Pas de panique, on va te faire découvrir les probabilités conditionnelles en partant de ce que tu sais déjà. Tu as vu en seconde les probabilités simples, les lois de probabilité et les variables aléatoires. On va juste ajouter une couche : la condition. Imagine que tu veux savoir la probabilité qu'il pleuve, mais sachant que le ciel est déjà nuageux. C'est ça, une probabilité conditionnelle. On restreint l'univers à ce qui est déjà arrivé. Tu vas voir, avec un tableau et une formule, tu seras déjà capable de répondre à des questions basiques. Prêt ? On y va ensemble.
Prérequis : ce que tu sais déjà de seconde
En seconde, tu as appris à :
Définir une expérience aléatoire (lancer un dé, tirer une carte) et son univers $\Omega$ (l'ensemble de toutes les issues possibles).
Associer à chaque événement une probabilité entre 0 et 1. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 (c'est une loi de probabilité).
Utiliser la notation $P(A)$ pour la probabilité d'un événement $A$, et $P(A \cap B)$ pour la probabilité que $A$ ET $B$ se réalisent en même temps (l'intersection).
Comprendre ce qu'est une variable aléatoire : une fonction qui associe un nombre à chaque issue (par exemple, le gain à un jeu).
On va s'appuyer là-dessus. Si ces notions te semblent floues, relis-les vite, elles sont le socle de tout ce qui suit.
L'idée : restreindre l'univers
La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ mesure la chance que $A$ se réalise, en supposant que $B$ est déjà réalisé. On ne regarde plus toutes les issues de l'univers, mais seulement celles qui sont dans $B$. C'est comme si $B$ devenait le nouvel univers.
On note cette probabilité $P(A \mid B)$, et on lit « $P$ de $A$ sachant $B$ ».
La formule clé, valable dès que $P(B) > 0$ :
$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
En mots : parmi tous les cas où $B$ arrive, quelle proportion voit aussi $A$ arriver ?
Première méthode : le tableau à double entrée
Quand on a des effectifs, on peut tout lire dans un tableau. On place les événements en lignes et colonnes, on compte les intersections, et on applique la formule directement avec les fractions. Pas besoin d'arbre pour l'instant.
Exemple type : sur 500 clients, 300 ont acheté ($A$), 180 avaient un bon ($B$), et 150 ont à la fois acheté et avaient un bon ($A \cap B$). On veut $P(A \mid B)$ : parmi les porteurs de bon, quelle proportion a acheté ?
À toi de jouer
1. Un sac contient 100 jetons : 60 rouges et 40 bleus. Parmi les rouges, 20 sont marqués d'une étoile. Parmi les bleus, 10 sont marqués d'une étoile. On tire un jeton au hasard. On note $R$ : « le jeton est rouge », $E$ : « le jeton est marqué d'une étoile ».
Parmi les résultats $\geq 4$, 2 sur 3 sont pairs (4 et 6).
Ah oui, les probabilités conditionnelles, c'est ce truc avec la formule $P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et les arbres. Tu te souviens maintenant : on restreint l'univers à $B$, et on calcule la proportion de $A$ dans $B$. On va remettre tout ça en ordre avec la méthode pas-à-pas, et tu vas voir que ça revient tout seul. On va aussi parler de l'arbre pondéré, un outil visuel qui rend tout plus clair. Prêt à remonter en selle ?
Rappel de cours : la formule et ses deux sens
Définition : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, avec $P(B) > 0$.
Cette formule a deux sens de lecture, comme une rue à double sens :
Sens direct (calculer une probabilité conditionnelle) : on connaît $P(A \cap B)$ et $P(B)$, on veut $P(A \mid B)$. On fait la division directe. Exemple : dans un tableau d'effectifs, on lit les deux cases et on divise.
Sens multiplication (retrouver l'intersection) : $P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B)$. C'est la formule de multiplication. Très utile pour construire un arbre : on multiplie les probabilités le long d'un chemin pour obtenir la probabilité de l'intersection.
Attention : $P(A \mid B)$ n'est pas symétrique. En général, $P(A \mid B) eq P(B \mid A)$. L'ordre des événements compte.
Méthode : construire et utiliser un arbre pondéré
Un arbre pondéré est un schéma qui représente une expérience en plusieurs étapes. Il permet de visualiser toutes les issues et de calculer facilement des probabilités conditionnelles et totales.
Construction pas-à-pas :
Premier niveau : on place l'événement dont on connaît la probabilité en premier (souvent $B$ et $\overline{B}$). On écrit $P(B)$ et $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$ sur les branches.
Deuxième niveau : à partir de chaque nœud, on trace les branches pour $A$ et $\overline{A}$, avec les probabilités conditionnelles $P(A \mid B)$ et $P(A \mid \overline{B})$ (et leurs complémentaires à 1).
