Fonction exponentielle — Exercices

Du calcul algébrique à l'étude complète, avec un problème de modélisation en clôture.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée pour l'exercice 5 uniquement

1Simplifier des expressions/ 4 pts

Simplifier chaque expression en une seule puissance de $e$.

$e^4 \times e^3$
$\dfrac{e^7}{e^2}$
$e^{-3} \times e^5$
$\left(e^2\right)^4$

2Calculer des dérivées/ 5 pts

Calculer $f'(x)$ pour chaque fonction. Factoriser la réponse quand c'est possible.

$f(x) = e^{4x}$
$f(x) = e^{x^2+1}$
$f(x) = x^2 e^x$
$f(x) = e^{-3x+2}$
$f(x) = (2x-1)e^x$

3Équations et inéquations/ 4 pts

Résoudre dans $\mathbb{R}$. Justifier en utilisant la bijectivité ou le signe de l'exponentielle.

$e^x = e^5$
$e^{2x-1} = e^{x+3}$
$e^x \gt 1$
$e^{3x} = 1$

4Étude complète de fonction/ 6 pts

Soit $f(x) = (x-2)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.

Calculer $f'(x)$ et la factoriser.
Étudier le signe de $f'(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$.
Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution et la donner.

5Modélisation — croissance bactérienne/ 5 pts

Un biologiste modélise la taille d'une colonie bactérienne par $N(t) = 200 \cdot e^{0{,}1t}$, où $t$ est le temps en heures ($t \ge 0$). On donne $e \approx 2{,}718$.

Calculer $N(0)$. Interpréter.
Calculer la valeur exacte de $N(10)$, puis une valeur approchée à l'unité.
Calculer $N'(t)$. Que peut-on conclure sur l'évolution de la colonie ?
À quelle heure $t_0$ le nombre de bactéries atteint-il $200e^2$ ? Justifier sans calculatrice.

Corrigé détaillé

1Simplifier des expressions

a) $e^4 \times e^3 = e^{4+3} =$ $e^7$

b) $\dfrac{e^7}{e^2} = e^{7-2} =$ $e^5$

c) $e^{-3} \times e^5 = e^{-3+5} =$ $e^2$

d) $\left(e^2\right)^4 = e^{2 \times 4} =$ $e^8$

2Calculer des dérivées

a) $u = 4x,\; u' = 4 \Rightarrow f'(x) =$ $4e^{4x}$

b) $u = x^2+1,\; u' = 2x \Rightarrow f'(x) =$ $2x \cdot e^{x^2+1}$

c) $f'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = (2x + x^2)e^x =$ $x(x+2)e^x$

d) $u = -3x+2,\; u' = -3 \Rightarrow f'(x) =$ $-3e^{-3x+2}$

e) $f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2 + 2x - 1)e^x =$ $(2x+1)e^x$

3Équations et inéquations

a) $\exp \text{ est injective} \Rightarrow e^x = e^5 \Rightarrow x =$ $5$

b) $e^{2x-1} = e^{x+3} \Rightarrow 2x-1 = x+3 \Rightarrow x =$ $4$

c) $1 = e^0 \text{ et } \exp \text{ croissante} \Rightarrow e^x \gt e^0 \Leftrightarrow x \gt$ $0$

d) $1 = e^0 \Rightarrow e^{3x} = e^0 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x =$ $0$

4Étude complète de fonction

a) $f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = (1 + x - 2)e^x =$ $(x-1)e^x$

b) signe $e^x \gt 0 \text{ toujours, donc signe}(f') = \text{signe}(x-1) :\; f' \lt 0 \text{ sur } ]-\infty\,;1[,\; f'(1)=0,\; f' \gt 0 \text{ sur } ]1\,;+\infty[$ $\text{minimum en } x=1 : f(1) = (1-2)e^1 = -e$

c) lim +inf $x \to +\infty : (x-2) \to +\infty \text{ et } e^x \to +\infty \Rightarrow f(x) \to$ $+\infty$

c) lim -inf $x \to -\infty :\; x \cdot e^x \to 0 \text{ et } -2e^x \to 0 \text{ (croissances comparées)} \Rightarrow f(x) \to$ $0$

d) $(x-2)e^x = 0 \Leftrightarrow x-2 = 0 \;(\text{car } e^x \neq 0) \Leftrightarrow x =$ $2$

5Modélisation — croissance bactérienne

a) $N(0) = 200 \cdot e^0 = 200 \cdot 1 =$ $200 \text{ bactéries (population initiale)}$

b) $N(10) = 200 \cdot e^{0{,}1 \times 10} = 200e^1 = 200e \approx 200 \times 2{,}718 \approx$ $544 \text{ bactéries}$

c) $N'(t) = 200 \times 0{,}1 \cdot e^{0{,}1t} = 20e^{0{,}1t}.\; e^{0{,}1t} \gt 0 \Rightarrow N'(t) \gt 0 :$ $\text{la colonie est en croissance stricte pour tout } t \ge 0$

d) $200e^{0{,}1t_0} = 200e^2 \Rightarrow e^{0{,}1t_0} = e^2 \Rightarrow 0{,}1\,t_0 = 2 \Rightarrow t_0 =$ $20 \text{ heures}$