Mathématiques · 1re

Fonction exponentielle

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique ! Tu découvres la fonction exponentielle juste avant un contrôle ? Cette fiche te donne l'essentiel, en partant de ce que tu sais déjà sur les dérivées. On va droit au but pour que tu sois vite fonctionnel.

1. Les prérequis indispensables

Avant de parler exponentielle, rappelle-toi :

La dérivée de x² est 2x ; celle de 3x+1 est 3. Dériver une somme, un produit : tu sais faire.
Une fonction peut être strictement positive (comme x² + 1, toujours > 0).
Les limites : une fonction peut tendre vers +∞ ou vers 0. Par exemple, en –∞, la courbe de 1/x se rapproche de l'axe des abscisses sans le toucher.

2. L'exponentielle, qu'est-ce que c'est ?

La fonction exponentielle, notée x ↦ e^x, est l'unique fonction dérivable sur ℝ qui vérifie deux choses :

elle est égale à sa propre dérivée : (e^x)' = e^x ;
elle vaut 1 en 0 : e⁰ = 1.

Le nombre e ≈ 2,718 est appelé nombre d'Euler.

3. Propriétés de calcul (à connaître par cœur)

Produit	e^a+b = e^a · e^b
Quotient	e^a–b = e^a / e^b
Opposé	e^–a = 1 / e^a
Puissance	(e^a)ⁿ = e^{n a}

4. Signe, variations et limite

e^x est strictement positif pour tout réel x. Elle est strictement croissante.

Limites :

En +∞ : e^x → +∞
En –∞ : e^x → 0 (l'axe des abscisses est asymptote horizontale).

De plus, pour tout polynôme P, P(x)e^x → 0 quand x → –∞ (l'exponentielle écrase le polynôme).

5. Dérivée d'une exponentielle composée

Si u est une fonction dérivable, alors :

(e^u(x))' = u'(x) e^u(x).

À toi de jouer

Exercice 1 – Simplifications avec des exponentielles
Complète chaque égalité en utilisant les propriétés du cours.

e³ × e² = e
\dfrac{e⁵}{e²} = e
e^–2 = \dfrac{1}{e}
(e³)² = e
e⁰ =
e¹ ≈ (arrondi à 10^–3)

Corrigé

Corrigé :

e³⁺² = e⁵ → 5
e^5–2 = e³ → 3
e^–2 = 1 / e² → 2
e^3×2 = e⁶ → 6
e⁰ = 1 → 1
e ≈ 2,718

Exercice 2 – Dérivées simples
Complète les pointillés pour obtenir la dérivée.

f(x) = e^2x → f '(x) = · e^2x
g(x) = e^–x → g'(x) = · e^–x
h(x) = 5 e^3x+1 → h'(x) = 5 × · e^3x+1

Corrigé

Corrigé :

u(x)=2x, u'(x)=2 → f '(x)=2 e^2x
u(x)=–x, u'(x)=–1 → g'(x)=–1 e^–x
u(x)=3x+1, u'(x)=3 → h'(x)=5×3 e^3x+1 = 15 e^3x+1

Exercice 3 – Vrai ou Faux ?
Écris « Vrai » ou « Faux » dans chaque case .

Pour tout x, e^x > 0.
L'équation e^x = 0 possède une solution.
La dérivée de e^5x est 5 e^5x.
e² × e³ = e⁶.

Corrigé

Corrigé :

Vrai : l'exponentielle est strictement positive.
Faux : e^x ne s'annule jamais.
Vrai : (e^5x)' = 5 e^5x.
Faux : e² e³ = e⁵ (on ajoute les exposants).

Ah oui, ces règles sur l'exponentielle, tu les as déjà croisées ! On reprend tout calmement, avec des méthodes pas-à-pas pour simplifier, dériver et étudier le signe. Après ça, plus aucune hésitation.

Méthode – Simplifier une expression avec des exponentielles

Objectif : écrire l'expression sous la forme e^{quelque chose}.

Repérer les produits : e^a·e^b = e^a+b.
Repérer les quotients : e^a/e^b = e^a–b.
Repérer les puissances : (e^a)ⁿ = e^n×a.
Utiliser l'inverse : e^–a = 1/e^a.

Méthode – Dériver une fonction contenant e<sup>u(x)</sup>

Formule clé : (e^u)' = u' e^u.

Identifie la fonction u à l'intérieur de l'exponentielle.
Calcule sa dérivée u'.
Écris : f '(x) = u'(x) e^u(x).
Si un coefficient est devant, garde-le. Si c'est un produit avec une autre fonction, utilise la formule du produit.

