Modèles discrets

Le strict nécessaire

Une suite, c'est juste une liste de nombres rangés dans l'ordre et repérés par un entier $n$ (le rang) : $u_0$, $u_1$, $u_2$, ... Un modèle discret décrit une grandeur qui avance par étapes ($n$ = mois, année, génération...).

Il n'y a que deux cas à connaître pour le contrôle.

Cas 1 — on ajoute toujours la même chose (croissance linéaire, on dit suite arithmétique). Le nombre ajouté à chaque pas s'appelle la raison $r$. Formule à retenir : $u_n = u_0 + n\,r$.

Cas 2 — on multiplie toujours par la même chose (croissance exponentielle, on dit suite géométrique). Le facteur multiplicatif s'appelle la raison $q$. Formule à retenir : $u_n = u_0 \times q^n$.

La seule question au départ : est-ce qu'on ajoute (cas 1) ou est-ce qu'on multiplie (cas 2) ? Tout le reste, c'est du remplacement dans la formule.

Un exemple déroulé en entier

Situation. Ton compte démarre à $200$ € et tu verses $50$ € chaque mois. Combien après $12$ mois ?

Étape 1 — quel cas ? On ajoute $50$ € à chaque étape : c'est le cas 1 (arithmétique), avec $u_0 = 200$ et raison $r = 50$.

Étape 2 — la formule. $u_n = u_0 + n\,r = 200 + 50\,n$.

Étape 3 — on remplace $n$ par $12$. $u_{12} = 200 + 50 \times 12$.

Étape 4 — on calcule. $u_{12} = 200 + 600 = 800$.

Réponse. Après $12$ mois, le solde est de $800$ €. Voilà, tu viens de faire ton premier modèle discret.

Suite arithmétique : la croissance linéaire

Définition. Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé la raison.

Relation de récurrence (d'un terme au suivant) : $u_{n+1} = u_n + r$.

Terme général (pour calculer directement n'importe quel terme, sans passer par tous les précédents) : $u_n = u_0 + n\,r$.

Somme des $n+1$ premiers termes (de $u_0$ jusqu'à $u_n$) : $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\times \dfrac{u_0 + u_n}{2}$.

En mots : nombre de termes $\times$ moyenne du premier et du dernier. Sur le schéma, la suite monte par marches d'égale hauteur : le pas $+r$ est toujours le même.

Suite géométrique : la croissance exponentielle

Définition. Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$, appelé la raison.

Relation de récurrence : $u_{n+1} = u_n \times q$.

Terme général : $u_n = u_0 \times q^{\,n}$.

Somme des $n+1$ premiers termes (valable si $q \neq 1$) : $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \times \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$.

Cas particulier $q = 1$ : la formule ci-dessus diviserait par $0$, elle ne s'applique donc pas. Tous les termes valent alors $u_0$ et la somme vaut simplement $(n+1)\,u_0$. Sur le schéma, la courbe part doucement puis s'envole : chaque pas multiplie par $q$.

La méthode : reconnaître le bon modèle

Face à une suite de nombres, on ne devine pas : on teste.

Test 1 — les différences. Calcule $u_{n+1} - u_n$ pour plusieurs rangs. Si tu trouves toujours le même écart, la suite est arithmétique et cet écart est la raison $r$.

Test 2 — les quotients. Calcule $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ pour plusieurs rangs. Si tu trouves toujours le même facteur, la suite est géométrique et ce facteur est la raison $q$.

Ensuite, tu écris le terme général à partir de $u_0$ et de la raison, puis tu remplaces $n$ par la valeur demandée.

Le schéma ci-contre montre les deux signatures : un écart constant en haut (on ajoute $+2$), un facteur constant en bas (on multiplie $\times 3$).

Exemple 1 — une épargne : terme et somme

Énoncé. Un compte démarre à $u_0 = 200$ € et on verse $50$ € chaque mois. On cherche le solde après $12$ mois, puis le cumul de tous les soldes de $u_0$ à $u_{12}$.

1) On reconnaît le modèle. On ajoute la même somme ($50$ €) à chaque étape : suite arithmétique, $u_0 = 200$, raison $r = 50$.

2) On écrit le terme général. $u_n = u_0 + n\,r = 200 + 50\,n$.

3) On calcule le terme voulu. $u_{12} = 200 + 50 \times 12 = 200 + 600 = 800$ €.

4) On calcule la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} u_k$. Attention : elle contient $13$ termes (de $u_0$ à $u_{12}$, on n'oublie pas $u_0$).

Formule : $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} u_k = (12+1)\times \dfrac{u_0 + u_{12}}{2} = 13 \times \dfrac{200 + 800}{2}$.

$= 13 \times \dfrac{1\,000}{2} = 13 \times 500 = 6\,500$ €.

