Fonction dérivée — Exercices

Des dérivées immédiates aux variations d'une fonction. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice inutile

1Dérivées immédiates/ 3 pts

Calcule la dérivée de chacune des fonctions suivantes.

$f(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x - 1$
$g(x) = \dfrac{1}{x} + \sqrt{x}$, sur $]0\,;\,+\infty[$
$h(x) = x^5 - \dfrac{3}{x}$, sur $]0\,;\,+\infty[$

2Règle du produit/ 4 pts

Calcule la dérivée de chacune des fonctions en appliquant $(uv)' = u'v + uv'$.

$f(x) = (x+3)(2x-5)$
$g(x) = (3x^2-1)(x+4)$

3Règle du quotient/ 4 pts

Calcule la dérivée de chacune des fonctions en appliquant $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

$f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$, sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$
$g(x) = \dfrac{x^2+3}{2x-1}$, sur $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$

4Dérivée d'une composée/ 3 pts

Calcule la dérivée de chacune des fonctions.

$f(x) = (3x+1)^4$
$g(x) = (x^2-2x)^3$
$h(x) = \sqrt{2x+5}$, sur $\left]-\dfrac{5}{2}\,;\,+\infty\right[$

5Signe de la dérivée et variations/ 6 pts

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ définie sur $\mathbb{R}$.

Calcule $f'(x)$.
Factorise $f'(x)$ et résous $f'(x) = 0$.
Étudie le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Calcule $f(0)$ et $f(2)$, puis dresse le tableau de variations de $f$.

Corrigé détaillé

1Dérivées immédiates

a) $f'(x) = 4 \times 3x^2 - 3 \times 2x + 2 =$ $12x^2 - 6x + 2$

b) $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} \text{ et } (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow$ $g'(x) = -\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

c) $h'(x) = 5x^4 + (-3) \times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) =$ $5x^4 + \dfrac{3}{x^2}$

2Règle du produit

a) $u=x+3,\ u'=1 ;\ v=2x-5,\ v'=2 \Rightarrow f'(x) = 1 \cdot (2x-5)+(x+3) \cdot 2 = 2x-5+2x+6 =$ $4x+1$

b) $u=3x^2-1,\ u'=6x ;\ v=x+4,\ v'=1 \Rightarrow g'(x) = 6x(x+4)+(3x^2-1) \cdot 1 = 6x^2+24x+3x^2-1 =$ $9x^2+24x-1$

3Règle du quotient

a) $u=x+1,\ u'=1 ;\ v=x-2,\ v'=1 \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1 \cdot (x-2)-(x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^2} =$ $\dfrac{-3}{(x-2)^2}$

b) $u=x^2+3,\ u'=2x ;\ v=2x-1,\ v'=2 \Rightarrow g'(x) = \dfrac{2x(2x-1)-(x^2+3) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \dfrac{4x^2-2x-2x^2-6}{(2x-1)^2} =$ $\dfrac{2x^2-2x-6}{(2x-1)^2}$

4Dérivée d'une composée

a) $u=3x+1,\ u'=3 \Rightarrow f'(x) = 4(3x+1)^3 \times 3 =$ $12(3x+1)^3$

b) $u=x^2-2x,\ u'=2x-2 \Rightarrow g'(x) = 3(x^2-2x)^2 \cdot (2x-2) = 3 \cdot 2(x-1)(x^2-2x)^2 =$ $6(x-1)(x^2-2x)^2$

c) $u=2x+5,\ u'=2 \Rightarrow h'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+5}} =$ $\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}$

5Signe de la dérivée et variations

1) $f(x) = x^3-3x^2+2 \Rightarrow$ $f'(x) = 3x^2-6x$

2) $f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow$ $x = 0 \text{ ou } x = 2$

3) $3x(x-2) :\quad x \lt 0 \Rightarrow f'\gt 0 ;\quad 0 \lt x \lt 2 \Rightarrow f' \lt 0 ;\quad x \gt 2 \Rightarrow f' \gt 0$ $f' \ge 0 \text{ sur } ]-\infty\,;0],\ f' \le 0 \text{ sur } [0\,;2],\ f' \ge 0 \text{ sur } [2\,;+\infty[$

4) $f(0) = 0-0+2 = 2 ;\quad f(2) = 8-12+2 = -2$ $f \text{ croissante sur } ]-\infty\,;0],\ \text{décroissante sur } [0\,;2],\ \text{croissante sur } [2\,;+\infty[$