Règle du chemin : la probabilité d'une issue complète (une feuille de l'arbre) est le produit des probabilités le long du chemin qui y mène. Par exemple, $P(B \cap A) = P(B) \times P(A \mid B)$.
Formule des probabilités totales : pour retrouver $P(A)$, on additionne les probabilités de tous les chemins qui aboutissent à $A$. $P(A) = P(B \cap A) + P(\overline{B} \cap A) = P(B) \times P(A \mid B) + P(\overline{B}) \times P(A \mid \overline{B})$.
Indépendance : quand la condition ne change rien
Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Concrètement, savoir que $B$ est arrivé ne change pas la chance de voir $A$ arriver.
Définition : $A$ et $B$ sont indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Conséquence : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $P(A \mid B) = P(A)$ (et $P(B \mid A) = P(B)$). La probabilité conditionnelle redonne la probabilité simple.
Pour vérifier l'indépendance dans un exercice, on calcule $P(A) \times P(B)$ et on compare à $P(A \cap B)$. Si c'est égal, ils sont indépendants.
À toi de jouer
1. On reprend l'exemple du magasin : sur 500 clients, 300 ont acheté ($A$), 180 avaient un bon ($B$), et 150 ont à la fois acheté et avaient un bon.
On va calculer les deux probabilités conditionnelles pour bien voir la différence.
Complète : • $P(A) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{500} = \underline{\hspace{1.1em}}$ • $P(B) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{500} = \underline{\hspace{1.1em}}$ • $P(A \cap B) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{500} = \underline{\hspace{1.1em}}$ • $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}/500}{\underline{\hspace{1.1em}}/500} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (c'est la proportion d'acheteurs parmi les porteurs de bon) • $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}/500}{\underline{\hspace{1.1em}}/500} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (c'est la proportion de porteurs de bon parmi les acheteurs)
Les deux résultats sont différents (0,833 vs 0,5). $P(A \mid B) eq P(B \mid A)$ : l'ordre des événements change bien la probabilité conditionnelle.
2. On a deux urnes. L'urne $U_1$ contient 3 boules rouges et 2 bleues. L'urne $U_2$ contient 1 boule rouge et 4 bleues. On choisit d'abord une urne : $U_1$ avec probabilité $\dfrac{2}{3}$, $U_2$ avec probabilité $\dfrac{1}{3}$. Ensuite on tire une boule dans l'urne choisie. On note $R$ : « la boule tirée est rouge ».
Complète pour tester l'indépendance : • Calcule $P(A \cap B)$ : $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ • Calcule $P(A) \times P(B) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ • Compare : $P(A \cap B) = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $P(A) \times P(B) = \underline{\hspace{1.1em}}$. Sont-ils égaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non) • Donc $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non) • Déduis-en $P(A \mid B)$ : si indépendants, $P(A \mid B) = P(A) = \underline{\hspace{1.1em}}$. Sinon, calcule $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
• $P(A \cap B) = 0,4 + 0,3 - 0,58 = 0,12$ • $P(A) \times P(B) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$ • Comparaison : $0,12 = 0,12$, donc oui, ils sont égaux. • $A$ et $B$ sont indépendants (oui). • $P(A \mid B) = P(A) = 0,4$ (car l'indépendance rend la condition inutile).
Maintenant que la mécanique est en place, on va répéter le même geste simple cinq fois de suite. Que des calculs de $P(A \mid B)$ à partir d'un tableau ou d'un énoncé court. Tu vas voir, c'est toujours la même formule, juste avec des nombres différents. L'objectif : que ça devienne un réflexe. Prends ton temps, fais les cinq, et vérifie avec le corrigé.
À toi de jouer
1. Dans un lycée, 200 élèves sont en 1re. 120 suivent la spécialité maths ($M$), 80 suivent la spécialité SES ($S$). Parmi les élèves de spé maths, 50 suivent aussi SES. On choisit un élève au hasard.
2. Un sondage sur 1000 personnes : 600 écoutent de la musique en streaming ($A$), 400 écoutent la radio ($B$). 250 font les deux. On choisit une personne au hasard.
3. Un jeu de 32 cartes. On tire une carte. $A$ : « la carte est un cœur » (8 cœurs), $B$ : « la carte est une figure » (12 figures : valets, dames, rois). Parmi les cœurs, 3 sont des figures (valet, dame, roi de cœur).
Tu maîtrises la formule et l'arbre. Maintenant, on passe aux vrais exercices de contrôle : tableaux à compléter, arbres à interpréter, probabilités totales, inversion de condition (type test de dépistage), et indépendance. Ce sont des problèmes plus riches, où il faut organiser les informations et faire plusieurs étapes. Tu vas devoir raisonner seul, mais tu as toutes les billes. Montre de quoi tu es capable.
