Géométrie repérée : droites et systèmes — Exercices

Lire, construire, résoudre. Corrigé détaillé en fin de fiche.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice inutile

1Lire une équation de droite/ 3 pts

Pour chaque équation, identifier le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$ (s'ils existent), puis indiquer si la droite est croissante, décroissante ou constante.

$y = 3x - 5$
$y = -\dfrac{1}{2}x + 4$
$2x - 4y + 8 = 0$

2Équation d'une droite passant par deux points/ 4 pts

Déterminer l'équation réduite (ou l'équation dans le cas vertical) de chaque droite.

Droite $(AB)$ avec $A(0,\ 2)$ et $B(3,\ 8)$
Droite $(CD)$ avec $C(-1,\ 4)$ et $D(3,\ -4)$
Droite $(EF)$ avec $E(5,\ 1)$ et $F(5,\ 7)$

3Position relative de deux droites/ 3 pts

Sans calculer de point d'intersection, déterminer si $d_1$ et $d_2$ sont sécantes, parallèles non confondues ou confondues. Justifier.

$d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = 2x - 3$
$d_1 : y = 3x + 5$ et $d_2 : 6x - 2y + 10 = 0$
$d_1 : y = -x + 4$ et $d_2 : y = 2x - 2$

4Résoudre un système/ 4 pts

Résoudre chaque système et interpréter géométriquement le résultat.

$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -7 \end{cases}$

5Triangle dans le plan/ 6 pts

On considère les points $A(0,\ 0)$, $B(6,\ 0)$ et $C(2,\ 4)$.

Écrire les équations des droites $(AB)$, $(AC)$ et $(BC)$.
Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[BC]$.
Écrire l'équation de la médiane issue de $A$ (droite passant par $A$ et $M$).
La hauteur issue de $A$ est perpendiculaire à $(BC)$. Deux droites perpendiculaires ont leurs coefficients directeurs vérifiant $m_1 \times m_2 = -1$. Écrire l'équation de cette hauteur, puis calculer les coordonnées de son pied $H$ (intersection avec $(BC)$).

Corrigé détaillé

1Lire une équation de droite

a) $y = 3x - 5 \Rightarrow m = 3,\ p = -5$ $m = 3,\ p = -5\ ;\ \text{droite croissante}$

b) $y = -\dfrac{1}{2}x + 4 \Rightarrow m = -\dfrac{1}{2},\ p = 4$ $m = -\dfrac{1}{2},\ p = 4\ ;\ \text{droite décroissante}$

c) $2x - 4y + 8 = 0 \Rightarrow 4y = 2x + 8 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}x + 2$ $m = \dfrac{1}{2},\ p = 2\ ;\ \text{droite croissante}$

2Équation d'une droite passant par deux points

a) $m = \dfrac{8-2}{3-0} = \dfrac{6}{3} = 2\ ;\ y = 2x + p\ ;\ A(0,2) \Rightarrow p = 2$ $y = 2x + 2$

b) $m = \dfrac{-4-4}{3-(-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2\ ;\ y = -2x + p\ ;\ C(-1,4) : 4 = 2 + p \Rightarrow p = 2$ $y = -2x + 2$

c) $x_E = x_F = 5 \Rightarrow \text{droite verticale}$ $x = 5$

3Position relative de deux droites

a) $m_1 = m_2 = 2\ ;\ p_1 = 1 \neq p_2 = -3$ $\text{Parallèles non confondues}$

b) $d_2 : 6x - 2y + 10 = 0 \Rightarrow y = 3x + 5\ ;\ \text{même équation que } d_1$ $\text{Droites confondues}$

c) $m_1 = -1 \neq m_2 = 2$ $\text{Sécantes (un unique point commun)}$

4Résoudre un système

a) $2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\ ;\ y = 2(2) - 1 = 3$ $(x,y) = (2,\ 3)\ ;\ \text{droites sécantes en } (2,\ 3)$

b) $(1) \Rightarrow y = 7 - 2x\ ;\ (2) : x - 3(7-2x) = -7 \Rightarrow x - 21 + 6x = -7 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2\ ;\ y = 7 - 4 = 3$ $(x,y) = (2,\ 3)\ ;\ \text{droites sécantes en } (2,\ 3)$

5Triangle dans le plan

a) (AB) $A(0,0),\ B(6,0) :\quad m = \dfrac{0-0}{6-0} = 0,\ p = 0$ $y = 0$

a) (AC) $m = \dfrac{4-0}{2-0} = 2,\ p = 0$ $y = 2x$

a) (BC) $m = \dfrac{4-0}{2-6} = \dfrac{4}{-4} = -1\ ;\ y = -x + p\ ;\ B(6,0) : 0 = -6 + p \Rightarrow p = 6$ $y = -x + 6$

b) milieu M $M = \left(\dfrac{6+2}{2},\ \dfrac{0+4}{2}\right) = (4,\ 2)$ $M(4,\ 2)$

c) médiane (AM) $m = \dfrac{2-0}{4-0} = \dfrac{1}{2}\ ;\ A(0,0) \Rightarrow p = 0$ $y = \dfrac{1}{2}x$

d) hauteur issue de A $m_{BC} = -1 \Rightarrow m_h = -\dfrac{1}{-1} = 1\ ;\ \text{passe par } A(0,0) : y = x\ ;\ \text{inter. avec } (BC) : x = -x + 6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3,\ y = 3$ $\text{Hauteur : } y = x\ ;\ H = (3,\ 3)$