $u_n = u_0 + n \times r$ (départ à $n=0$) et $u_n = u_1 + (n-1) \times r$ (départ à $n=1$). Vérifie toujours l'indice du premier terme donné.
Écrire $u_n = u_0 \times q \times n$ au lieu de $u_n = u_0 \times q^n$.
Pour les sommes (plus tard), oublier que la somme de $u_0$ à $u_n$ compte $n+1$ termes, pas $n$.

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Repérer le type de suite (méthode étapes 1-2-3).
Suite donnée : $100\;;\;90\;;\;81\;;\;72{,}9\;\ldots$

Aide-toi de la méthode.
Différences : $90-100 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $81-90 = \underline{\hspace{1.1em}}$ → constant ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non)
Quotients : $\dfrac{90}{100} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{81}{90} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $\dfrac{72{,}9}{81} = \underline{\hspace{1.1em}}$ → constant ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non)
Type de suite : $\underline{\hspace{1.1em}}$ (arithmétique / géométrique / ni l'un ni l'autre). Raison : $q = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

Différences : $90-100 = -10$, $81-90 = -9$ → pas constantes (non).
Quotients : $\dfrac{90}{100} = 0{,}9$, $\dfrac{81}{90} = 0{,}9$, $\dfrac{72{,}9}{81} = 0{,}9$ → constant (oui).
Type de suite : géométrique. Raison : $q = 0{,}9$.

2. Exercice 2 — Terme général et calcul (méthode jusqu'au bout).
Suite arithmétique : premier terme $u_0 = 7$, raison $r = -3$.
a) Écris $u_n$ en fonction de $n$ : $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times n$.
b) Calcule $u_{10}$ : $u_{10} = 7 + (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 7 + (-3) \times n$, soit $u_n = 7 - 3n$.
b) $u_{10} = 7 + (-3) \times 10 = 7 - 30 = -23$.

3. Exercice 3 — Même idée, version géométrique.
Suite géométrique : premier terme $u_0 = 5$, raison $q = 2$.
a) Écris $u_n$ en fonction de $n$ : $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^{\,n}$.
b) Calcule $u_8$ : $u_8 = 5 \times 2^{\underline{\hspace{1.1em}}} = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 5 \times 2^n$.
b) $u_8 = 5 \times 2^8 = 5 \times 256 = 1\,280$.

C'est parti pour le drill mécanique. Cinq mini-exercices quasi identiques, juste les nombres qui changent. Tu vas écrire le terme général et calculer un terme. Pas de surprise : à la fin de ces cinq répétitions, la formule sera gravée. Prends ta calculatrice, c'est autorisé, et fonce.

À toi de jouer

1. Exercice 1. Suite arithmétique : $u_0 = 12$, raison $r = 4$.
a) $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times n$.
b) Calcule $u_6$ : $u_6 = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 12 + 4n$.
b) $u_6 = 12 + 4 \times 6 = 12 + 24 = 36$.

2. Exercice 2. Suite arithmétique : $u_0 = 50$, raison $r = -5$.
a) $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times n$.
b) Calcule $u_5$ : $u_5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 50 - 5n$.
b) $u_5 = 50 - 5 \times 5 = 50 - 25 = 25$.

3. Exercice 3. Suite géométrique : $u_0 = 1$, raison $q = 3$.
a) $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^{\,n}$.
b) Calcule $u_4$ : $u_4 = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 1 \times 3^n$, soit $u_n = 3^n$.
b) $u_4 = 3^4 = 81$.

4. Exercice 4. Suite géométrique : $u_0 = 10$, raison $q = 1{,}2$.
a) $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^{\,n}$.
b) Calcule $u_3$ (arrondis à $10^{-1}$) : $u_3 \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 10 \times 1{,}2^n$.
b) $u_3 = 10 \times 1{,}2^3 = 10 \times 1{,}728 = 17{,}28 \approx 17{,}3$.

5. Exercice 5. Suite géométrique : $u_0 = 2$, raison $q = 0{,}5$.
a) $u_n = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}^{\,n}$.
b) Calcule $u_5$ : $u_5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

a) $u_n = 2 \times 0{,}5^n$.
b) $u_5 = 2 \times 0{,}5^5 = 2 \times 0{,}03125 = 0{,}0625$.