À toi de jouer
1. Un club de sport compte 200 adhérents. On distingue deux catégories : ceux qui pratiquent la natation ($N$) et ceux qui pratiquent le tennis ($T$). On sait que 120 adhérents pratiquent la natation, 80 pratiquent le tennis, et 50 pratiquent les deux.
1. Reproduis et complète le tableau à double entrée ci-dessous (cases en effectifs). 2. Calcule $P(N)$, $P(T)$, $P(N \cap T)$. 3. Calcule $P(N \mid T)$ et $P(T \mid N)$. 4. Les événements $N$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifie par le calcul.
Tableau à compléter : • Colonnes : $T$, $\overline{T}$, Total • Lignes : $N$, $\overline{N}$, Total • Case $N \cap T$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$, case $N \cap \overline{T}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$, case $\overline{N} \cap T$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$, case $\overline{N} \cap \overline{T}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
4. $P(N) \times P(T) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$. $P(N \cap T) = 0,25$. $0,24 eq 0,25$, donc $N$ et $T$ ne sont pas indépendants.
2. Une usine fabrique des pièces sur deux machines $M_1$ et $M_2$. $M_1$ produit 60% des pièces, $M_2$ produit 40%. Le taux de pièces défectueuses est de 5% pour $M_1$ et de 8% pour $M_2$. On prélève une pièce au hasard dans la production totale. On note $D$ : « la pièce est défectueuse ».
1. Construis un arbre pondéré complet (1er niveau : $M_1$, $M_2$ ; 2e niveau : $D$, $\overline{D}$ avec probabilités conditionnelles). 2. Calcule $P(D)$ (probabilité qu'une pièce soit défectueuse). 3. Calcule $P(M_1 \mid D)$ (probabilité que la pièce vienne de $M_1$ sachant qu'elle est défectueuse). Donne la valeur exacte en fraction, puis une valeur décimale arrondie à $10^{-3}$. 4. Ce résultat est-il supérieur ou inférieur à 60% ? Pourquoi était-ce prévisible ?
Corrigé
1. Arbre : 1er niveau $P(M_1)=0,6$, $P(M_2)=0,4$. 2e niveau : $P(D \mid M_1)=0,05$, $P(\overline{D} \mid M_1)=0,95$ ; $P(D \mid M_2)=0,08$, $P(\overline{D} \mid M_2)=0,92$.
4. $P(M_1 \mid D) \approx 0,484 < 0,6$. C'est prévisible car $M_2$ a un taux de défaut plus élevé (8% > 5%), donc parmi les pièces défectueuses, $M_2$ est sur-représentée par rapport à sa part de production (40%), ce qui diminue mécaniquement la part de $M_1$.
3. Une maladie rare touche 1% d'une population. Un test de dépistage a les caractéristiques suivantes : si une personne est malade, le test est positif avec probabilité 0,98 (sensibilité). Si une personne est saine, le test est positif avec probabilité 0,03 (faux positif). On note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test est positif ».
1. Donne $P(M)$, $P(T \mid M)$ et $P(T \mid \overline{M})$. 2. Calcule $P(T)$. 3. Calcule $P(M \mid T)$ (valeur exacte en fraction, puis arrondie à $10^{-3}$). 4. Commente la valeur de $P(M \mid T)$ : le test est-il fiable pour un dépistage de masse ?
4. $P(M \mid T) \approx 0,248$, soit environ 25%. Cela signifie que si le test est positif, il n'y a qu'une chance sur 4 que la personne soit réellement malade. Ce paradoxe s'explique par la rareté de la maladie : les nombreux faux positifs (3% de 99% de la population saine) noient les vrais positifs. Le test seul n'est pas fiable pour un dépistage de masse sans examen complémentaire.
4. Soient $A$ et $B$ deux événements d'un même univers tels que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ et $P(A \cap B) = 0,2$.
1. Calcule $P(A \cup B)$. 2. $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie. 3. Calcule $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$. 4. On considère un troisième événement $C$ tel que $P(C) = 0,3$ et $C$ est indépendant de $A$ et de $B$. Calcule $P(A \cap C)$ et $P(B \cap C)$.
Corrigé
1. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,5 + 0,4 - 0,2 = 0,7$.
2. $P(A) \times P(B) = 0,5 \times 0,4 = 0,2 = P(A \cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.
3. $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,2}{0,4} = 0,5 = P(A)$ (logique car indépendants). $P(B \mid A) = \dfrac{0,2}{0,5} = 0,4 = P(B)$.
