Modèles discrets

Suites arithmétiques et géométriques : modéliser une évolution pas à pas.

1 L'idée

Un modèle discret décrit une grandeur qui évolue par paliers successifs, indexés par un entier $n$ (rang, année, génération…). On distingue deux comportements fondamentaux.

Croissance linéaire : on ajoute une même quantité à chaque étape → suite arithmétique.
Croissance exponentielle : on multiplie par un même facteur à chaque étape → suite géométrique.

2 Suite arithmétique — croissance linéaire

Récurrence

$u_{n+1} = u_n + r$

Terme général

$u_n = u_0 + n\,r$

Somme de n+1 termes

$\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1)\,\dfrac{u_0 + u_n}{2}$

3 Suite géométrique — croissance exponentielle

Récurrence

$u_{n+1} = u_n \cdot q$

Terme général

$u_n = u_0 \cdot q^n$

Somme de n+1 termes (q ≠ 1)

$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

4 Exemples concrets

Suite arithmétique — épargne mensuelle

Un compte débute à $200$ €. On verse $50$ € par mois. Solde après $n$ mois : $u_n = 200 + 50n$.

Après $12$ mois : $u_{12} = 200 + 50 \times 12 = 800$ €.

Suite géométrique — intérêts composés

Capital initial $1\,000$ € placé à $3\,\%$ par an. Après $n$ années : $u_n = 1\,000 \times 1{,}03^n$.

Après $10$ ans : $u_{10} = 1\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 1\,344$ €.

Méthode — identifier et exploiter le modèle

Calculer les différences consécutives $u_{n+1} - u_n$ : si elles sont constantes, la suite est arithmétique de raison $r$.
Calculer les quotients consécutifs $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ : si ils sont constants, la suite est géométrique de raison $q$.
Écrire le terme général à partir de $u_0$ et de la raison.
Substituer la valeur de $n$ souhaitée pour obtenir le terme ou la somme demandée.

Erreurs fréquentes

Confondre $u_n = u_0 + nr$ (départ en $n=0$) et $u_n = u_1 + (n-1)r$ (départ en $n=1$) : vérifier l'indice du premier terme donné.
Écrire $u_n = u_0 + nq$ pour une suite géométrique au lieu de $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Croire que $\sum_{k=0}^{n} u_k$ ne compte que $n$ termes : elle en compte $n+1$ (de $u_0$ à $u_n$).
Appliquer la formule de somme géométrique avec $q = 1$ : elle est indéfinie ($1-q=0$) ; dans ce cas $S = (n+1)\,u_0$.