Maintenant, on passe aux choses sérieuses : des exercices au niveau de ton contrôle. Modélisation, calcul de sommes, comparaison de scénarios. C'est exactement ce que tu peux avoir en DS. Plus de trous à remplir ici, tu fais tout toi-même. Tu as le droit à la calculatrice. Montre ce que tu sais faire !

Formules de sommes (à connaître)

Somme de termes d'une suite arithmétique :
$S = (\text{nombre de termes}) \times \dfrac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$
De $u_0$ à $u_n$, il y a $(n+1)$ termes : $\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$

Somme de termes d'une suite géométrique (raison $q
eq 1$) :
$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$

Attention : Ces formules s'adaptent si le premier terme est $u_1$ (nombre de termes = $n$, premier terme $u_1$, dernier $u_n$).

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Modélisation démographique. Une ville comptait 15 000 habitants en 2020. On étudie deux scénarios d'évolution, où $n$ est le nombre d'années après 2020.

Scénario A : augmentation de 600 habitants par an.
Scénario B : augmentation de 1,5 % par an ($q = 1{,}015$).

a) Donne l'expression de $A_n$ et $B_n$, les populations selon chaque scénario, en fonction de $n$.
b) Calcule la population en 2035 ($n = 15$) pour chaque scénario. Arrondis à l'unité.
c) En testant des valeurs entières de $n$ à la calculatrice, détermine à partir de quelle année le scénario B dépasse strictement le scénario A.

Corrigé

a) Le scénario A correspond à une augmentation de $600$ habitants par an, ce qui se traduit par une suite arithmétique de premier terme $A_0 = 15\,000$ et de raison $r = 600$.
Pour tout entier naturel $n$, on a : $A_n = 15\,000 + 600n$.

Le scénario B correspond à une augmentation de $1,5\,\%$ par an. Chaque année, la population est multipliée par $1 + \frac{1,5}{100} = 1{,}015$. Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme $B_0 = 15\,000$ et de raison $q = 1{,}015$.
Pour tout entier naturel $n$, on a : $B_n = 15\,000 \times 1{,}015^n$.

b) L'année 2035 correspond à $n = 2035 - 2020 = 15$.
Pour le scénario A : $A_{15} = 15\,000 + 600 \times 15 = 24\,000$ habitants.
Pour le scénario B : $B_{15} = 15\,000 \times 1{,}015^{15} \approx 18\,753$ habitants.

c) Tu cherches à déterminer à partir de quelle valeur de $n$ on a $B_n > A_n$, c'est-à-dire $15\,000 \times 1{,}015^n > 15\,000 + 600n$.
En testant des valeurs à la calculatrice :
- Pour $n = 115$ : $A_{115} = 84\,000$ et $B_{115} \approx 83\,116$ ($B_{115} < A_{115}$).
- Pour $n = 116$ : $A_{116} = 84\,600$ et $B_{116} \approx 84\,363$ ($B_{116} < A_{116}$).
- Pour $n = 117$ : $A_{117} = 85\,200$ et $B_{117} \approx 85\,628$ ($B_{117} > A_{117}$).
Le scénario B dépasse donc strictement le scénario A à partir de $n = 117$, soit en $2020 + 117 = 2137$.

2. Exercice 2 — Somme de termes d'une suite arithmétique. Soit la suite arithmétique de premier terme $u_1 = 3$ et de raison $r = 4$. On note $S = u_1 + u_2 + \cdots + u_{20}$.
a) Combien de termes dans cette somme ?
b) Exprime $u_n$ en fonction de $n$ et calcule $u_{20}$.
c) Déduis-en la somme $S$.

Corrigé

a) De $u_1$ à $u_{20}$, il y a $20 - 1 + 1 = 20$ termes.

b) Premier terme $u_1 = 3$, donc $u_n = u_1 + (n-1) \times r = 3 + (n-1) \times 4$.
$u_{20} = 3 + (20-1) \times 4 = 3 + 19 \times 4 = 3 + 76 = 79$.

c) $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{u_1 + u_{20}}{2} = 20 \times \dfrac{3 + 79}{2} = 20 \times \dfrac{82}{2} = 20 \times 41 = 820$.