4. Si $C$ est indépendant de $A$, alors $P(A \cap C) = P(A) \times P(C) = 0,5 \times 0,3 = 0,15$. De même, $P(B \cap C) = P(B) \times P(C) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$.
Tu as assuré sur les probabilités conditionnelles. Pour te préparer à la terminale, on va voir deux prolongements : la formule de Bayes généralisée (pour inverser les conditions dans des cas plus complexes) et le lien avec les suites et la modélisation par chaîne de Markov (très utilisé en économie, biologie, IA). Ce sont des aperçus, pas des attendus de 1re, mais ils te montreront où tout ça mène. Curieux ? C'est parti.
Formule de Bayes (au-delà du programme)
En 1re, tu as utilisé la formule $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ pour inverser une condition, en passant par l'arbre et les probabilités totales. La formule de Bayes est une version plus directe qui permet d'exprimer $P(B \mid A)$ en fonction de $P(A \mid B)$, $P(B)$ et $P(A \mid \overline{B})$. Elle est très utile en statistique inférentielle et en intelligence artificielle (classifieurs naïfs).
Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A) > 0$ :
$P(B \mid A) = \dfrac{P(A \mid B) \times P(B)}{P(A \mid B) \times P(B) + P(A \mid \overline{B}) \times P(\overline{B})}$
Tu reconnais au numérateur $P(A \cap B)$, et au dénominateur $P(A)$ développé par probabilités totales. C'est exactement ce que tu fais déjà, mais écrit sous forme d'une seule fraction.
Chaîne de Markov (aperçu)
Une chaîne de Markov est un modèle probabiliste où l'état futur dépend uniquement de l'état présent, via des probabilités de transition (qui sont des probabilités conditionnelles). Par exemple, la météo : s'il pleut aujourd'hui, la probabilité qu'il pleuve demain est 0,6 ; s'il fait beau, cette probabilité est 0,2. On représente cela par un graphe ou une matrice de transition.
En terminale (spécialité maths), tu étudieras les chaînes de Markov à deux états, le calcul de l'état stable (distribution invariante), et les applications à la modélisation de systèmes dynamiques (épidémies, files d'attente, algorithmes de recommandation).
À toi de jouer
1. Un test de dépistage d'une maladie rare : $P(M) = 0,005$ (0,5% de la population est malade). La sensibilité du test est $P(T \mid M) = 0,99$. La spécificité est $P(\overline{T} \mid \overline{M}) = 0,97$, donc $P(T \mid \overline{M}) = 0,03$.
Utilise la formule de Bayes pour calculer directement $P(M \mid T)$ : $P(M \mid T) = \dfrac{P(T \mid M) \times P(M)}{P(T \mid M) \times P(M) + P(T \mid \overline{M}) \times P(\overline{M})}$
En calculant par étapes : $P(T) = 0,00495 + 0,02985 = 0,0348$, $P(M \mid T) = 0,00495 / 0,0348 \approx 0,142$. Les deux méthodes donnent le même résultat. La formule de Bayes est juste une écriture compacte de la même chose.
2. On modélise la météo par une chaîne de Markov à deux états : $P$ (pluie) et $S$ (soleil). Chaque jour, la météo évolue selon les probabilités conditionnelles suivantes : $P(P_{demain} \mid P_{aujourd'hui}) = 0,7$, $P(S_{demain} \mid P_{aujourd'hui}) = 0,3$, $P(P_{demain} \mid S_{aujourd'hui}) = 0,2$, $P(S_{demain} \mid S_{aujourd'hui}) = 0,8$.
Aujourd'hui, il pleut (probabilité 1 d'être en $P$).
3. Si on continue ainsi, la probabilité de pluie à long terme se stabilise autour d'une valeur $p$ telle que $p = p \times 0,7 + (1-p) \times 0,2$. Résous cette équation : $p = \underline{\hspace{1.1em}}$ (c'est la distribution invariante de la chaîne).
Corrigé
1. $P(P_{demain}) = 0,7$ (direct, car aujourd'hui il pleut).
3. Équation : $p = 0,7p + 0,2(1-p) \iff p = 0,7p + 0,2 - 0,2p \iff p - 0,5p = 0,2 \iff 0,5p = 0,2 \iff p = 0,4$. À long terme, la probabilité de pluie un jour donné est 0,4 (distribution invariante).
Fiche gratuite créée par Vidyalaya, association d'éducation populaire — soutien scolaire, FLE & DELF, libre et gratuit pour tous. Tu bloques encore ? Écris-nous, on t'aide gratuitement : contact@vidyalaya.fr.
Fiche librement réutilisable sous licence CC BY-SA 4.0 — copiez, imprimez, adaptez, en citant Vidyalaya et en conservant la même licence.