Tu as un contrôle qui approche et tu n'as jamais entendu parler de dérivée ? Pas de panique. On va repartir de ce que tu sais déjà — les variations de fonctions et les fonctions carré, inverse, racine carrée — pour comprendre vite fait ce qu'est une dérivée et comment calculer les dérivées les plus courantes. Tu seras fonctionnel pour le jour J.
Tu as vu en seconde qu'une fonction peut être croissante (plus x augmente, plus f(x) augmente, la courbe « monte ») ou décroissante (la courbe « descend »). Un maximum ou un minimum local s'appelle un extremum.
Les fonctions de référence à connaître sont :
Pour savoir si une fonction monte ou descend, on regarde la pente de sa courbe. Plus la tangente à la courbe monte, plus la fonction croît vite. Le nombre dérivé en un point $a$ est justement cette pente : $f'(a)$. On le définit par $$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$ quand cette limite existe.
La fonction dérivée $f'$ donne la valeur de $f'(x)$ pour tout $x$. Et le lien crucial avec les variations :
La figure ci-dessous illustre la tangente au point $A$ de la courbe de $f$ : sa pente vaut $f'(a)$.
Voici les dérivées à connaître par cœur (on se limite pour l'instant à celles qui permettent de dériver un polynôme et les fonctions $\frac1x$ et $\sqrt{x}$).
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| Constante $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Premières règles :
Exemple : $f(x)=3x^2-4x+1$. On dérive terme à terme : $f'(x)=3\times 2x^{2-1} -4\times 1 +0 = 6x-4$.
Complète le tableau suivant (les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$ sauf indication).
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $f(x)=5$ | $f'(x)=\underline{\hspace{1.1em}}$ |
| $f(x)=x^4$ | $f'(x)=4x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$ |
| $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ | $f'(x)=-\frac{1}{x^{\underline{\hspace{1.1em}}}}$ |
| $f(x)=3x^2$ | $f'(x)=\underline{\hspace{1.1em}} x$ |
| $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$ | $f'(x)=\frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}\sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}}}$ |
Remplissage : $0$ ; $3$ ; $2$ ; $6$ ; le dernier : $2$ et $x$, soit $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Calcule la dérivée de $f(x)=2x^3 - 5x^2 + 4x - 7$.
Complète : $f'(x)= \underline{\hspace{1.1em}} \, x^{\underline{\hspace{1.1em}}} - \underline{\hspace{1.1em}} \, x + \underline{\hspace{1.1em}}$.
(Astuce : la dérivée de la constante $-7$ est $0$.)
On dérive terme à terme : $(2x^3)' = 6x^2$ ; $(-5x^2)' = -10x$ ; $(4x)' = 4$ ; $(-7)' = 0$. Donc $f'(x)=6x^2 - 10x + 4$. Les cases sont : $6$, $2$, $10$, $4$.
Dérive $g(x)= \dfrac{1}{x} + \sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$.
Complète : $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ ; $\left(\sqrt{x}\right)' = \frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}\sqrt{x}}$.
Donc $g'(x)= -\frac{1}{x^{\underline{\hspace{1.1em}}}} + \frac{1}{\underline{\hspace{1.1em}}\sqrt{x}}$.
Première case : $x^2$ ; deuxième : $2$ ; troisième : $2$ ; quatrième : $2$. On obtient $g'(x)= -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ces histoires de pente et de dérivée, ça te revient maintenant. On reprend les formules mais cette fois avec toutes les règles (produit, quotient, composée) et une méthode pour ne pas te tromper.
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
Soit $f(x)=(2x+1)(x-3)$. Utilise la règle du produit $(uv)'=u'v+uv'$.
On pose $u=2x+1$, donc $u'=\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $v=x-3$, donc $v'=\underline{\hspace{1.1em}}$.
Alors $f'(x)= \underline{\hspace{1.1em}} \cdot (x-3) + (2x+1) \cdot \underline{\hspace{1.1em}} = \ldots$
Simplifie : $f'(x)= \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$.
$u'=2$, $v'=1$. $f'(x)=2(x-3)+(2x+1)\cdot1 = 2x-6+2x+1 = 4x-5$. Les cases sont : $2$, $1$, $2$, $1$, $4$, $5$.
Soit $f(x)=\dfrac{x+2}{x-1}$. Utilise la règle du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
On pose $u=x+2$, $u'=\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $v=x-1$, $v'=\underline{\hspace{1.1em}}$.
Alors $f'(x)= \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}\cdot (x-1) - (x+2)\cdot \underline{\hspace{1.1em}}}{(x-1)^2}$.
Après calcul, $f'(x)= \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{(\underline{\hspace{1.1em}})^{\underline{\hspace{1.1em}}}}$.
$u'=1$, $v'=1$. Numérateur : $1\cdot(x-1)-(x+2)\cdot1 = x-1-x-2 = -3$. Donc $f'(x)=\frac{-3}{(x-1)^2}$. Cases : $1$, $1$, $1$, $1$, $-3$, $x-1$, $2$.