Méthode – Déterminer le signe d'une expression avec e<sup>x</sup>

Comme e^x > 0 pour tout réel x, le signe d'une expression du type P(x) × e^x est celui du polynôme P(x). Il suffit donc d'étudier le signe de P.

À toi de jouer

Exercice 1 – Simplifications dirigées
Complète chaque ligne pour obtenir une seule puissance de e.

e⁴ · e^–1 = e^4+(–1) = e
\dfrac{e⁶}{e⁴} = e^6–4 = e
(e²)^–3 = e^2×(–3) = e
e^–5 · e² = e
(e²)⁴ = e

Corrigé

Corrigé :
a) e³
b) e²
c) e^–6
d) e^–3
e) e⁸

Exercice 2 – Dérivation pas à pas
Complète les étapes.

f(x) = e^5x
u(x) = 5x, u'(x) =
f '(x) = · e^5x
g(x) = e^–2x+1
u(x) = –2x+1, u'(x) =
g'(x) = · e^–2x+1
h(x) = 2e^{x^2}
u(x) = x², u'(x) =
h'(x) = 2 × · e^{x^2}

Corrigé

Corrigé :
a) u' = 5, f '(x)=5 e^5x
b) u' = –2, g'(x)= –2 e^–2x+1
c) u' = 2x, h'(x)=2×2x e^{x^2} = 4x e^{x^2}

Exercice 3 – Signe d'un produit avec e^x
On donne A(x) = (3x – 6) e^x.
Complète :
Pour tout x, e^x est (positif / négatif).
Donc le signe de A(x) est celui de .
Résolvons 3x – 6 = 0 : x = .
Ainsi A(x) est négatif pour x et positif pour x .

Corrigé

Corrigé : e^x est strictement positif ; le signe de A(x) est celui de 3x–6.
3x–6=0 ⇔ x=2.
A(x) ≤ 0 pour x ≤ 2, A(x) ≥ 0 pour x ≥ 2.

C'est l'heure de l'entraînement intensif. Voici cinq mini-exercices de simplification, tous construits sur le même modèle. Tu vas les enchaîner pour que la mécanique devienne un réflexe. Allez, on s'échauffe !

À toi de jouer

Simplifie en une seule puissance de e : e² × e⁵ = e

Corrigé

e⁷

Simplifie : \dfrac{e⁸}{e³} = e

Corrigé

e⁵

Simplifie : e^–4 × e⁶ = e

Corrigé

e²

Simplifie : (e²)⁴ = e

Corrigé

e⁸

Simplifie : e^–3 × e^–2 = e

Corrigé

e^–5

Tu as les bases bien en main ? Alors on passe aux choses sérieuses : des exercices de contrôle, sans aide, pour vérifier que tu maîtrises tout. Respire, tu es prêt.

À toi de jouer

1. Simplifications
Écris chaque expression sous la forme e^k où k est un nombre réel.
a) A = e⁴ × e^–2
b) B = \dfrac{e⁷}{e³}
c) C = (e³)^–2

Corrigé

a) A = e^4–2 = e²
b) B = e^7–3 = e⁴
c) C = e^3×(–2) = e^–6

2. Dérivées
Calcule la dérivée de chaque fonction et factorise si possible.
a) f(x) = e^3x–2
b) g(x) = 4 e^{–x^2}
c) h(x) = (x – 1) e^x

Corrigé

a) u=3x–2, u'=3 ⇒ f '(x)=3 e^3x–2.
b) u=–x², u'=–2x ⇒ g'(x)=4(–2x) e^{–x^2} = –8x e^{–x^2}.
c) Produit : h'(x) = 1·e^x + (x–1)·e^x = e^x(1 + x – 1) = x e^x.

3. Équations et inéquations
Résous dans ℝ les équations / inéquations suivantes.
a) e^2x = e⁵
b) e^x–3 = e^2x+1
c) e^x ≤ 1

Corrigé

a) Par injectivité de exp : 2x = 5 donc x = 2,5.
b) x – 3 = 2x + 1 ⇒ –x = 4 ⇒ x = –4.
c) 1 = e⁰ ; exp est strictement croissante, donc e^x ≤ e⁰ ⇔ x ≤ 0.

4. Étude complète d'une fonction
Soit f(x) = (x – 2) e^x définie sur ℝ.
a) Calcule f '(x) et factorise.
b) Étudie le signe de f '(x) sur ℝ.
c) Dresse le tableau de variations de f.
d) Détermine les limites en +∞ et en –∞.
e) Résous f(x) = 0 et interprète.