Bilan. Solde après un an : $800$ €. Cumul des $13$ soldes mensuels : $6\,500$ €. Le réflexe à garder : nombre de termes $\times$ moyenne du premier et du dernier.

Exemple 2 — un capital placé : la puissance du « fois »

Énoncé. On place $1\,000$ € à $3\,\%$ par an, intérêts composés. Que vaut le capital après $10$ ans ?

1) Le modèle. Chaque année, on multiplie par $1 + \dfrac{3}{100} = 1{,}03$ : suite géométrique, $u_0 = 1\,000$, raison $q = 1{,}03$.

2) Le terme général. $u_n = u_0 \times q^{\,n} = 1\,000 \times 1{,}03^{\,n}$.

3) La valeur après $10$ ans. $u_{10} = 1\,000 \times 1{,}03^{\,10}$.

À la calculatrice, $1{,}03^{\,10} \approx 1{,}3439$, donc $u_{10} \approx 1\,000 \times 1{,}3439 \approx 1\,344$ €.

4) Le piège à éviter. On ne fait pas $1\,000 + 10 \times 30$ (ça, ce serait de l'arithmétique, avec une raison de $30$ € par an, c'est-à-dire des intérêts simples) : ici on multiplie, donc c'est bien une puissance $q^{\,n}$.

Bilan. Le placement gagne environ $344$ € (soit $34\,\%$), un peu plus que les $300$ € d'un intérêt simple à $3\,\%$ pendant $10$ ans : c'est l'effet du « fois » qui se cumule année après année.

Exemple 3 — reconnaître le modèle à partir d'un tableau

Énoncé. On observe les premiers termes d'une suite : $u_0 = 5$, $u_1 = 8$, $u_2 = 11$, $u_3 = 14$. Arithmétique ou géométrique ?

Test des différences. $u_1 - u_0 = 8 - 5 = 3$ ; $u_2 - u_1 = 11 - 8 = 3$ ; $u_3 - u_2 = 14 - 11 = 3$. Toujours $3$ : l'écart est constant.

Test des quotients (pour vérifier que ce n'est pas géométrique) : $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6$ ; $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{11}{8} = 1{,}375$. Ce n'est pas constant : ce n'est donc pas géométrique.

Conclusion. Suite arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $u_0 = 5$. Terme général : $u_n = 5 + 3\,n$.

Le réflexe. Un écart constant $\Rightarrow$ arithmétique ; un facteur constant $\Rightarrow$ géométrique. En cas de doute, teste les deux, comme ici.

Problème type — comparer deux offres

Énoncé. Deux salles de sport. Offre A : $40$ € le 1^er mois, puis $+3$ € chaque mois suivant. Offre B : $30$ € le 1^er mois, puis multiplié par $1{,}05$ chaque mois suivant. On repère le mois par $n$, avec $n = 1$ pour le premier mois.

Question 1 — modéliser chaque offre.

Offre A : on ajoute $3$ € $\Rightarrow$ arithmétique, premier terme $u_1 = 40$, raison $r = 3$. Comme le premier terme est en $n = 1$ : $u_n = u_1 + (n-1)\,r = 40 + 3\,(n-1)$.

Offre B : on multiplie par $1{,}05$ $\Rightarrow$ géométrique, premier terme $v_1 = 30$, raison $q = 1{,}05$. De même : $v_n = v_1 \times q^{\,n-1} = 30 \times 1{,}05^{\,n-1}$.

Question 2 — le tarif du 12^e mois.

Offre A : $u_{12} = 40 + 3 \times (12 - 1) = 40 + 33 = 73$ €.

Offre B : $v_{12} = 30 \times 1{,}05^{\,11} \approx 30 \times 1{,}7103 \approx 51{,}31$ €.

Question 3 — le total payé sur les 12 premiers mois.

Il y a ici $12$ termes (de $u_1$ à $u_{12}$) : on compte bien.

Offre A (somme arithmétique = nombre de termes $\times$ moyenne des extrêmes) : $S_A = 12 \times \dfrac{u_1 + u_{12}}{2} = 12 \times \dfrac{40 + 73}{2} = 12 \times 56{,}5 = 678$ €.

Offre B (somme géométrique = premier terme $\times \dfrac{1 - q^{\,\text{nb de termes}}}{1 - q}$) : $S_B = 30 \times \dfrac{1 - 1{,}05^{\,12}}{1 - 1{,}05}$.

Or $1{,}05^{\,12} \approx 1{,}7959$, donc $S_B \approx 30 \times \dfrac{1 - 1{,}7959}{-0{,}05} \approx 30 \times 15{,}917 \approx 477{,}51$ €.