3. Exercice 3 — Somme de termes d'une suite géométrique. Calcule $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{9}$.
a) Identifie le premier terme $u_0$, le dernier terme, la raison $q$, et le nombre de termes.
b) Applique la formule de somme géométrique.

Corrigé

a) $u_0 = 1$ (car $2^0 = 1$), raison $q = 2$. Le dernier terme est $u_9 = 2^9$. Nombre de termes : de $u_0$ à $u_9$, il y a $9 - 0 + 1 = 10$ termes.

b) $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q} = 1 \times \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1024}{-1} = \dfrac{-1023}{-1} = 1023$.

4. Exercice 4 — Problème de capital à intérêts composés. Un capital de 800 € est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %. On note $C_n$ le capital après $n$ années ($C_0 = 800$).
a) Exprime $C_n$ en fonction de $n$.
b) Calcule le capital au bout de 8 ans (arrondir au centime).
c) En testant des valeurs de $n$, détermine le plus petit entier $n$ tel que le capital dépasse 1 500 €.

Corrigé

a) Chaque année, le capital est multiplié par $(1 + 0{,}05) = 1{,}05$. Donc :

$C_n = 800 \times 1{,}05^n$

b) Pour $n = 8$ :

$C_8 = 800 \times 1{,}05^8 \approx 1\,181{,}96$ €

Note : l'approximation $1{,}05^8 \approx 1{,}4775$ (arrondi à 4 décimales) donnerait $800 \times 1{,}4775 = 1\,182{,}00$ €, résultat incohérent avec la valeur exacte. Il faut calculer directement $800 \times 1{,}05^8$ à la calculatrice pour obtenir $1\,181{,}96$ €.

c) On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C_n > 1\,500$. On calcule successivement :

$n = 10$ : $C_{10} = 800 \times 1{,}05^{10} \approx 1\,303{,}12$ €, donc $C_{10} < 1\,500$ ;
$n = 12$ : $C_{12} = 800 \times 1{,}05^{12} \approx 1\,436{,}69$ €, donc $C_{12} < 1\,500$ ;
$n = 13$ : $C_{13} = 800 \times 1{,}05^{13} \approx 1\,508{,}52$ €, donc $C_{13} > 1\,500$.

Le plus petit entier $n$ tel que le capital dépasse $1\,500$ € est $\boxed{n = 13}$ ans.

Tu veux voir ce que la terminale te réserve ? Les suites, on les retrouve avec des outils plus puissants : limites, algorithmes de seuil, modèles plus fins (Euler). Ici, on touche du doigt les suites arithmético-géométriques, et on apprend à critiquer un modèle. C'est du travail d'analyse et de création, pas de panique si ça coince un peu : c'est pour prendre de l'avance.

Modèles plus fins : suites arithmético-géométriques (aperçu)

En terminale, tu rencontreras des suites définies par $u_{n+1} = a \times u_n + b$, avec $a
eq 1$ et $b
eq 0$. Ce ne sont ni purement arithmétiques, ni purement géométriques. On les étudie en cherchant un point fixe $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$, puis en montrant que la suite $(u_n - \ell)$ est géométrique. C'est une extension directe de ce que tu sais déjà faire avec les suites géométriques.

Algorithme de seuil

Quand on écrit « déterminer le plus petit entier $n$ à partir duquel $u_n > 100$ », on résout un problème de seuil. En 1re, on le fait par balayage à la calculatrice. En terminale, on utilise un algorithme formel (boucle while) et on étudie la convergence avec les limites. Tu peux déjà écrire l'algorithme en Python !