Corrigé

a) f '(x) = 1·e^x + (x–2)e^x = (x–1)e^x.
b) e^x > 0, donc signe de f ' est celui de (x–1) : f '(x) < 0 sur ]–∞ ; 1[, f '(1)=0, f '(x) > 0 sur ]1 ; +∞[.
c) Tableau :
x : –∞ … 1 … +∞
f '(x) : – 0 +
f(x) : décroît, minimum f(1)= –e, puis croît.
d) En +∞ : (x–2) → +∞ et e^x → +∞ ⇒ f(x) → +∞.
En –∞ : par croissance comparée, (x–2)e^x → 0 (car e^x l'emporte).
e) f(x) = 0 ⇔ (x–2)e^x = 0 ⇔ x–2 = 0 (car e^x ≠ 0) ⇒ x = 2. La courbe coupe l'axe des abscisses en (2 ; 0).

5. Modélisation – Croissance de bactéries
Un biologiste modélise la taille d'une colonie par N(t) = 300 e^{0,05 t}, où t est le temps en heures (t ≥ 0).
a) Calcule N(0) et interprète.
b) Donne la valeur exacte de N(10) puis une valeur approchée à l'unité près (on prendra e^0,5 ≈ 1,6487).
c) Calcule N'(t). Que déduis-tu sur l'évolution de la colonie ?
d) À quel instant t₀ a-t-on N(t₀) = 300 e² ? Justifie sans calculatrice.

Corrigé

a) N(0) = 300 e⁰ = 300. Il y a 300 bactéries à l'instant initial.
b) N(10) = 300 e^0,05×10 = 300 e^0,5. Valeur approchée : 300 × 1,6487 = 494,61 → 495 bactéries.
c) N'(t) = 300 × 0,05 e^{0,05 t} = 15 e^{0,05 t}. N'(t) > 0 donc la colonie croît constamment.
d) 300 e^{0,05 t₀} = 300 e² ⇒ e^{0,05 t₀} = e² ⇒ 0,05 t₀ = 2 ⇒ t₀ = 2 / 0,05 = 40 heures.

Bravo ! Tu es fin prêt pour le contrôle. Maintenant, on pousse un peu le raisonnement pour entrevoir ce qui t'attend l'an prochain. Si tu réussis ces exercices, tu as une sérieuse longueur d'avance.

À toi de jouer

1. Équation mêlant exponentielle et second degré
On considère l'équation (E) : e^2x – 3 e^x + 2 = 0.
a) Pose X = e^x. Montre que (E) devient X² – 3X + 2 = 0.
b) Résous cette équation du second degré.
c) En revenant à e^x, déduis-en les solutions exactes de (E) (pour la plus grande, on admet qu'il existe un unique réel noté ln(2) tel que e^ln(2) = 2 ; tu verras cela en terminale).

Corrigé

a) (e^x)² – 3 e^x + 2 = 0 ⇒ X² – 3X + 2 = 0.
b) Δ = 9 – 8 = 1, deux solutions X₁ = 1, X₂ = 2.
c) e^x = 1 ⇔ x = 0 ; e^x = 2 ⇔ x = ln(2) (unique). Ainsi S = {0 ; ln(2)}.

2. Étude de f(x) = e^{–x^2}
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = e^{–x^2}.
a) Calcule f '(x).
b) Dresse le tableau de variations de f.
c) Détermine les limites de f en +∞ et en –∞. Que peut-on dire de la droite d'équation y = 0 ?
d) En quel point le maximum est-il atteint ? Combien vaut-il ?

Corrigé

a) u = –x², u' = –2x ⇒ f '(x) = –2x e^{–x^2}.
b) e^{–x^2} > 0, signe de f '(x) = signe de –2x. f ' positive sur ]–∞ ; 0], nulle en 0, négative sur [0 ; +∞[. f croît sur ]–∞ ; 0], maximum en 0, décroît sur [0 ; +∞[.
c) En ±∞, –x² → –∞, donc e^{–x^2} → 0. La droite y = 0 est asymptote horizontale des deux côtés.
d) Maximum en x = 0 : f(0) = e⁰ = 1.

3. Problème d'optimisation
On définit g(x) = x e^–x pour x ≥ 0.
a) Calcule g'(x) et factorise.
b) Étudie le signe de g'(x) sur [0 ; +∞[.
c) Dresse le tableau de variations de g.
d) En déduire la valeur maximale de g sur [0 ; +∞[.

Corrigé

a) g'(x) = 1·e^–x + x·(–e^–x) = (1 – x)e^–x.
b) e^–x > 0, donc signe de g'(x) = signe de (1 – x). g'(x) ≥ 0 pour 0 ≤ x ≤ 1 ; g'(x) ≤ 0 pour x ≥ 1.
c) Tableau : x=0, g(0)=0 ; croît jusqu'à x=1, maximum g(1)=1/e ; décroît ensuite vers 0.
d) Maximum atteint en x = 1, valeur g(1) = 1/e.