Conclusion. Sur la première année, l'offre B revient à environ $477{,}51$ € contre $678$ € pour l'offre A : l'offre B est plus avantageuse sur douze mois.

Ce que le correcteur attend, et les pièges

Ce qui rapporte les points.

1) Nommer le modèle et donner la raison : « suite arithmétique de raison $r = 3$ », « suite géométrique de raison $q = 1{,}05$ ». Une réponse sans justification du type de suite est incomplète.

2) Écrire la formule littérale avant de remplacer : $u_n = u_1 + (n-1)\,r$, puis les nombres. Le correcteur veut voir la formule, pas seulement le résultat final.

3) Une phrase de conclusion qui répond à la question posée, avec l'unité.

Les pièges classiques.

Départ en $n = 0$ ou en $n = 1$ ? Si le premier terme est $u_0$, alors $u_n = u_0 + n\,r$. S'il est $u_1$, alors $u_n = u_1 + (n-1)\,r$. Repère toujours l'indice du premier terme donné avant d'écrire la formule.

Confondre les deux modèles. Pour une géométrique, c'est $u_n = u_0 \times q^{\,n}$, jamais $u_0 + n\,q$.

Mal compter les termes d'une somme. De $u_0$ à $u_n$ il y a $n+1$ termes ; de $u_1$ à $u_{12}$ il y a $12$ termes. Une erreur d'un seul terme fausse toute la somme.

La raison $q = 1$. La formule de somme géométrique divise par $1 - q$ : interdite si $q = 1$. Dans ce cas, tous les termes sont égaux et la somme vaut $(\text{nb de termes}) \times u_0$.

Du discret au continu : bonjour l'exponentielle

Une suite géométrique $u_n = u_0 \times q^{\,n}$ ne vit que sur les entiers : $n = 0, 1, 2, \ldots$ On saute de palier en palier. Mais si on autorise $n$ à devenir un nombre réel quelconque $x$, la formule $x \mapsto u_0 \times q^{\,x}$ trace une courbe continue : c'est une fonction exponentielle, que tu croiseras cette année et que tu étudieras à fond en Terminale.

Autrement dit, la suite géométrique, ce sont les photos (aux instants entiers) d'un film continu qu'est l'exponentielle. Même correspondance de l'autre côté : croissance linéaire $\to$ fonction affine ($x \mapsto a\,x + b$) ; croissance exponentielle $\to$ fonction exponentielle.

Sur le schéma, les points sont la suite (le discret), la courbe en pointillés est l'exponentielle (le continu) qui passe exactement par ces points.

Pourquoi les formules de somme sont vraies

La somme arithmétique (l'astuce de Gauss). On veut $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. On écrit la même somme à l'endroit, puis à l'envers, l'une sous l'autre :

$S = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$

$S = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_0$

En additionnant colonne par colonne, chaque paire vaut $u_0 + u_n$ (ce qu'on gagne d'un côté, on le perd de l'autre). Il y a $n+1$ colonnes, donc $2S = (n+1)\,(u_0 + u_n)$, d'où $S = (n+1)\,\dfrac{u_0 + u_n}{2}$. La formule tombe toute seule.

La somme géométrique (l'astuce du décalage). On pose $S = u_0 + u_0 q + u_0 q^2 + \cdots + u_0 q^{\,n}$. On multiplie tout par $q$ : $qS = u_0 q + u_0 q^2 + \cdots + u_0 q^{\,n+1}$.

En soustrayant, presque tout se télescope : $S - qS = u_0 - u_0 q^{\,n+1}$, soit $S\,(1 - q) = u_0\,(1 - q^{\,n+1})$, d'où $S = u_0\,\dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$). Voilà pourquoi on exige $q \neq 1$ : sinon on diviserait par $0$.

L'an prochain, en Terminale

Ce que tu retrouveras, en plus costaud :

Le comportement au long terme. On se demandera vers quoi tend $u_n$ quand $n$ devient très grand : c'est la notion de limite. Une géométrique avec $q > 1$ file vers $+\infty$ ; avec $0 < q < 1$ elle s'écrase vers $0$ (parfait pour les modèles de décroissance : médicament éliminé, radioactivité, refroidissement).

Le sens de variation par récurrence. On démontrera proprement qu'une suite croît ou décroît, et on découvrira le raisonnement par récurrence, un outil de preuve pour tout ce qui dépend d'un entier $n$.

Les suites mixtes. Beaucoup de modèles réels combinent les deux (« on multiplie par $q$ et on ajoute $b$ » : les suites arithmético-géométriques), par exemple un capital qui rapporte des intérêts et reçoit un versement fixe. Tu sauras les traiter en t'appuyant exactement sur les deux briques vues ici.

Bref, ce que tu viens d'apprendre n'est pas un chapitre isolé : c'est la première marche d'un grand escalier.