Pas de panique ! On part vraiment de zéro. On va réactiver les prérequis indispensables (coordonnées d'un point, calcul de quotient, résolution d'une équation du premier degré, notion de système de deux équations) et te donner l'essentiel pour devenir fonctionnel rapidement. Accroche-toi, c'est progressif.
Prérequis – De quoi a-t-on besoin ?
Avant de parler droites, assure-toi de savoir :
- Lire les coordonnées d'un point dans un repère : A(2, 3) signifie x = 2, y = 3.
- Calculer une différence puis un quotient (pour la pente).
- Résoudre une équation simple du type 2x + 1 = 5.
- Comprendre ce qu'est un système : deux équations qui doivent être vraies en même temps pour les mêmes inconnues.
1. Équation réduite d'une droite (non verticale)
Dans un repère, toute droite non verticale a une équation de la forme y = m x + p.
m est le coefficient directeur (la pente) : il indique l'inclinaison.
p est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des y (quand x = 0).
Exemple : y = 2x + 1. Ici, m = 2 et p = 1.
2. Droite verticale
Si une droite est verticale, tous ses points ont la même abscisse x = a. Son équation est x = a (ici, pas de coefficient directeur, et pas de p).
3. Système de deux équations linéaires
Trouver le point d'intersection de deux droites revient à résoudre un système de la forme :
$\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases}$ ou forme cartésienne. On cherche le couple (x, y) qui vérifie les deux équations. La méthode la plus naturelle est la substitution : on égale les deux expressions de y (ou on isole une inconnue) pour trouver x, puis on remplace.
À toi de jouer
1. On lit une équation. Complète : Dans y = 3x - 5, le coefficient directeur m = et l'ordonnée à l'origine p = . La droite est (croissante/décroissante/constante) car m est (positif/négatif/nul).
Corrigé
m = 3, p = -5. La droite est croissante car m est positif.
2. On calcule un coefficient directeur. A(1, 2) et B(4, 8). Formule : m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}. Complète : m = \dfrac{ - }{ - } = \dfrac{}{} = .
Corrigé
m = (8 - 2)/(4 - 1) = 6/3 = 2.
3. On vérifie si un point appartient à une droite. Soit la droite d'équation y = -x + 4. Pour savoir si C(3, 1) est sur la droite, on remplace x par et on vérifie si y = . Calcul : - () + 4 = . Le point C (appartient / n'appartient pas) à la droite.
Corrigé
x par 3, y = -3 + 4 = 1, donc 1 = 1. Le point C appartient à la droite.
Ah oui, tout revient ! On remet en ordre les méthodes pour écrire l'équation d'une droite à partir de deux points et résoudre un système par substitution. C'est reparti.
Méthode 1 – Équation réduite d'une droite passant par deux points
Cas général : A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) avec x_A ≠ x_B.
- Calculer le coefficient directeur : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- Écrire la forme provisoire : $y = m x + p$.
- Injecter les coordonnées de l'un des points (par exemple A) pour trouver p : $y_A = m x_A + p$ donne $p = y_A - m x_A$.
- Conclure : $y = m x + p$.
Cas particulier : si x_A = x_B, la droite est verticale, équation x = x_A (pas de coefficient directeur).
Méthode 2 – Résoudre un système par substitution
Pour un système $\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$ ou avec des y exprimés :
- Si une équation donne déjà y = ... ou x = ..., on l'utilise directement. Sinon, isoler une inconnue dans l'équation la plus simple.
- Remplacer (substituer) cette expression dans l'autre équation. On obtient une équation à une seule inconnue.
- Résoudre cette équation.
- Reporter la valeur trouvée dans l'expression de l'autre inconnue.
- Vérifier que le couple trouvé satisfait les deux équations d'origine.
Position relative de deux droites (rappel)
Deux droites d'équations réduites $y = m_1 x + p_1$ et $y = m_2 x + p_2$ sont :
- sécantes si $m_1
eq m_2$ (un seul point commun). - parallèles non confondues si $m_1 = m_2$ mais $p_1
eq p_2$ (aucun point commun). - confondues si $m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$ (infinité de points communs).
À toi de jouer
1. Trouvons l'équation réduite de la droite (AB) avec A(0, 2) et B(3, 8). Complète :
m = \dfrac{ - }{ - } = \dfrac{}{} = .
Forme provisoire : y = x + p.
Injecte A : 2 = × 0 + p → p = .
Conclusion : (AB) : y = .
Corrigé
m = (8 - 2)/(3 - 0) = 6/3 = 2. Forme : y = 2x + p. A : 2 = 2×0 + p → p = 2. (AB) : y = 2x + 2.
