Probabilités conditionnelles

Prérequis : ce que tu sais déjà de seconde

En seconde, tu as appris à :

• Définir une expérience aléatoire (lancer un dé, tirer une carte) et son univers $\Omega$ (l'ensemble de toutes les issues possibles).
• Associer à chaque événement une probabilité entre 0 et 1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 (c'est une loi de probabilité).
• Utiliser la notation $P(A)$ pour la probabilité d'un événement $A$, et $P(A \cap B)$ pour la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent en même temps (l'intersection).
• Comprendre ce qu'est une variable aléatoire : une fonction qui associe un nombre à chaque issue (par exemple, le gain à un jeu).

On va s'appuyer là-dessus. Si ces notions te semblent floues, relis-les vite, elles sont le socle de tout ce qui suit.

L'idée : restreindre l'univers

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ mesure la chance que $A$ se réalise, en supposant que $B$ est déjà réalisé. On ne regarde plus toutes les issues de l'univers, mais seulement celles qui sont dans $B$. C'est comme si $B$ devenait le nouvel univers.

On note cette probabilité $P(A \mid B)$, et on lit « $P$ de $A$ sachant $B$ ».

La formule clé, valable dès que $P(B) > 0$ :

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

En mots : parmi tous les cas où $B$ arrive, quelle proportion voit aussi $A$ arriver ?

Première méthode : le tableau à double entrée

Quand on a des effectifs, on peut tout lire dans un tableau. On place les événements en lignes et colonnes, on compte les intersections, et on applique la formule directement avec les fractions. Pas besoin d'arbre pour l'instant.

Exemple type : sur 500 clients, 300 ont acheté ($A$), 180 avaient un bon ($B$), et 150 ont à la fois acheté et avaient un bon ($A \cap B$). On veut $P(A \mid B)$ : parmi les porteurs de bon, quelle proportion a acheté ?

Rappel de cours : la formule et ses deux sens

Définition : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, avec $P(B) > 0$.

Cette formule a deux sens de lecture, comme une rue à double sens :

• Sens direct (calculer une probabilité conditionnelle) : on connaît $P(A \cap B)$ et $P(B)$, on veut $P(A \mid B)$. On fait la division directe. Exemple : dans un tableau d'effectifs, on lit les deux cases et on divise.
• Sens multiplication (retrouver l'intersection) : $P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B)$. C'est la formule de multiplication. Très utile pour construire un arbre : on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'intersection.

Attention : $P(A \mid B)$ n'est pas symétrique. En général, $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$. L'ordre des événements compte.

Méthode : construire et utiliser un arbre pondéré

Un arbre pondéré est un schéma qui représente une expérience en plusieurs étapes. Il permet de visualiser toutes les issues et de calculer facilement des probabilités conditionnelles et totales.

Construction pas-à-pas :

1. Premier niveau : on place l'événement dont on connaît la probabilité en premier (souvent $B$ et $\overline{B}$). On écrit $P(B)$ et $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$ sur les branches.
2. Deuxième niveau : à partir de chaque nœud, on trace les branches pour $A$ et $\overline{A}$, avec les probabilités conditionnelles $P(A \mid B)$ et $P(A \mid \overline{B})$ (et leurs complémentaires à 1).
3. Règle du chemin : la probabilité d'une issue complète (une feuille de l'arbre) est le produit des probabilités le long du chemin qui y mène. Par exemple, $P(B \cap A) = P(B) \times P(A \mid B)$.
4. Formule des probabilités totales : pour retrouver $P(A)$, on additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à $A$. $P(A) = P(B \cap A) + P(\overline{B} \cap A) = P(B) \times P(A \mid B) + P(\overline{B}) \times P(A \mid \overline{B})$.

Indépendance : quand la condition ne change rien

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Concrètement, savoir que $B$ est arrivé ne change pas la chance de voir $A$ arriver.

Définition : $A$ et $B$ sont indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Conséquence : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \mid B) = P(A)$ (et $P(B \mid A) = P(B)$). La probabilité conditionnelle redonne la probabilité simple.

Pour vérifier l'indépendance dans un exercice, on calcule $P(A) \times P(B)$ et on compare à $P(A \cap B)$. Si c'est égal, ils sont indépendants.

Formule de Bayes (au-delà du programme)

En 1re, tu as utilisé la formule $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ pour inverser une condition, en passant par l'arbre et les probabilités totales. La formule de Bayes est une version plus directe qui permet d'exprimer $P(B \mid A)$ en fonction de $P(A \mid B)$, $P(B)$ et $P(A \mid \overline{B})$. Elle est très utile en statistique inférentielle et en intelligence artificielle (classifieurs naïfs).

Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A) > 0$ :

$P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B) \times P(B)}{P(A \mid B) \times P(B) + P(A \mid \overline{B}) \times P(\overline{B})}$

Tu reconnais au numérateur $P(A \cap B)$, et au dénominateur $P(A)$ développé par probabilités totales. C'est exactement ce que tu fais déjà, mais écrit sous forme d'une seule fraction.

Chaîne de Markov (aperçu)

Une chaîne de Markov est un modèle probabiliste où l'état futur dépend uniquement de l'état présent, via des probabilités de transition (qui sont des probabilités conditionnelles). Par exemple, la météo : s'il pleut aujourd'hui, la probabilité qu'il pleuve demain est 0,6 ; s'il fait beau, cette probabilité est 0,2. On représente cela par un graphe ou une matrice de transition.

En terminale (maths expertes), tu étudieras les chaînes de Markov à deux états, le calcul de l'état stable (distribution invariante), et les applications à la modélisation de systèmes dynamiques (épidémies, files d'attente, algorithmes de recommandation).