Mathématiques · 1re

Second degre : discriminant, racines, factorisation

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Tu n'as jamais vu le second degré et un contrôle approche ? On va partir de zéro. D'abord, on révise les équations du premier degré que tu connais depuis la seconde. Ensuite, on découvre le discriminant, un outil magique qui te dit tout de suite combien de solutions possède une équation avec des $x^2$. Plus besoin de tâtonner !

Rappel : les équations en seconde

En seconde, tu as appris à résoudre des équations du premier degré comme $3x+2=11$ : tu isoles $x$. Tu sais aussi manipuler des expressions pour les transformer, par exemple développer $(x+2)(x-3)$. Ces bases sont essentielles pour le second degré.

Une nouveauté : l'équation du second degré

Quand l'équation contient $x^2$, comme $2x^2 - 6x + 4 = 0$, les méthodes de seconde ne suffisent plus. On appelle cela une équation du second degré, de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a
eq 0$. a, b, c sont les coefficients.

Le discriminant, la clé pour démarrer

On calcule un nombre spécial, le discriminant, noté $\Delta$ (delta). Sa formule : $\Delta = b^2 - 4ac$.

Son signe te donne immédiatement le nombre de solutions réelles :

Si $\Delta > 0$ : 2 solutions (on les verra bientôt).
Si $\Delta = 0$ : 1 solution (dite double).
Si $\Delta < 0$ : aucune solution dans $\mathbb{R}$.

Exemple guidé

Prenons $x^2 - 4x - 5 = 0$. Ici $a = 1$, $b = -4$, $c = -5$. $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36$. $\Delta > 0$, donc deux solutions réelles existent. On s'arrête là pour l'instant, l'essentiel est que tu saches déterminer le nombre de solutions.

À toi de jouer

1. Pour le trinôme $3x^2 - 5x + 2$, complète :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$, $b = \underline{\hspace{1.1em}}$, $c = \underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

Pour $3x^2 - 5x + 2$, on a $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

2. Pour l'équation $x^2 - 6x + 9 = 0$ :
$a = 1,\ b = -6,\ c = 9$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (écris le signe : >0, =0 ou <0).
Donc l'équation admet $\underline{\hspace{1.1em}}$ solution(s) réelle(s).

Corrigé

$a = 1,\ b = -6,\ c = 9$
$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0$
$\Delta = 0$
Donc l'équation admet une racine double (1 solution).

3. Pour $2x^2 + x + 3 = 0$ :
$a = 2,\ b = 1,\ c = 3$
Calcule $\Delta = \underline{\hspace{1.1em}}^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Cette fois, $\Delta$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ solution réelle.

Corrigé

$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times 3 = 1 - 24 = -23$
$\Delta < 0$, donc aucune solution réelle.

Ah oui, le discriminant, les racines ! Tu te souviens maintenant. On va revoir la méthode complète pour résoudre et factoriser, avec les pièges à éviter. Après ce rappel, tu auras vraiment le truc en main.

La méthode complète en 4 étapes

Étape 1 : Identifier $a$, $b$ et $c$ dans $ax^2+bx+c$.

Étape 2 : Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.

Étape 3 : Racines selon le signe de $\Delta$
$\Delta > 0 : x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0 : x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ (racine double)
$\Delta < 0 :$ pas de racine réelle.

Étape 4 : Factorisation (si $\Delta \ge 0$)
$ax^2+bx+c = a(x - x_1)(x - x_2)$ si $\Delta>0$
ou $a(x - x_0)^2$ si $\Delta=0$.

Pièges à éviter

Dans $\Delta$, $b$ est mis au carré : $(-b)^2 = b^2$, pas de signe qui traîne.
Le numérateur est $-b \pm \sqrt{\Delta}$ : on prend bien l'opposé de $b$.
Le dénominateur est $2a$, pas $2$ tout court.
La factorisation garde le coefficient $a$ devant $(x - x_1)(x - x_2)$.

Exemple pas à pas

Résolvons $3x^2 - 7x + 2 = 0$ et factorisons.

$a = 3,\ b = -7,\ c = 2$
$\Delta = (-7)^2 - 4\times3\times2 = 49 - 24 = 25$
$\sqrt{\Delta} = 5$
$x_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{7 + 5}{6} = 2$
Factorisation : $3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x - 2)$ ou bien $(3x-1)(x-2)$.

