Alors, tu n'as jamais parlé de dérivation ? Pas de panique, on va y aller doucement et tu vas voir, ce n'est pas sorcier. Imagine que tu suis une voiture : sa vitesse moyenne sur un trajet, c'est la distance parcourue divisée par le temps. Mais ce qui est plus intéressant, c'est la vitesse à un instant précis, affichée sur le compteur ! Le nombre dérivé, c'est exactement ça pour une fonction : la vitesse instantanée de variation. On va se concentrer sur l'essentiel pour que tu puisses aborder sereinement ton contrôle.
Pour une fonction $f$ donnée, le taux de variation (ou taux d'accroissement) entre deux points d'abscisses $a$ et $a+h$ ($h
eq 0$) est défini par :
$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
Géométriquement, c'est le coefficient directeur (la pente) de la droite qui passe par les points de la courbe d'abscisses $a$ et $a+h$. On l'appelle la sécante.
Quand $h$ devient de plus en plus petit (tend vers 0), cette sécante se rapproche de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$, et le taux de variation tend vers une limite, notée $f'(a)$, appelée nombre dérivé de $f$ en $a$.
On écrit : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Soit $f(x)=x^2$. Complète les étapes pour calculer le nombre dérivé en $a=2$.
$f(2)= \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(2+h) = (2+h)^2 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$f(2+h)-f(2) = (\underline{\hspace{1.1em}} + 4h + h^2) - 4 = \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = \underline{\hspace{1.1em}} + h$
Quand $h$ tend vers 0, $4+h$ tend vers $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $f'(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$f(2)= 2^2 = 4$
$f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$
$f(2+h)-f(2) = (4 + 4h + h^2) - 4 = 4h + h^2$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h$
Quand $h$ tend vers 0, $4+h$ tend vers $4$.
Donc $f'(2) = 4$.
Pour la fonction $g(x)=3x+2$, on s'intéresse à $a=4$. Complète.
$g(4)= \underline{\hspace{1.1em}}$
$g(4+h)= 3(4+h)+2 = 12 + 3h + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + 3h$
$g(4+h)-g(4) = (14 + 3h) - \underline{\hspace{1.1em}} = 3h$
$\frac{g(4+h)-g(4)}{h} = \frac{3h}{h} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Quelle que soit la valeur de $h$, le taux est constant égal à $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc quand $h$ tend vers 0, la limite est $\underline{\hspace{1.1em}}$ : $g'(4) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$g(4)= 3\times4+2 = 14$
$g(4+h)= 3(4+h)+2 = 12 + 3h + 2 = 14 + 3h$
$g(4+h)-g(4) = (14 + 3h) - 14 = 3h$
$\frac{g(4+h)-g(4)}{h} = \frac{3h}{h} = 3$
Quelle que soit la valeur de $h$, le taux est constant égal à $3$.
Donc quand $h$ tend vers 0, la limite est $3$ : $g'(4) = 3$.
Ah, le nombre dérivé, c'est cette fameuse limite qui donne le coefficient directeur de la tangente... Ça te revient ? On va réactiver tout ça proprement, avec la méthode complète pour le calcul et l'équation de la tangente. Après, tu sauras le faire les doigts dans le nez.
Étape 1 : Calculer $f(a)$.
Étape 2 : Exprimer $f(a+h)$ en développant soigneusement.
Étape 3 : Former la différence $f(a+h)-f(a)$ et factoriser par $h$ pour simplifier le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
Étape 4 : Faire tendre $h$ vers 0 pour obtenir $f'(a)$.
Étape 5 : Écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ : $$y = f'(a)(x-a) + f(a).$$
Retiens bien : le terme $f'(a)$ est la pente de la tangente, et la droite passe par le point $(a, f(a))$.
On considère $f(x)=x^2-2x+3$. On veut $f'(1)$ et l'équation de la tangente en $x=1$.
