V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reProbabilites et statistiquesExercices + corrigé

Loi binomiale — Exercices

Identifier, calculer, interpréter. Corrigé détaillé en fin de document.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Identifier une loi binomiale/ 3 pts
Pour chaque situation, dire si $X$ suit une loi binomiale. Si oui, préciser les paramètres $n$ et $p$.
  1. On tire avec remise 7 boules d'une urne contenant 3 boules rouges et 5 boules bleues. $X$ = nombre de boules rouges tirées.
  2. On tire sans remise 4 cartes d'un jeu de 52. $X$ = nombre d'as obtenus.
  3. On lance 10 fois une pièce truquée donnant Pile avec probabilité $0{,}4$. $X$ = nombre de Pile.
2Calcul de probabilités — QCM/ 4 pts
Un QCM comporte 6 questions indépendantes, chacune proposant 4 réponses dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses.
  1. Justifier que $X \sim \mathcal{B}\!\left(6,\,\dfrac{1}{4}\right)$.
  2. Calculer $P(X = 0)$. Arrondir à $10^{-3}$.
  3. Calculer $P(X = 2)$. Arrondir à $10^{-3}$.
  4. Calculer $P(X \ge 1)$ à l'aide du complémentaire. Arrondir à $10^{-3}$.
3Espérance — Instruments de musique/ 3 pts
Dans un lycée, 30 % des élèves pratiquent un instrument de musique. On interroge 20 élèves choisis indépendamment au hasard. On note $X$ le nombre d'élèves pratiquant un instrument dans cet échantillon.
  1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres.
  2. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat dans le contexte.
  3. Calculer $P(X = 6)$. Arrondir à $10^{-3}$.
4Événement complémentaire — Contrôle qualité/ 3 pts
Une machine produit des pièces dont 8 % sont défectueuses. On prélève indépendamment un lot de 10 pièces. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses du lot.
  1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres.
  2. Calculer $P(X = 0)$. Arrondir à $10^{-4}$.
  3. En déduire $P(X \ge 1)$. Que représente cet événement dans le contexte ?
5Problème — Lancers francs/ 5 pts
Un joueur de basket réussit ses lancers francs avec une probabilité de $\dfrac{3}{4}$. Il effectue 4 lancers lors d'un match. On note $X$ le nombre de lancers réussis.
  1. Donner la loi de $X$ et ses paramètres.
  2. Calculer $P(X = 4)$. Donner le résultat sous forme de fraction.
  3. Calculer $P(X = 3)$. Donner le résultat sous forme de fraction.
  4. En déduire $P(X \ge 3)$. Interpréter ce résultat.
  5. Calculer $E(X)$ et interpréter.
Corrigé détaillé
1Identifier une loi binomiale
a) \(\text{Tirage avec remise : 7 épreuves indépendantes, succès = boule rouge, } p = \dfrac{3}{8},\; n = 7.\) \(X \sim \mathcal{B}\!\left(7,\,\dfrac{3}{8}\right)\)
b) \(\text{Tirage sans remise : la composition de l'urne change à chaque tirage, les épreuves ne sont pas indépendantes.}\) \(X \text{ ne suit pas une loi binomiale.}\)
c) \(\text{10 lancers indépendants, succès = Pile, } p = 0{,}4,\; n = 10.\) \(X \sim \mathcal{B}(10,\;0{,}4)\)
2Calcul de probabilités — QCM
a) \(\text{6 questions indépendantes, succès = bonne réponse, probabilité } p = \dfrac{1}{4},\; n = 6.\) \(X \sim \mathcal{B}\!\left(6,\,\dfrac{1}{4}\right)\)
b) \(P(X = 0) = \dbinom{6}{0}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{6} = 1 \times 1 \times \dfrac{729}{4096}\) \(P(X = 0) \approx 0{,}178\)
c) \(P(X = 2) = \dbinom{6}{2}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{4} = 15 \times \dfrac{1}{16} \times \dfrac{81}{256} = \dfrac{1215}{4096}\) \(P(X = 2) \approx 0{,}297\)
d) \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \dfrac{729}{4096} = \dfrac{3367}{4096}\) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}822\)
3Espérance — Instruments de musique
a) \(n = 20,\; p = 0{,}3,\; \text{interrogations indépendantes.}\) \(X \sim \mathcal{B}(20,\;0{,}3)\)
b) \(E(X) = 20 \times 0{,}3 = 6.\) \(\text{En moyenne, 6 élèves sur 20 pratiquent un instrument.}\)
c) \(P(X = 6) = \dbinom{20}{6}(0{,}3)^{6}(0{,}7)^{14} = 38760 \times (0{,}3)^{6} \times (0{,}7)^{14}\) \(P(X = 6) \approx 0{,}192\)
4Événement complémentaire — Contrôle qualité
a) \(n = 10,\; p = 0{,}08,\; \text{prélèvements indépendants.}\) \(X \sim \mathcal{B}(10,\;0{,}08)\)
b) \(P(X = 0) = \dbinom{10}{0}(0{,}08)^{0}(0{,}92)^{10} = (0{,}92)^{10}\) \(P(X = 0) \approx 0{,}4344\)
c) \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}4344\) \(P(X \ge 1) \approx 0{,}5656\text{ : probabilité qu'au moins une pièce du lot soit défectueuse.}\)
5Problème — Lancers francs
a) \(n = 4,\; p = \dfrac{3}{4},\; \text{lancers indépendants.}\) \(X \sim \mathcal{B}\!\left(4,\,\dfrac{3}{4}\right)\)
b) \(P(X = 4) = \dbinom{4}{4}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{4}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{0} = 1 \times \dfrac{81}{256} \times 1\) \(P(X = 4) = \dfrac{81}{256}\)
c) \(P(X = 3) = \dbinom{4}{3}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1} = 4 \times \dfrac{27}{64} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 \times 27}{256} = \dfrac{108}{256}\) \(P(X = 3) = \dfrac{108}{256} = \dfrac{27}{64}\)
d) \(P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = \dfrac{108}{256} + \dfrac{81}{256} = \dfrac{189}{256}\) \(P(X \ge 3) = \dfrac{189}{256} \approx 0{,}738\text{ : le joueur réussit au moins 3 lancers sur 4 dans près de 3 cas sur 4.}\)
e) \(E(X) = 4 \times \dfrac{3}{4} = 3.\) \(\text{En moyenne, le joueur réussit 3 lancers francs sur 4.}\)