2. Même chose pour C(-1, 4) et D(3, -4). Complète :
m = \dfrac{ - }{ - ()} = \dfrac{}{} = .
y = x + p.
Injecte C(-1,4) : 4 = () × () + p → p = .
(CD) : y = .
Corrigé
m = (-4 - 4)/(3 - (-1)) = -8/4 = -2. y = -2x + p. Avec C : 4 = (-2)×(-1) + p → 4 = 2 + p → p = 2. (CD) : y = -2x + 2.
3. Position relative sans calcul d'intersection.
d1 : y = 2x + 1 et d2 : y = 2x - 3. m1 = , m2 = , p1 = , p2 = . Les coefficients sont (égaux / différents). Donc les droites sont (sécantes / parallèles non confondues / confondues).
d3 : y = 3x + 5 et d4 : 6x - 2y + 10 = 0. Transforme d4 : -2y = -6x - 10 → y = x + . Maintenant compare : m3 = , m4 = , p3 = , p4 = . Les droites sont .
Corrigé
d1/d2 : m1=2, m2=2, p1=1, p2=-3, égaux, parallèles non confondues. d4 : y = 3x + 5, donc m3=3, m4=3, p=5, confondues.
On répète le geste pour que ça devienne un réflexe. Cinq exercices similaires pour maîtriser le passage de deux points à l'équation réduite. À chaque fois, on calcule m puis p, et on écrit l'équation.
À toi de jouer
1. Soient A(2, 5) et B(4, 11). Trouve l'équation réduite de (AB).
m = \dfrac{ - }{ - } = \dfrac{}{} = .
y = x + p. Avec A(2,5) : 5 = × 2 + p → 5 = + p → p = .
(AB) : y = .
Corrigé
m = (11-5)/(4-2)=6/2=3. y=3x+p. 5=6+p → p=-1. (AB) : y=3x-1.
2. A(0, 4) et B(5, 14).
m = \dfrac{ - }{ - } = \dfrac{}{} = .
y = x + p. Ici p est évident car A(0,) → p = .
(AB) : y = .
Corrigé
m = (14-4)/(5-0)=10/5=2. A(0,4) donne p=4. (AB) : y=2x+4.
3. A(-2, 3) et B(1, -6).
m = \dfrac{ - }{ - ()} = \dfrac{}{} = .
y = x + p. Avec A(-2,3) : 3 = ()×() + p → 3 = + p → p = .
(AB) : y = .
Corrigé
m = (-6-3)/(1-(-2)) = -9/3 = -3. y=-3x+p. 3 = (-3)(-2)+p → 3=6+p → p=-3. (AB) : y=-3x-3.
4. A(4, 7) et B(4, -1). Les abscisses sont (égales/différentes). Donc la droite est (verticale/non verticale). Son équation est x = .
Corrigé
Abscisses égales, droite verticale, x = 4.
5. A(-1, -2) et B(3, 6).
m = \dfrac{ - }{ - ()} = \dfrac{}{} = .
y = x + p. Avec A(-1,-2) : -2 = ()×() + p → -2 = + p → p = .
(AB) : y = .
Corrigé
m = (6 - (-2))/(3 - (-1)) = 8/4 = 2. y=2x+p. -2 = 2(-1)+p → -2 = -2 + p → p=0. (AB) : y=2x.
Tu es prêt pour l'évaluation ! Voici des exercices au format contrôle, à résoudre en autonomie. Vérifie tes résultats avec le corrigé détaillé.
À toi de jouer
1. Pour chaque équation, donne le coefficient directeur m et l'ordonnée à l'origine p quand ils existent, puis indique si la droite est croissante, décroissante ou constante.
a) y = -2x + 7
b) y = 4
c) 3x + 2y - 6 = 0
d) x = -1
Corrigé
a) m=-2, p=7, décroissante (m<0). b) m=0, p=4, constante. c) 2y = -3x + 6 → y = -1,5x + 3, m=-1,5, p=3, décroissante. d) droite verticale, pas de coefficient directeur ni de p (x = -1).
2. Détermine l'équation réduite de la droite (AB) dans chaque cas :
a) A(1, 3) et B(5, 15)
b) C(2, 7) et D(2, -3)
c) E(-3, 2) et F(0, -1)
Corrigé
a) m = (15-3)/(5-1)=12/4=3, y=3x+p, avec A:3=3×1+p→p=0, (AB): y=3x. b) x_C=x_D=2 → droite verticale x=2. c) m = (-1-2)/(0-(-3))=-3/3=-1, y=-x+p, avec F(0,-1): -1 = 0+p→p=-1, (EF): y=-x-1.