Étape 1 : $f(1) = 1^2 - 2 \times 1 + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 2 : $f(1+h) = (1+h)^2 - 2(1+h) + 3 = 1 + 2h + h^2 - 2 - 2h + 3$
$= \underline{\hspace{1.1em}} + 0h + h^2$
Étape 3 : $f(1+h)-f(1) = (2+h^2) - \underline{\hspace{1.1em}} = h^2$
d'où $\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{h^2}{h} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 4 : Quand $h \to 0$, $h$ tend vers $\underline{\hspace{1.1em}}$ donc $f'(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 5 : Tangente : $y = f'(1)(x-1) + f(1) = \underline{\hspace{1.1em}} (x-1) + \underline{\hspace{1.1em}}$
soit $y = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 1 : $f(1) = 1 - 2 + 3 = 2$
Étape 2 : $f(1+h) = 1 + 2h + h^2 - 2 - 2h + 3 = 2 + h^2$
Étape 3 : $f(1+h)-f(1) = (2+h^2) - 2 = h^2$, d'où $\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = h$
Étape 4 : $h \to 0$ donne $0$, donc $f'(1) = 0$
Étape 5 : Tangente : $y = 0 \cdot (x-1) + 2 = 2$
Soit $g(x)=3x^2+1$. On souhaite $g'(2)$ et la tangente en $x=2$. Complète.
$g(2) = 3 \times 2^2 + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$g(2+h) = 3(2+h)^2 + 1 = 3(4 + 4h + h^2) + 1 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h + \underline{\hspace{1.1em}} h^2$
$g(2+h)-g(2) = (13 + 12h + 3h^2) - 13 = \underline{\hspace{1.1em}} h + \underline{\hspace{1.1em}} h^2$
$\frac{g(2+h)-g(2)}{h} = \frac{12h + 3h^2}{h} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h$
Limite quand $h \to 0$ : $g'(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Équation de la tangente : $y = \underline{\hspace{1.1em}} (x-\underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
$g(2) = 13$
$g(2+h) = 3(4 + 4h + h^2) + 1 = 12 + 12h + 3h^2 + 1 = 13 + 12h + 3h^2$
$g(2+h)-g(2) = 13 + 12h + 3h^2 - 13 = 12h + 3h^2$
$\frac{g(2+h)-g(2)}{h} = 12 + 3h$
Limite : $g'(2) = 12$
Tangente : $y = 12(x-2) + 13 = 12x - 24 + 13 = 12x - 11$
C'est parti pour un petit entraînement en rafale : cinq fois le même style d'exercice, juste les nombres qui changent. Objectif : que la mécanique devienne automatique. Prends ton temps pour chaque étape, et à la fin, la dérivation n'aura plus de secret pour toi.
Pour $f(x)=x^2$, calcule $f'(3)$ et l'équation de la tangente en $x=3$.
$f(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(3+h) = (3+h)^2 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$f(3+h)-f(3) = \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = \underline{\hspace{1.1em}} + h$
Donc $f'(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Tangente : $y = \underline{\hspace{1.1em}} (x-\underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(3)=9$
$f(3+h)=9+6h+h^2$
$f(3+h)-f(3) = 6h+h^2$
$\frac{f(3+h)-f(3)}{h} = 6+h$
$f'(3)=6$
Tangente : $y=6(x-3)+9=6x-9$
Pour $f(x)=x^2$, calcule $f'(-1)$ et la tangente en $x=-1$.
$f(-1) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(-1+h) = (-1+h)^2 = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$f(-1+h)-f(-1) = -\underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = -\underline{\hspace{1.1em}} + h$
Donc $f'(-1) = -\underline{\hspace{1.1em}}$
Tangente : $y = -\underline{\hspace{1.1em}} (x+1) + \underline{\hspace{1.1em}} = -\underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(-1)=1$
$f(-1+h)=1 -2h + h^2$
$f(-1+h)-f(-1) = -2h+h^2$
$\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = -2+h$
$f'(-1)=-2$
Tangente : $y=-2(x+1)+1=-2x-1$
Pour $f(x)=2x^2$, calcule $f'(1)$ et la tangente en $x=1$.
