Pas de panique ! Même si tu découvres la loi binomiale aujourd'hui, on va la dompter ensemble. On part des bases : probabilités, épreuves indépendantes, et on construit pas à pas. Objectif : être capable de reconnaître une situation de loi binomiale et de calculer des premières probabilités. Accroche-toi, c'est parti !
Les prérequis indispensables
Pour aborder la loi binomiale, tu dois maîtriser :
- Calculer une probabilité simple : $P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ quand les issues sont équiprobables.
- Comprendre l'indépendance : deux épreuves sont indépendantes si le résultat de l'une n'influence pas le résultat de l'autre. Exemple : lancer un dé plusieurs fois.
- Construire et lire un arbre pondéré pour visualiser les répétitions.
Épreuve et schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire ayant exactement deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1-p$), avec $0Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ consiste à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, de façon indépendante.
Exemple : lancer 4 fois un dé équilibré, succès = « obtenir un 6 ». Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=1/6$, les 4 lancers forment un schéma de Bernoulli $n=4$, $p=1/6$.
Variable aléatoire et loi binomiale
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès dans les $n$ épreuves. On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et on écrit $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.
La probabilité d'obtenir exactement $k$ succès ($k$ entre 0 et $n$) est :
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$$
- $\binom{n}{k}$ est le coefficient binomial, « $k$ parmi $n$ » : nombre de façons de choisir les $k$ positions des succès. On le calcule avec la touche nCr de la calculatrice ou par $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
- $p^{k}$ : probabilité que les $k$ succès se réalisent.
- $(1-p)^{n-k}$ : probabilité que les $n-k$ échecs se réalisent.
Espérance : $E(X) = n p$, c'est le nombre moyen de succès attendu.
À toi de jouer
1. Pour chaque situation, indique si la variable $X$ comptant le nombre de succès suit une loi binomiale. Si oui, précise $n$ et $p$ en complétant les trous.
- On tire avec remise 6 boules d'une urne contenant 4 boules rouges et 6 bleues. $X$ = nombre de boules rouges. Loi binomiale ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; si oui, $n = \underline{\hspace{1.1em}}$, $p = \underline{\hspace{1.1em}}$.
- On tire sans remise 5 cartes d'un jeu de 52. $X$ = nombre d'as. Loi binomiale ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; si oui, $n = \underline{\hspace{1.1em}}$, $p = \underline{\hspace{1.1em}}$.
- On lance 8 fois une pièce truquée (Pile avec prob. $0{,}3$). $X$ = nombre de Pile. Loi binomiale ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; si oui, $n = \underline{\hspace{1.1em}}$, $p = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Oui (tirage avec remise donc indépendant). Succès : rouge, $p=4/10=0{,}4$, $n=6$. $X\sim\mathcal{B}(6;0{,}4)$.
b) Non : tirage sans remise, les épreuves ne sont pas indépendantes.
c) Oui : lancers indépendants, $n=8$, $p=0{,}3$. $X\sim\mathcal{B}(8;0{,}3)$.
2. On lance 4 fois un dé équilibré. Succès = « obtenir un 6 ». $X$ = nombre de succès.
$X$ suit une loi binomiale : $X \sim \mathcal{B}(n=\underline{\hspace{1.1em}},\ p=\underline{\hspace{1.1em}})$.
Calcule $P(X=2)$ en complétant :
$\binom{4}{2}=\underline{\hspace{1.1em}}$
$P(X=2) = \binom{4}{2} \times (p)^{2} \times (1-p)^{4-2} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}\right)^2 \times \left(\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}\right)^\underline{\hspace{1.1em}}$
$P(X=2) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir au millième).
Corrigé
$n=4$, $p=1/6$. $\binom{4}{2}=6$. $P(X=2) = 6 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{36} \times \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \approx 0{,}116$.
3. Même expérience : 4 lancers, succès = 6, $p=1/6$. Complète pour $P(X=0)$ et $P(X=4)$.
$P(X=0)$ (aucun 6) : $\binom{4}{0}=\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $P(X=0) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{1}{6}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{5}{6}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au millième).
$P(X=4)$ (que des 6) : $\binom{4}{4}=\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $P(X=4) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{1}{6}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{5}{6}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} = \left(\frac{1}{6}\right)^4 = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondi au millième).