À toi de jouer

1. Exercice 1 — Suite arithmético-géométrique : mise en jambes. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = 0{,}8 \, u_n + 2$.
a) Calcule $u_1$, $u_2$ et $u_3$ à la main.
b) On pose $v_n = u_n - \ell$, avec $\ell$ le nombre vérifiant $\ell = 0{,}8\ell + 2$. Trouve $\ell$.
c) Vérifie que $v_{n+1} = 0{,}8 \, v_n$. Quelle est la nature de $(v_n)$ ?
d) Exprime $v_n$ en fonction de $n$, puis déduis-en l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Corrigé

a) $u_1 = 0{,}8 \times 10 + 2 = 8 + 2 = 10$.
$u_2 = 0{,}8 \times 10 + 2 = 10$.
$u_3 = 0{,}8 \times 10 + 2 = 10$.
La suite semble constante ! Vérifions.

b) $\ell = 0{,}8\ell + 2 \implies \ell - 0{,}8\ell = 2 \implies 0{,}2\ell = 2 \implies \ell = 10$.

c) $v_n = u_n - 10$.
$v_{n+1} = u_{n+1} - 10 = (0{,}8 \, u_n + 2) - 10 = 0{,}8 \, u_n - 8$.
Or $0{,}8 \, u_n - 8 = 0{,}8(u_n - 10) = 0{,}8 \, v_n$.
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}8$.

d) $v_0 = u_0 - 10 = 10 - 10 = 0$. Donc $v_n = 0 \times 0{,}8^n = 0$ pour tout $n$.
Ainsi $u_n = v_n + 10 = 10$ pour tout $n$. La suite est constante égale à 10.

2. Exercice 2 — Algorithme de seuil (tu peux le coder si tu veux). On reprend le capital de l'exercice 4 du palier précédent : $C_n = 800 \times 1{,}05^n$.
Écris un algorithme en langage naturel (ou en Python) qui, pour un seuil $S$ donné, renvoie le nombre d'années nécessaires pour que le capital dépasse $S$.
Fais tourner mentalement l'algorithme pour $S = 1\,500$ et vérifie que tu retrouves bien $n=13$.

Corrigé

Algorithme en langage naturel :

n ← 0
C ← 800
Tant que C ≤ S :
n ← n + 1
C ← C × 1,05
Fin Tant que
Afficher n

Pour $S = 1\,500$ :
Départ : $n=0$, $C=800$.

$800 \leq 1500$ → $n=1$, $C = 800 \times 1{,}05 = 840$
$840 \leq 1500$ → $n=2$, $C = 882$
$n=3$, $C=926{,}10$
$n=4$, $C=972{,}41$
$n=5$, $C=1\,021{,}03$
$n=6$, $C=1\,072{,}08$
$n=7$, $C=1\,125{,}68$
$n=8$, $C=1\,181{,}96$
$n=9$, $C=1\,241{,}06$
$n=10$, $C=1\,303{,}12$
$n=11$, $C=1\,368{,}27$
$n=12$, $C=1\,436{,}69$
$n=13$, $C=1\,508{,}52$ → $1\,508{,}52 > 1\,500$, la condition $C \leq S$ n'est plus vérifiée : la boucle s'arrête et on affiche $\boxed{n = 13}$.

Correction de l'arrondi en $n=12$ : $800 \times 1{,}05^{12} = 1\,436{,}685\ldots$, ce qui s'arrondit à $1\,436{,}69$ (le chiffre des millièmes est $5$, donc on arrondit par excès), et non $1\,436{,}68$. Cela ne change pas la conclusion : le capital dépasse $1\,500$ € pour la première fois à $n = 13$.

3. Exercice 3 — Critique de modèle. Une population de bactéries augmente de 20 % par heure. On modélise par une suite géométrique $P_n = 1\,000 \times 1{,}2^n$.
a) Calcule $P_{24}$ (après 24 heures).
b) Ce résultat est-il réaliste ? Quelles limites vois-tu à ce modèle exponentiel pur sur une longue durée ? Propose une amélioration du modèle.

Corrigé

a) $P_{24} = 1\,000 \times 1{,}2^{24} \approx 1\,000 \times 79{,}4968 = 79\,497$ bactéries. (Avec une calculatrice plus précise : $1{,}2^{24} \approx 79{,}5$, donc environ 79 500.)

b) Ce résultat peut être réaliste en laboratoire sur 24 heures si le milieu de culture est suffisamment grand et renouvelé. Mais sur une longue durée, un modèle exponentiel pur n'est pas tenable : les ressources (nutriments, espace) sont limitées, il y a compétition, mortalité. En réalité, la croissance ralentit et atteint un plateau (modèle logistique). Une amélioration serait d'utiliser un modèle logistique ou une suite arithmético-géométrique avec un facteur de freinage dépendant de la population.