$f(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(1+h) = 2(1+h)^2 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h + \underline{\hspace{1.1em}} h^2$
$f(1+h)-f(1) = \underline{\hspace{1.1em}} h + \underline{\hspace{1.1em}} h^2$
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h$
Donc $f'(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Tangente : $y = \underline{\hspace{1.1em}} (x-\underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(1)=2$
$f(1+h)=2(1+2h+h^2)=2+4h+2h^2$
$f(1+h)-f(1)=4h+2h^2$
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=4+2h$
$f'(1)=4$
Tangente : $y=4(x-1)+2=4x-2$
Pour $f(x)=x^2+1$, calcule $f'(2)$ et la tangente en $x=2$.
$f(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(2+h) = (2+h)^2+1 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$f(2+h)-f(2) = \underline{\hspace{1.1em}} h + h^2$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \underline{\hspace{1.1em}} + h$
Donc $f'(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Tangente : $y = \underline{\hspace{1.1em}} (x-\underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(2)=4+1=5$
$f(2+h)=4+4h+h^2+1=5+4h+h^2$
$f(2+h)-f(2)=4h+h^2$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=4+h$
$f'(2)=4$
Tangente : $y=4(x-2)+5=4x-3$
Pour $f(x)=x^2-3x$, calcule $f'(0)$ et la tangente en $x=0$.
$f(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$f(0+h) = (0+h)^2 -3(0+h) = h^2 - \underline{\hspace{1.1em}} h$
$f(0+h)-f(0) = h^2 - \underline{\hspace{1.1em}} h$
$\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = h - \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $f'(0) = -\underline{\hspace{1.1em}}$
Tangente : $y = -\underline{\hspace{1.1em}} (x-\underline{\hspace{1.1em}}) + \underline{\hspace{1.1em}} = -\underline{\hspace{1.1em}} x$
$f(0)=0$
$f(0+h)=h^2-3h$
$f(0+h)-f(0)=h^2-3h$
$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=h-3$
$f'(0)=-3$
Tangente : $y=-3(x-0)+0=-3x$
Maintenant qu'on a bien mouliné, place aux exercices type contrôle. Ici, tu vas devoir raisonner, résoudre des problèmes et utiliser la dérivation à bon escient. N'oublie pas : un pas après l'autre, et tu gères.
Soit $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$.
1) Calcule $f(2)$ et $f(2+h)$.
2) Déduis-en le taux de variation entre 2 et 2+h, puis $f'(2)$.
3) Donne l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2.
1) $f(2)=2\times4 -3\times2 +5 = 8-6+5=7$
$f(2+h)=2(2+h)^2 -3(2+h)+5 = 2(4+4h+h^2) -6-3h+5 = 8+8h+2h^2 -6-3h+5 = 7+5h+2h^2$
2) $\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{7+5h+2h^2-7}{h} = \frac{5h+2h^2}{h} = 5+2h$. Quand $h\to0$, on obtient $f'(2)=5$.
3) Tangente : $y = f'(2)(x-2)+f(2) = 5(x-2)+7 = 5x-10+7 = 5x-3$.
Soit $g(x) = x^3$. On rappelle que $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2 h + 3a h^2 + h^3$.
1) Calcule $g(1+h)$ et simplifie le taux de variation $\frac{g(1+h)-g(1)}{h}$.
2) Détermine $g'(1)$.
3) Écris l'équation de la tangente au point d'abscisse 1.
1) $g(1)=1$ ; $g(1+h) = (1+h)^3 = 1+3h+3h^2+h^3$.
$\frac{g(1+h)-g(1)}{h} = \frac{1+3h+3h^2+h^3 - 1}{h} = \frac{3h+3h^2+h^3}{h} = 3+3h+h^2$.
2) $g'(1) = \lim_{h\to0}(3+3h+h^2) = 3$.
3) Tangente : $y = 3(x-1)+1 = 3x-2$.
Soit $h(x) = x^2 + 5x - 2$.
1) Calcule $h(-1)$ et $h'( -1)$ en utilisant la limite du taux de variation.
2) Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse -1.
1) $h(-1)=1-5-2=-6$.
$h(-1+h) = (-1+h)^2 +5(-1+h) -2 = 1 -2h +h^2 -5 +5h -2 = -6 +3h +h^2$.
$\frac{h(-1+h)-h(-1)}{h} = \frac{-6+3h+h^2 +6}{h} = 3+h$, donc $h'(-1)=3$.