Que remarques-tu ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (somme des probas ?).
Corrigé
$P(X=0) = 1 \times (1/6)^0 \times (5/6)^4 = (5/6)^4 ≈ 0{,}482$. $P(X=4) = 1 \times (1/6)^4 \times (5/6)^0 = (1/6)^4 ≈ 0{,}001$. Les valeurs extrêmes sont déséquilibrées : avoir aucun 6 est assez probable, en avoir 4 est très rare.
Tu as déjà une première idée : une loi binomiale, c'est compter des succès dans une répétition. Maintenant, on remet tout au propre avec une méthode infaillible pour ne plus jamais se tromper. C'est reparti pour une deuxième couche de cours et des exercices bien calibrés.
Rappel structuré : loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$
Définition : $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ si elle compte le nombre de succès lors de la répétition indépendante de $n$ épreuves de Bernoulli identiques, de paramètre $p$.
Formule : pour tout $k\in\{0,1,\dots,n\}$, $$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$ Espérance : $E(X)=np$.
Erreurs à éviter :
- Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{k}$.
- Inverser $p^k$ et $(1-p)^{n-k}$ (le $p$ est pour les succès).
- Appliquer la loi binomiale sans remise (tirage exhaustif).
- Confondre $E(X)=np$ avec une probabilité.
Méthode pas à pas
- Vérifier que l'expérience est un schéma de Bernoulli : épreuves identiques et indépendantes à deux issues.
- Définir le succès et sa probabilité $p$.
- Repérer $n$ le nombre d'épreuves.
- Écrire $X\sim\mathcal{B}(n,p)$.
- Pour calculer $P(X=k)$, appliquer la formule. Utiliser la calculatrice pour $\binom{n}{k}$ et les puissances.
- Pour $P(X\ge 1)$, penser à $1-P(X=0)=1-(1-p)^n$.
À toi de jouer
1. Un QCM comporte 5 questions indépendantes, chacune proposant 3 réponses possibles, une seule étant correcte. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.
- Justifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
Complète : Les 5 questions sont indépendantes et identiques (même probabilité). Succès = bonne réponse, $p= \underline{\hspace{1.1em}}$, $n=\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $X\sim\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
- Calcule $P(X=0)$.
$P(X=0) = \binom{5}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \left(\frac{1}{3}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3}\right)^5 = \left(\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3}\right)^5 = \underline{\hspace{1.1em}}$ (fraction simplifiée, puis arrondir à $10^{-3}$).
- Calcule $P(X=2)$.
$\binom{5}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $P(X=2) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{1}{3}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} \times \left(\frac{2}{3}\right)^\underline{\hspace{1.1em}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Succès : bonne réponse, $p=1/3$, $n=5$, $X\sim\mathcal{B}(5, 1/3)$.
b) $P(X=0)=\binom{5}{0}(1/3)^0(2/3)^5 = 1\times 1 \times (32/243) = 32/243 \approx 0{,}132$.
c) $\binom{5}{2}=10$ ; $P(X=2)=10\times(1/3)^2 \times (2/3)^3 = 10\times(1/9)\times(8/27) = 80/243 \approx 0{,}329$.
2. Dans un lycée, 25% des élèves portent des lunettes. On interroge 10 élèves choisis au hasard et indépendamment. Soit $X$ le nombre d'élèves portant des lunettes dans l'échantillon.
- Complète la loi de $X$ : $X\sim\mathcal{B}(\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}})$.
- Calcule $P(X=3)$ :
$\binom{10}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; $P(X=3) = \underline{\hspace{1.1em}} \times (0{,}25)^\underline{\hspace{1.1em}} \times (0{,}75)^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondir à $10^{-3}$).
- Calcule la probabilité qu'au moins un élève porte des lunettes : $P(X\ge 1) = 1 - P(X= \underline{\hspace{1.1em}}) = 1 - \underline{\hspace{1.1em}}^{10} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $X\sim\mathcal{B}(10; 0{,}25)$.
b) $\binom{10}{3}=120$ ; $P(X=3)=120\times 0{,}25^3 \times 0{,}75^7 = 120\times 0{,}015625 \times 0{,}133483 \approx 0{,}250$.
c) $P(X\ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - 0{,}75^{10} \approx 1 - 0{,}0563 = 0{,}9437$ (arrondi à $0{,}944$).
