V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reAnalyseExercices + corrigé

Nombre dérivé et tangente — Exercices

De l'application directe au problème ouvert : quatre exercices de difficulté croissante.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice inutile
1Taux de variation et nombre dérivé/ 3 pts
Soit $f(x) = 3x^2 - 1$.
  1. Calculer $f(1)$ et $f(1+h)$ (développer et réduire).
  2. Former le taux de variation $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ et simplifier l'expression.
  3. En déduire $f'(1)$.
2Nombre dérivé d'une fonction cubique/ 3 pts
Soit $f(x) = x^3$. On rappelle l'identité : $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$.
  1. Calculer et simplifier $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$.
  2. En déduire $f'(2)$.
3Équation de la tangente/ 4 pts
Soit $f(x) = x^2 + 3x$.
  1. Calculer et simplifier le taux de variation $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
  2. En déduire $f'(1)$.
  3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.
4Dérivée en un point quelconque et tangente horizontale/ 5 pts
Soit $f(x) = 2x^2 - x + 1$.
  1. Calculer $f(a+h) - f(a)$ et factoriser par $h$ (résultat de la forme $h\times(\ldots)$).
  2. En déduire $f'(a)$ pour tout réel $a$.
  3. En quel point de la courbe de $f$ la tangente est-elle horizontale ? Donner les coordonnées de ce point.
Corrigé détaillé
1Taux de variation et nombre dérivé
a) \(f(1) = 3 \times 1^2 - 1 = 2 \quad ; \quad f(1+h) = 3(1+h)^2 - 1 = 3(1+2h+h^2)-1 = 2+6h+3h^2\) \(f(1)=2 \;,\quad f(1+h)=2+6h+3h^2\)
b) \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(2+6h+3h^2)-2}{h} = \dfrac{6h+3h^2}{h} = \dfrac{h(6+3h)}{h} =\) \(6+3h\)
c) \(f'(1) = \lim_{h \to 0}(6+3h) =\) \(6\)
2Nombre dérivé d'une fonction cubique
a) \(f(2+h) = (2+h)^3 = 8+12h+6h^2+h^3 \quad ; \quad \dfrac{f(2+h)-8}{h} = \dfrac{12h+6h^2+h^3}{h} = \dfrac{h(12+6h+h^2)}{h} =\) \(12+6h+h^2\)
b) \(f'(2) = \lim_{h \to 0}(12+6h+h^2) =\) \(12\)
3Équation de la tangente
a) \(f(1) = 1+3 = 4 \quad ; \quad f(1+h) = (1+h)^2+3(1+h) = 1+2h+h^2+3+3h = 4+5h+h^2 \quad ; \quad \dfrac{4+5h+h^2-4}{h} = \dfrac{h(5+h)}{h} =\) \(5+h\)
b) \(f'(1) = \lim_{h \to 0}(5+h) =\) \(5\)
c) \(f(1)=4 \;,\; f'(1)=5 \quad ; \quad y = 5(x-1)+4 = 5x-5+4 =\) \(y = 5x-1\)
4Dérivée en un point quelconque et tangente horizontale
a) \(f(a+h) = 2(a+h)^2-(a+h)+1 = 2a^2+4ah+2h^2-a-h+1 \quad ; \quad f(a+h)-f(a) = 4ah+2h^2-h =\) \(h(4a+2h-1)\)
b) \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = 4a+2h-1 \xrightarrow{h \to 0} f'(a) =\) \(4a-1\)
c) \(f'(a)=0 \Leftrightarrow 4a-1=0 \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4} \quad ; \quad f\!\left(\dfrac{1}{4}\right) = 2\cdot\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{4}+1 = \dfrac{1}{8}-\dfrac{2}{8}+\dfrac{8}{8} =\) \(\text{Point }\left(\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{7}{8}\right)\)