2) $y = 3(x+1) -6 = 3x -3$.
On considère la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
1) En adaptant la méthode, détermine l'expression de $f'(a)$ pour un réel $a$ quelconque (tu obtiendras $f'(a) = 2a - 6$).
2) Résous $f'(a) = 0$. En quel point la courbe de $f$ admet-elle une tangente horizontale ? Donne les coordonnées de ce point.
1) $f(a) = a^2 -6a +5$.
$f(a+h) = (a+h)^2 -6(a+h) +5 = a^2+2ah+h^2 -6a-6h+5$.
$f(a+h)-f(a) = 2ah+h^2 -6h = h(2a + h -6)$.
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = 2a + h -6 \xrightarrow{h\to0} 2a-6$. Donc $f'(a) = 2a-6$.
2) $f'(a)=0 \iff 2a-6=0 \iff a=3$. $f(3) = 9-18+5 = -4$. La courbe admet une tangente horizontale au point $(3, -4)$.
La tangente au point d'abscisse 0 à la courbe d'une fonction $f$ a pour équation $y = 3x - 2$.
Déduis-en les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$. Justifie.
L'équation de la tangente en $x=0$ est $y = f'(0)(x-0) + f(0) = f'(0)x + f(0)$. Par identification avec $y = 3x -2$, on a $f'(0)=3$ et $f(0)=-2$.
Tu maîtrises le nombre dérivé en un point ? Parfait. Mais tu te doutes bien qu'on n'en est pas restés là : l'an prochain, tu verras comment calculer la dérivée de n'importe quelle fonction sans repasser par la limite. Voici un avant-goût : la fonction dérivée et ses règles magiques.
Plutôt que de calculer $f'(a)$ pour chaque $a$ avec la limite, on définit la fonction dérivée $f'$ qui, à chaque $x$, associe $f'(x)$.
Pour les polynômes, on retiendra les règles suivantes (que tu démontreras plus tard) :
Avec ces règles, trouve instantanément les dérivées suivantes : $f(x)=x^2 \Rightarrow f'(x)=2x$ ; $f(x)=x^3 \Rightarrow f'(x)=3x^2$ ; $f(x)=5x^4 \Rightarrow f'(x)=20x^3$.
Grâce aux règles ci-dessus, détermine la fonction dérivée de $f(x) = x^3 - 2x + 1$.
Calcule ensuite $f'(2)$ et donne l'équation de la tangente au point d'abscisse 2.
$f'(x) = 3x^2 - 2$ (car la dérivée de $x^3$ est $3x^2$, celle de $-2x$ est $-2$, celle de 1 est 0).
$f'(2) = 3\times4 -2 = 10$.
$f(2) = 8 -4 +1 = 5$.
Tangente : $y = 10(x-2) + 5 = 10x -15$.
On considère $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5$.
1) Détermine $f'(x)$ en utilisant les règles.
2) Trouve les points de la courbe où la tangente est horizontale (résous $f'(x)=0$).
3) Écris l'équation de la tangente au point d'abscisse -1.
1) $f'(x) = 6x^2 + 6x$.
2) $f'(x)=0 \iff 6x(x+1)=0 \iff x=0$ ou $x=-1$.
Points : $f(0)=-5$ et $f(-1) = -2+3-5 = -4$.
3) $f'(-1) = 6 -6 = 0$, $f(-1) = -4$. Tangente : $y = 0(x+1) -4 = -4$.
Un petit défi : trouve les réels $a$ et $b$ tels que la courbe de $f(x) = ax^2 + b$ passe par $A(2, 7)$ et qu'en ce point la tangente ait pour coefficient directeur 8.
$f(2)=7 \Rightarrow a\times4 + b = 7 \Rightarrow 4a+b=7$.
La pente de la tangente en $x=2$ est $f'(2)$. Or $f'(x)=2ax$, donc $f'(2)=4a$. On veut $4a = 8 \Rightarrow a=2$.
Alors $4\times2 + b = 7 \Rightarrow b = -1$.
Donc $f(x) = 2x^2 -1$.
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