3. Un archer atteint le centre de la cible 8 fois sur 10 en moyenne. Il effectue une série de 6 tirs. On suppose les tirs indépendants. Soit $X$ le nombre de tirs au centre.
- Justifie la loi de $X$ et donne ses paramètres.
- Calcule la probabilité qu'il atteigne le centre exactement 5 fois.
Corrigé
a) Un tir = épreuve de Bernoulli : succès = « atteindre le centre », $p=0{,}8$ ; 6 tirs indépendants de même probabilité. Donc $X\sim\mathcal{B}(6; 0{,}8)$.
b) $P(X=5) = \binom{6}{5} \times 0{,}8^5 \times 0{,}2^1 = 6 \times 0{,}32768 \times 0{,}2 = 6 \times 0{,}065536 = 0{,}393216$. Arrondi à $0{,}393$.
Tu maîtrises la formule ? Parfait ! Fais tourner la mécanique sans te poser de questions. Cinq exos identiques en surface, mais bourrés de bonnes habitudes. Prêt pour le drill ?
À toi de jouer
1. Soit $X \sim \mathcal{B}(6 ; 0{,}4)$. Calcule $P(X=0)$.
$P(X=0) = \binom{6}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times 0{,}4^\underline{\hspace{1.1em}} \times 0{,}6^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondis à $10^{-3}$).
Corrigé
$P(X=0) = \binom{6}{0} \times 0{,}4^{0} \times 0{,}6^{6} = 1 \times 1 \times 0{,}046656 \approx 0{,}047$ (arrondi à $10^{-3}$).
2. Soit $X \sim \mathcal{B}(6 ; 0{,}4)$. Calcule $P(X=1)$.
$P(X=1) = \binom{6}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times 0{,}4^\underline{\hspace{1.1em}} \times 0{,}6^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondis à $10^{-3}$).
Corrigé
$\binom{6}{1}=6$, $P(X=1) = 6 \times 0{,}4^{1} \times 0{,}6^{5} = 6 \times 0{,}4 \times 0{,}07776 = 0{,}186624 \approx 0{,}187$.
3. Soit $X \sim \mathcal{B}(6 ; 0{,}4)$. Calcule $P(X=2)$.
$P(X=2) = \binom{6}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times 0{,}4^\underline{\hspace{1.1em}} \times 0{,}6^\underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (arrondis à $10^{-3}$).
Corrigé
$\binom{6}{2}=15$, $P(X=2) = 15 \times 0{,}4^{2} \times 0{,}6^{4} = 15 \times 0{,}16 \times 0{,}1296 = 0{,}31104 \approx 0{,}311$.
4. Soit $X \sim \mathcal{B}(6 ; 0{,}4)$. Calcule $P(X=3)$ (arrondis à $10^{-3}$).
Corrigé
$\binom{6}{3}=20$, $P(X=3) = 20 \times 0{,}4^{3} \times 0{,}6^{3} = 20 \times 0{,}064 \times 0{,}216 = 0{,}27648 \approx 0{,}276$.
5. Soit $X \sim \mathcal{B}(6 ; 0{,}4)$. Calcule $P(X=4)$ (arrondis à $10^{-3}$).
Corrigé
$\binom{6}{4}=15$, $P(X=4) = 15 \times 0{,}4^{4} \times 0{,}6^{2} = 15 \times 0{,}0256 \times 0{,}36 = 0{,}13824 \approx 0{,}138$.
C'est l'heure du grand test ! Tu vas affronter des problèmes comme en devoir surveillé. Prends ton temps, rédige clairement, n'oublie pas les arrondis et les interprétations. Montre que tu as tout compris !
À toi de jouer
1. Pour chaque situation ci-dessous, dire si la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit une loi binomiale. Si oui, préciser $n$ et $p$.
- On tire au sort, sans remise, 6 jetons d'un sac contenant 5 jetons gagnants et 15 jetons perdants. $X$ = nombre de jetons gagnants.
- On lance 12 fois une pièce équilibrée. $X$ = nombre de Face.
- Un élève répond au hasard à un QCM de 10 questions avec 5 choix chacune. $X$ = nombre de bonnes réponses.