3. Sans calculer le point d'intersection, précise si les droites d1 et d2 sont sécantes, parallèles non confondues ou confondues.
a) d1 : y = 5x - 2, d2 : y = 5x + 3
b) d1 : 2x - y + 4 = 0, d2 : y = 2x + 4
c) d1 : y = -3x + 1, d2 : y = 3x + 1
Corrigé
a) m1=m2=5, p1=-2 ≠ p2=3 → parallèles non confondues. b) d1 : y=2x+4, identique à d2 → confondues. c) m1=-3, m2=3, différents → sécantes.
4. Résous chaque système et interprète géométriquement.
a) $\begin{cases} y = x + 2 \\ y = -2x + 8 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 3x + y = 9 \\ x - 2y = -4 \end{cases}$
Corrigé
a) x+2 = -2x+8 → 3x = 6 → x = 2, y = 4. Droites sécantes en (2,4). b) y = 9-3x, on remplace : x - 2(9-3x) = -4 → x -18 +6x = -4 → 7x = 14 → x = 2, y = 3. Sécantes en (2,3).
5. Dans un repère, on donne A(0, 0), B(8, 0) et C(4, 6).
a) Détermine les équations des droites (AB), (AC) et (BC).
b) Calcule les coordonnées du milieu M du segment [BC].
c) Donne l'équation de la médiane issue de A (droite passant par A et M).
d) La hauteur issue de A est perpendiculaire à (BC). Trouve son équation (rappel : produit des coefficients directeurs = -1 pour deux droites perpendiculaires), puis calcule les coordonnées du pied H (intersection avec (BC)).
Corrigé
a) (AB) entre (0,0) et (8,0) : horizontale, y=0. (AC) : m=6/4=1,5, y=1,5x (p=0). (BC) : m=(0-6)/(8-4)=-6/4=-1,5, avec B(8,0) : 0=-1,5×8+p→p=12 → y=-1,5x+12. b) M = ((8+4)/2, (0+6)/2) = (6, 3). c) Médiane (AM) : passe par (0,0) et (6,3) → m=3/6=0,5, y=0,5x. d) Coefficient de (BC) = -1,5 ; hauteur perpendiculaire → m' = 2/3 (car -1,5 × 2/3 = -1). Passe par A(0,0) → y = (2/3)x. Intersection avec (BC) : résoudre (2/3)x = -1,5x + 12 → (2/3 + 3/2)x = 12 → (13/6)x = 12 → x = 72/13 ≈5,54, y = (2/3)×(72/13)=48/13≈3,69. H(72/13 ; 48/13).
Tu maîtrises les droites et les systèmes 2×2 ? En terminale, on passe à des systèmes plus gros et on étudie des familles de droites avec paramètre. Voici de quoi te projeter.
À toi de jouer
1. Pour quelle valeur du paramètre m les droites d1 : y = (m - 1)x + 2 et d2 : y = 2x - 3m sont-elles parallèles ? (Aide : deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux.)
Corrigé
Condition : m - 1 = 2 → m = 3. Pour m = 3, d1 : y = 2x + 2 et d2 : y = 2x - 9, elles sont bien parallèles (non confondues).
2. On cherche l'équation de la parabole de la forme y = ax² + bx + c passant par les points A(0, 1), B(1, 3) et C(2, 9). En écrivant les trois conditions, tu obtiens un système de trois équations à trois inconnues a, b, c. Résous-le par substitution.
Indications :
A(0,1) → c = 1.
B(1,3) → a + b + c = .
C(2,9) → 4a + 2b + c = .
Remplace c, puis résous.
Corrigé
A : c=1. B : a + b + 1 = 3 → a+b=2. C : 4a+2b+1=9 → 4a+2b=8 → 2a+b=4. Système : a+b=2 et 2a+b=4. Par soustraction : (2a+b)-(a+b)=4-2 → a=2, puis b=0. Conclusion : y = 2x² + 1.
3. Problème de lieu géométrique : Dans un repère, on donne les droites d : y = (t+1)x - 2t où t est un nombre réel. Montre que toutes ces droites passent par un point fixe I (indépendant de t). Donne les coordonnées de I. (Cet exercice utilise une méthode similaire à celle qui sera utilisée en terminale pour les faisceaux de droites.)
Corrigé
On cherche (x,y) vérifiant l'équation quel que soit t. y = (t+1)x - 2t = t x + x - 2t = x + t(x - 2). Pour que y ne dépende pas de t, le coefficient de t doit être nul : x - 2 = 0 → x = 2. Alors y = 2 + t×0 = 2. Le point fixe est I(2, 2). Vérification : pour t quelconque, si x=2, y=(t+1)×2 - 2t = 2t+2-2t=2.