Dérive $f(x)=(3x^2+1)^4$ en utilisant la règle $(u^n)' = n\,u^{n-1}\cdot u'$. Écris les étapes.
On pose $u=3x^2+1$, alors $u'=6x$. Donc $f'(x)=4(3x^2+1)^3\cdot 6x = 24x(3x^2+1)^3$.
Cinq mini-exercices, tous du même type, pour ancrer le calcul de dérivées de polynômes. Répétition mécanique, réussite garantie !
Place au contrôle ! Des exercices variés, sans filet, pour vérifier que tu sais dériver proprement et que tu maîtrises l'étude complète des variations.
Tu veux aller plus loin ? Voici deux exercices qui te montrent ce qu'on fait l'année prochaine en spécialité : optimiser une grandeur (bénéfice) et utiliser la dérivée seconde pour confirmer la nature d'un extremum (on appelle ça la convexité).
Une entreprise vend $x$ milliers d'objets ($0\leqslant x\leqslant 10$). Son bénéfice (en milliers d'euros) est $B(x)= -x^3 + 12x^2 - 21x - 10$.
a) Calcule $B'(x)$ : $B'(x)= \underline{\hspace{1.1em}} x^2 + \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) On donne la factorisation $B'(x)= -3(x-1)(x-7)$. Résous $B'(x)=0$ : les solutions sont $x= \underline{\hspace{1.1em}}$ et $x= \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Complète le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0,10]$ :
$x$ 0 1 7 10
$B'(x)$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ 0 $\underline{\hspace{1.1em}}$ 0 $\underline{\hspace{1.1em}}$ (mets + ou -).
d) Déduis-en la valeur de $x$ qui maximise le bénéfice : $x_{\max}= \underline{\hspace{1.1em}}$.
e) Pour l'an prochain : on calcule la dérivée seconde $B''$ (la dérivée de $B'$). Ici $B''(x)= \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$. Calcule $B''(x_{\max})$ et vérifie qu'il est strictement négatif : $B''(\ldots)= \underline{\hspace{1.1em}}$. En terminale, on apprend que si $B''(x_0)<0$ alors $x_0$ correspond à un maximum local (fonction concave localement).
a) $B'(x)= -3x^2 + 24x - 21$. Cases : $-3$, $24$, $21$.
b) $B'(x)=0$ pour $x=1$ et $x=7$.
c) Sur $[0,1[$, $B'(x)<0$ ; sur $]1,7[$, $B'(x)>0$ ; sur $]7,10]$, $B'(x)<0$. Cases : $-$, $+$, $-$.
d) $B$ est croissante sur $[1,7]$ puis décroissante, donc le maximum est atteint en $x=7$. $x_{\max}=7$.
e) $B''(x) = -6x+24$. Cases : $-6$, $24$. $B''(7) = -42+24 = -18 <0$, ce qui confirme un maximum local. En terminale, on étudiera la convexité avec le signe de $f''$.
On s'intéresse à $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$ définie sur $]0;+\infty[$.
a) Écris $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ et calcule $f'(x)$ : $f'(x)=\underline{\hspace{1.1em}} - \frac{1}{x^2}$.
b) Vérifie que $f'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2}$ et factorise le numérateur.
c) Étudie le signe de $f'(x)$ et dresse le tableau de variations de $f$ sur $]0;+\infty[$.
d) Année prochaine : exprime $f'(x)$ sous la forme $1 - x^{-2}$ et calcule la dérivée seconde $f''(x)$ : $f''(x)=\underline{\hspace{1.1em}} x^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
e) Déduis-en le signe de $f''(x)$ sur $]0;+\infty[$. Que peut-on dire de la convexité de $f$ ? (Rappel : $f''>0 \Rightarrow$ convexe ; $f''<0 \Rightarrow$ concave.)
f) Grâce à la convexité, peux-tu préciser la nature de l'extremum trouvé en c) ?
a) $f'(x)=1 - \frac{1}{x^2}$. Case : $1$.
b) $1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.
c) Sur $]0;+\infty[$, le dénominateur est positif. Le signe de $f'$ est celui de $(x-1)(x+1)$. Il est négatif sur $]0;1[$, positif sur $]1;+\infty[$. $f$ est donc décroissante sur $]0;1]$, croissante sur $[1;+\infty[$, avec un minimum en $x=1$ de valeur $f(1)=2$.
d) $f'(x)=1 - x^{-2}$, donc $f''(x)= 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. Cases : $2$, $-3$.
e) Sur $]0;+\infty[$, $f''(x)>0$, donc $f$ est convexe sur tout l'intervalle. (En terminale, on dira que la courbe est au-dessus de ses tangentes.)
f) La convexité nous assure que le point $x=1$ est un minimum global strict, car la dérivée seconde y est positive (ici elle est toujours positive). Ce type de raisonnement sera approfondi en terminale avec la convexité.
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