Corrigé
a) Il n'y a pas remise, donc les tirages ne sont pas indépendants : $X$ ne suit pas une loi binomiale.
b) 12 lancers indépendants, succès = Face, $p=0{,}5$, donc $X\sim\mathcal{B}(12; 0{,}5)$.
c) Questions indépendantes, $p=1/5=0{,}2$, $n=10$, $X\sim\mathcal{B}(10; 0{,}2)$.
2. Un QCM comporte 8 questions indépendantes, avec 5 propositions chacune. Un élève répond au hasard. Soit $X$ le nombre de bonnes réponses.
- Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
- Calculer $P(X=0)$ (arrondir à $10^{-3}$).
- Calculer $P(X=2)$ (arrondir à $10^{-3}$).
- En déduire la probabilité qu'il ait au moins une bonne réponse.
Corrigé
a) 8 épreuves indépendantes, succès = bonne réponse, $p=1/5=0{,}2$, $n=8$, donc $X\sim\mathcal{B}(8; 0{,}2)$.
b) $P(X=0) = \binom{8}{0} \times 0{,}2^0 \times 0{,}8^8 = 0{,}8^8 \approx 0{,}168$.
c) $P(X=2) = \binom{8}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^6 = 28 \times 0{,}04 \times 0{,}262144 = 28 \times 0{,}01048576 \approx 0{,}294$.
d) $P(X\ge 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}168 = 0{,}832$.
3. Dans un lycée, 40% des élèves jouent d'un instrument. On interroge 15 élèves indépendamment. Soit $X$ le nombre de musiciens dans cet échantillon.
- Donner la loi de $X$.
- Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter.
- Calculer $P(X=5)$ (arrondir à $10^{-3}$).
Corrigé
a) $X\sim\mathcal{B}(15; 0{,}4)$.
b) $E(X)=15\times 0{,}4 = 6$. En moyenne, sur un grand nombre de tels échantillons, on trouve 6 élèves jouant d'un instrument.
c) $P(X=5) = \binom{15}{5} \times 0{,}4^5 \times 0{,}6^{10} = 3003 \times 0{,}01024 \times 0{,}0060466176 \approx 3003 \times 0{,}0000619 \approx 0{,}186$.
4. Une usine produit des composants avec un taux de défectueux de 3%. On prélève un lot de 25 composants. On note $X$ le nombre de défectueux.
- Quelle loi suit $X$ ?
- Calculer $P(X=0)$ (arrondir à $10^{-4}$).
- En déduire la probabilité qu'il y ait au moins un défectueux. Que représente cet événement ?
Corrigé
a) On répète $25$ fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le composant est défectueux » de probabilité $p = 0{,}03$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.
Ainsi, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 25$ et $p = 0{,}03$, ce que l'on note $X \sim \mathcal{B}(25 ; 0{,}03)$.
b) On cherche à calculer la probabilité d'obtenir $0$ composant défectueux :
$P(X=0) = \binom{25}{0} \times 0{,}03^0 \times (1-0{,}03)^{25} = 0{,}97^{25}$
En arrondissant à $10^{-4}$ près, la calculatrice te donne :
$P(X=0) \approx 0{,}4670$.
c) L'événement « obtenir au moins un composant défectueux » (noté $X \ge 1$) est l'événement contraire de « n'obtenir aucun composant défectueux » (noté $X=0$).
On calcule sa probabilité ainsi :
$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) \approx 1 - 0{,}4670 = 0{,}5330$.
Cet événement représente le fait d'avoir au moins un composant présentant un défaut dans ton lot de $25$ composants.
5. Un basketteur réussit ses lancers francs avec une probabilité de 0,9. Lors d'un entraînement, il effectue 10 lancers. Soit $X$ le nombre de lancers réussis.
- Donner la loi de $X$.
- Calculer $P(X=10)$.
- Calculer $P(X=9)$.
- En déduire $P(X\ge 9)$ et interpréter.
- Calculer $E(X)$. Quel est le nombre moyen de réussites attendu ?
Corrigé
a) $X\sim\mathcal{B}(10; 0{,}9)$.
b) $P(X=10)=0{,}9^{10}\approx 0{,}3487$.
c) $P(X=9)=\binom{10}{9}\times 0{,}9^9 \times 0{,}1^1 = 10\times 0{,}9^9 \times 0{,}1 \approx 0{,}3874$.
d) $P(X\ge 9)=P(X=9)+P(X=10)\approx 0{,}7361$. Il a environ 73,6% de chances de réussir au moins 9 lancers.
e) $E(X)=10\times 0{,}9 = 9$. En moyenne, il réussit 9 lancers sur 10.
