Second degré — Exercices

Du calcul direct du discriminant au problème paramétrique, en passant par la factorisation. Corrigé complet en fin de fiche.

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1Discriminant et nombre de racines/ 3 pts

Pour chaque trinôme, calculer le discriminant $\Delta$ et préciser le nombre de racines réelles.

$2x^2 - 5x + 3$
$x^2 - 4x + 4$
$x^2 + x + 1$

2Résoudre dans $\mathbb{R}$/ 6 pts

Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{R}$.

$x^2 - 5x + 6 = 0$
$4x^2 - 4x + 1 = 0$
$3x^2 + 2x + 1 = 0$

3Factoriser/ 6 pts

Factoriser chaque trinôme dans $\mathbb{R}$ si possible, ou justifier que ce n'est pas possible.

$x^2 - 5x + 6$
$4x^2 - 4x + 1$
$2x^2 - 5x + 3$

4Équation avec paramètre/ 4 pts

On considère l'équation $(E_m) : x^2 - 2mx + (m + 2) = 0$, où $m$ est un réel.

Exprimer le discriminant $\Delta$ en fonction de $m$.
Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $(E_m)$ admet une racine double.

5Problème — dimensions d'un rectangle/ 5 pts

Un rectangle a un périmètre de $20$ cm et une aire de $21$ cm². On note $x$ la longueur en cm de l'un de ses côtés.

Montrer que $x$ vérifie l'équation $x^2 - 10x + 21 = 0$.
Résoudre cette équation et en déduire les dimensions du rectangle.

Corrigé détaillé

1Discriminant et nombre de racines

a) $a = 2,\ b = -5,\ c = 3 \Rightarrow \Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 =$ $\Delta = 1 \gt 0 \text{ : deux racines réelles distinctes}$

b) $a = 1,\ b = -4,\ c = 4 \Rightarrow \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 =$ $\Delta = 0 \text{ : une racine double}$

c) $a = 1,\ b = 1,\ c = 1 \Rightarrow \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 =$ $\Delta = -3 \lt 0 \text{ : aucune racine réelle}$

2Résoudre dans ℝ

a) $a=1,b=-5,c=6 \Rightarrow \Delta = 25 - 24 = 1 \gt 0 \Rightarrow x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2,\quad x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ $S = \{2\,;\,3\}$

b) $a=4,b=-4,c=1 \Rightarrow \Delta = 16 - 16 = 0 \Rightarrow x_0 = \dfrac{-(-4)}{2 \times 4} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ $S = \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$

c) $a=3,b=2,c=1 \Rightarrow \Delta = 4 - 4 \times 3 \times 1 = 4 - 12 = -8 \lt 0$ $S = \emptyset$

3Factoriser

a) $\Delta = 1 \gt 0,\ x_1 = 2,\ x_2 = 3 \Rightarrow$ $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

b) $\Delta = 0,\ x_0 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 = 4\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 =$ $(2x - 1)^2$

c) $\Delta = 25 - 4 \times 2 \times 3 = 1 \gt 0,\ x_1 = \dfrac{5-1}{4} = 1,\ x_2 = \dfrac{5+1}{4} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow 2x^2-5x+3 = 2(x-1)\!\left(x-\dfrac{3}{2}\right) =$ $(x - 1)(2x - 3)$

4Équation avec paramètre

Δ(m) $\Delta = (-2m)^2 - 4 \times 1 \times (m + 2) = 4m^2 - 4m - 8$ $\Delta = 4m^2 - 4m - 8$

Racine double $\Delta = 0 \Leftrightarrow 4m^2 - 4m - 8 = 0 \Leftrightarrow m^2 - m - 2 = 0 \Leftrightarrow (m - 2)(m + 1) = 0$ $m = 2 \text{ ou } m = -1$

5Problème — dimensions d'un rectangle

1. $\text{Demi-périmètre} = 10 \Rightarrow \text{autre côté} = 10 - x.\ \text{Aire} = x(10 - x) = 21 \Rightarrow 10x - x^2 = 21$ $x^2 - 10x + 21 = 0 \quad \text{(équation établie)}$

2. $\Delta = 100 - 4 \times 21 = 16 \Rightarrow x_1 = \dfrac{10 - 4}{2} = 3,\quad x_2 = \dfrac{10 + 4}{2} = 7$ $\text{Le rectangle mesure } 3 \text{ cm} \times 7 \text{ cm}\quad(3+7=10,\ 3\times 7=21\ \checkmark)$