V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reProbabilites et statistiquesExercices + corrigé

Probabilités conditionnelles — Exercices

Tableaux, arbres, indépendance et test de dépistage. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Lecture dans un tableau/ 4 pts
Sur 500 clients d'une boutique, 300 ont effectué un achat (événement $A$). Parmi ces 300 clients, 150 possédaient un bon de réduction (événement $B$). Au total, 180 clients avaient un bon de réduction.
  1. Calculer $P(A)$.
  2. Calculer $P(A \cap B)$.
  3. Calculer $P(A \mid B)$.
  4. Calculer $P(B \mid A)$.
2Arbre de probabilités/ 3 pts
On dispose de deux urnes. L'urne $U_1$ contient 3 boules rouges et 2 bleues ; l'urne $U_2$ contient 1 boule rouge et 4 bleues. On choisit $U_1$ avec probabilité $\dfrac{2}{3}$ et $U_2$ avec probabilité $\dfrac{1}{3}$, puis on tire une boule au hasard. On note $R$ : « la boule tirée est rouge ».
  1. Construire un arbre de probabilités pondéré.
  2. Calculer $P(R)$.
  3. Sachant que la boule tirée est rouge, calculer $P(U_1 \mid R)$.
3Deux fournisseurs/ 4 pts
Une entreprise s'approvisionne en ampoules auprès de deux fournisseurs : $F_1$ fournit $70\%$ de la production et $F_2$ fournit $30\%$. Le taux de défaut est de $4\%$ pour $F_1$ et de $10\%$ pour $F_2$. On note $D$ : « l'ampoule est défectueuse ».
  1. Traduire la situation par un arbre de probabilités.
  2. Calculer $P(D)$.
  3. Calculer $P(F_1 \mid D)$. Donner la valeur exacte.
  4. Ce résultat est-il cohérent avec le fait que $F_1$ fournit $70\%$ des ampoules ? Justifier.
4Indépendance/ 3 pts
Deux événements $A$ et $B$ vérifient : $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \cup B) = 0{,}58$.
  1. Calculer $P(A \cap B)$.
  2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
  3. En déduire $P(A \mid B)$.
5Test de dépistage/ 6 pts
Une maladie touche $2\%$ de la population. Un test de dépistage est positif avec probabilité $0{,}95$ si la personne est malade et avec probabilité $0{,}03$ si elle est saine. On prélève une personne au hasard. On note $M$ : « être malade » et $T$ : « le test est positif ».
  1. Donner $P(M)$, $P(T \mid M)$ et $P(T \mid \overline{M})$.
  2. Construire un arbre de probabilités.
  3. Calculer $P(T)$.
  4. Calculer $P(M \mid T)$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
  5. Commenter ce résultat.
Corrigé détaillé
1Lecture dans un tableau
a) \(P(A) = \dfrac{300}{500} =\) \(\dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
b) \(P(A \cap B) = \dfrac{150}{500} =\) \(\dfrac{3}{10} = 0{,}3\)
c) \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{150/500}{180/500} = \dfrac{150}{180} =\) \(\dfrac{5}{6} \approx 0{,}83\)
d) \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{150/500}{300/500} = \dfrac{150}{300} =\) \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\)
2Arbre de probabilités
a) \(\text{1re branche : } P(U_1) = \tfrac{2}{3},\; P(U_2) = \tfrac{1}{3}.\quad \text{2e branche : } P(R \mid U_1) = \tfrac{3}{5},\; P(R \mid U_2) = \tfrac{1}{5}.\) \(\text{(arbre pondéré à deux niveaux)}\)
b) \(P(R) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{15} + \dfrac{1}{15} =\) \(\dfrac{7}{15}\)
c) \(P(U_1 \mid R) = \dfrac{P(U_1 \cap R)}{P(R)} = \dfrac{\tfrac{2}{3} \times \tfrac{3}{5}}{\tfrac{7}{15}} = \dfrac{\tfrac{6}{15}}{\tfrac{7}{15}} =\) \(\dfrac{6}{7}\)
3Deux fournisseurs
a) \(\text{1re branche : } P(F_1) = 0{,}7,\; P(F_2) = 0{,}3.\quad \text{2e branche : } P(D \mid F_1) = 0{,}04,\; P(D \mid F_2) = 0{,}10.\) \(\text{(arbre pondéré à deux niveaux)}\)
b) \(P(D) = 0{,}7 \times 0{,}04 + 0{,}3 \times 0{,}10 = 0{,}028 + 0{,}030 =\) \(0{,}058\)
c) \(P(F_1 \mid D) = \dfrac{P(F_1 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}7 \times 0{,}04}{0{,}058} = \dfrac{0{,}028}{0{,}058} =\) \(\dfrac{14}{29} \approx 0{,}48\)
d) \(\dfrac{14}{29} \approx 0{,}48 \lt 0{,}70 = P(F_1).\) \(\text{Oui : bien que } F_1 \text{ fournisse 70\% des ampoules, il ne génère que 48\% des défectueuses, car son taux de défaut (4\%) est nettement inférieur à celui de } F_2 \text{ (10\%).}\)
4Indépendance
a) \(P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}3 - 0{,}58 =\) \(0{,}12\)
b) \(P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12 = P(A \cap B)\) \(\text{Donc } A \text{ et } B \text{ sont indépendants.}\)
c) \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}3} =\) \(0{,}4 = P(A) \quad \text{(cohérent avec l'indépendance)}\)
5Test de dépistage
a) \(P(M) = 0{,}02 \qquad P(T \mid M) = 0{,}95 \qquad P(T \mid \overline{M}) = 0{,}03\) \(\text{(données de l'énoncé)}\)
b) \(\text{1re branche : } P(M) = 0{,}02,\; P(\overline{M}) = 0{,}98.\quad \text{2e branche : } P(T \mid M) = 0{,}95,\; P(T \mid \overline{M}) = 0{,}03.\) \(\text{(arbre à deux niveaux)}\)
c) \(P(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}03 = 0{,}019 + 0{,}0294 =\) \(0{,}0484\)
d) \(P(M \mid T) = \dfrac{P(M \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}02 \times 0{,}95}{0{,}0484} = \dfrac{0{,}019}{0{,}0484} \approx\) \(0{,}39\)
e) \(\text{Un test positif ne signifie pas que la personne est malade à coup sûr.}\) \(\text{La maladie étant rare (2\%), les faux positifs (3\% des 98\% de personnes saines) sont très nombreux et l'emportent sur les vrais positifs : seules 39\% des personnes testées positives sont réellement malades.}\)