Envie d'aller plus loin ? Voici des problèmes qui te préparent à la terminale. Tu vas manipuler la loi binomiale pour chercher des tailles d'échantillon, combiner des épreuves, et même ébaucher un test statistique. Prêt à repousser tes limites ?
À toi de jouer
1. Un institut de sondage interroge des personnes au hasard sur un sujet pour lequel 30% de la population est favorable. On note $n$ le nombre de personnes interrogées et $X$ le nombre de réponses favorables.
- Quelle est la loi de $X$ ?
- Exprimer $P(X\ge 1)$ en fonction de $n$.
- Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d'obtenir au moins une réponse favorable dépasse 99%.
Corrigé
a) Les réponses sont indépendantes, $p=0{,}3$, donc $X\sim\mathcal{B}(n; 0{,}3)$.
b) $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0{,}7^n$.
c) On cherche $n$ tel que $1-0{,}7^n > 0{,}99$, soit $0{,}7^n < 0{,}01$. Par essais : $0{,}7^{10}\approx 0{,}0282$, $0{,}7^{11}\approx 0{,}0198$, $0{,}7^{12}\approx 0{,}0138$, $0{,}7^{13}\approx 0{,}0097 < 0{,}01$. Donc $n=13$ est le plus petit. Il faut interroger au moins 13 personnes.
2. Arthur lance 4 fois une pièce truquée donnant Pile avec probabilité 0,6. Béatrice lance 5 fois la même pièce. Les lancers sont indépendants. On note $X$ le nombre de Pile d'Arthur, $Y$ celui de Béatrice, et $Z=X+Y$.
- Quelles lois suivent $X$ et $Y$ ?
- Peut-on considérer que $Z$ est le nombre de Pile en 9 lancers ? Pourquoi ?
- En déduire la loi de $Z$.
- Calculer $P(Z=5)$.
Corrigé
a) $X\sim\mathcal{B}(4; 0{,}6)$, $Y\sim\mathcal{B}(5; 0{,}6)$.
b) Oui, car tous les lancers sont indépendants et identiques (même pièce). Donc $Z$ est le nombre total de Pile en 9 lancers.
c) $Z\sim\mathcal{B}(9; 0{,}6)$.
d) $P(Z=5)=\binom{9}{5}\times 0{,}6^5 \times 0{,}4^4 = 126 \times 0{,}07776 \times 0{,}0256 = 126 \times 0{,}001990656 \approx 0{,}251$.
3. Un laboratoire affirme qu'un médicament a un taux de guérison de 80%. Un médecin teste ce médicament sur 20 patients et observe 13 guérisons. Cela remet-il en cause l'affirmation ? On suppose que chaque patient guérit indépendamment avec probabilité 0,8. Soit $X$ le nombre de guérisons parmi 20.
- Quelle loi suit $X$ si le laboratoire a raison ?
- Calculer $P(X\le 13)$.
- Si la probabilité d'obtenir un résultat aussi bas que 13 guérisons (ou pire) est inférieure à 5%, on peut douter de l'affirmation. Que décider ?
Corrigé
a) Si le laboratoire a raison, la guérison de chaque patient est un succès de probabilité $p = 0{,}8$. Comme le médecin teste le médicament sur $n = 20$ patients de manière indépendante, la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 20$ et $p = 0{,}8$. On note : $X \sim \mathcal{B}(20 ; 0{,}8)$.
b) Pour calculer $P(X \le 13)$, tu peux utiliser la fonction de répartition de ta calculatrice. On obtient :
$P(X \le 13) \approx 0{,}087$ (arrondi à $10^{-3}$).
c) On compare la probabilité obtenue au seuil de $5\%$ :
Comme $0{,}087 \ge 0{,}05$, la probabilité d'obtenir un résultat de 13 guérisons ou moins n'est pas inférieure à $5\%$. Par conséquent, on ne peut pas rejeter l'affirmation du laboratoire. Les 13 guérisons observées ne permettent pas de remettre en cause le taux de guérison de $80\%$.