Géométrie repérée : équations de droites, systèmes

Prérequis – De quoi a-t-on besoin ?

Avant de parler droites, assure-toi de savoir :

• Lire les coordonnées d'un point dans un repère : A(2, 3) signifie x = 2, y = 3.
• Calculer une différence puis un quotient (pour la pente).
• Résoudre une équation simple du type 2x + 1 = 5.
• Comprendre ce qu'est un système : deux équations qui doivent être vraies en même temps pour les mêmes inconnues.

1. Équation réduite d'une droite (non verticale)

Dans un repère, toute droite non verticale a une équation de la forme y = m x + p.

m est le coefficient directeur (la pente) : il indique l'inclinaison.
p est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des y (quand x = 0).

Exemple : y = 2x + 1. Ici, m = 2 et p = 1.

2. Droite verticale

Si une droite est verticale, tous ses points ont la même abscisse x = a. Son équation est x = a (ici, pas de coefficient directeur, et pas de p).

3. Système de deux équations linéaires

Trouver le point d'intersection de deux droites revient à résoudre un système de la forme :
$\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases}$ ou forme cartésienne. On cherche le couple (x, y) qui vérifie les deux équations. La méthode la plus naturelle est la substitution : on égale les deux expressions de y (ou on isole une inconnue) pour trouver x, puis on remplace.

Méthode 1 – Équation réduite d'une droite passant par deux points

Cas général : A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) avec x_A ≠ x_B.

1. Calculer le coefficient directeur : $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
2. Écrire la forme provisoire : $y = m x + p$.
3. Injecter les coordonnées de l'un des points (par exemple A) pour trouver p : $y_A = m x_A + p$ donne $p = y_A - m x_A$.
4. Conclure : $y = m x + p$.

Cas particulier : si x_A = x_B, la droite est verticale, équation x = x_A (pas de coefficient directeur).

Méthode 2 – Résoudre un système par substitution

Pour un système $\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$ ou avec des y exprimés :

1. Si une équation donne déjà y = ... ou x = ..., on l'utilise directement. Sinon, isoler une inconnue dans l'équation la plus simple.
2. Remplacer (substituer) cette expression dans l'autre équation. On obtient une équation à une seule inconnue.
3. Résoudre cette équation.
4. Reporter la valeur trouvée dans l'expression de l'autre inconnue.
5. Vérifier que le couple trouvé satisfait les deux équations d'origine.

Position relative de deux droites (rappel)

Deux droites d'équations réduites $y = m_1 x + p_1$ et $y = m_2 x + p_2$ sont :

• sécantes si $m_1 \neq m_2$ (un seul point commun).
• parallèles non confondues si $m_1 = m_2$ mais $p_1 \neq p_2$ (aucun point commun).
• confondues si $m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$ (infinité de points communs).