À toi de jouer

1. Résous l'équation $x^2 - 4x + 3 = 0$ en complétant :
$a = 1,\ b = -4,\ c = 3$
$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4$
$\sqrt{\Delta} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$x_1 = \dfrac{-(-4) - \underline{\hspace{1.1em}}}{2 \times 1} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
$x_2 = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Ainsi $S = \{\underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}\}$.

Corrigé

$\sqrt{\Delta} = 2$
$x_1 = \dfrac{4 - 2}{2} = 1$, $x_2 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3$
$S = \{1, 3\}$.

2. Factorise $2x^2 + x - 3$ :
$a = 2,\ b = 1,\ c = -3$
$\Delta = 1^2 - 4 \times 2 \times (-3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\Delta$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$, donc $\sqrt{\Delta} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
$x_1 = \dfrac{-1 - \underline{\hspace{1.1em}}}{4} = \underline{\hspace{1.1em}}$,
$x_2 = \dfrac{-1 + \underline{\hspace{1.1em}}}{4} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Factorisation : $2(x - (\underline{\hspace{1.1em}}))(x - (\underline{\hspace{1.1em}}))$ ou simplifié : $(x + \underline{\hspace{1.1em}})(2x - \underline{\hspace{1.1em}})$ (à toi de trouver).

Corrigé

$\Delta = 1 + 24 = 25$, >0, $\sqrt{\Delta}=5$.
$x_1 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$.
Factorisation : $2(x - (-\frac{3}{2}))(x - 1) = 2(x + \frac{3}{2})(x - 1) = (2x + 3)(x - 1)$.

3. Résous $9x^2 - 12x + 4 = 0$ et factorise.
$a = 9,\ b = -12,\ c = 4$
$\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times 9 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\Delta = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Racine double : $x_0 = \dfrac{-(-12)}{2 \times 9} = \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (simplifie).
Factorisation : $9 (x - \underline{\hspace{1.1em}})^2$. Vérifie : développe $9(x - \frac{2}{3})^2$.

Corrigé

$\Delta = 144 - 144 = 0$.
$x_0 = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Factorisation : $9(x - \frac{2}{3})^2 = (3x - 2)^2$.

C'est parti pour un entraînement intensif. Cinq mini-exercices, le même objectif : calculer le discriminant et dire combien de racines. La répétition va ancrer le geste.

À toi de jouer

1. Pour $x^2 + 2x - 3$ : $\Delta = \underline{\hspace{1.1em}}^2 - 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ racine(s).

Corrigé

$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 > 0$ ; il y a 2 racines.

2. Pour $2x^2 - 4x + 2$ : $\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ racine(s).

Corrigé

$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 16 - 16 = 0$ ; il y a 1 racine double.

3. Pour $x^2 + x + 1$ : $\Delta = \underline{\hspace{1.1em}}^2 - 4 \times 1 \times 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ racine(s).

Corrigé

$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$ ; il y a 0 racine réelle.

4. Pour $3x^2 - 7x + 2$ : $\Delta = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 4 \times 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ racine(s).

Corrigé

$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 49 - 24 = 25 > 0$ ; il y a 2 racines.

5. Pour $4x^2 + 4x + 1$ : $\Delta = \underline{\hspace{1.1em}}^2 - 4 \times 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ ; il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ racine(s).

Corrigé

$\Delta = 4^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0$ ; il y a 1 racine double.

Voici des exercices type contrôle. Ils mélangent tout ce que tu as appris. Prends ton temps, applique la méthode, et vérifie tes réponses.

À toi de jouer

1. Pour chaque trinôme ci-dessous, calcule le discriminant $\Delta$ et précise le nombre de racines réelles.
a) $3x^2 - 5x + 2$
b) $4x^2 - 12x + 9$
c) $x^2 + 2x + 3$

Corrigé

a) $a=3, b=-5, c=2$. $\Delta = (-5)^2 - 4\times3\times2 = 25 - 24 = 1 > 0$ : 2 racines réelles.
b) $a=4, b=-12, c=9$. $\Delta = (-12)^2 - 4\times4\times9 = 144 - 144 = 0$ : 1 racine double.
c) $a=1, b=2, c=3$. $\Delta = 2^2 - 4\times1\times3 = 4 - 12 = -8 < 0$ : aucune racine réelle.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
b) $2x^2 + 3x - 2 = 0$
c) $x^2 - 2x + 1 = 0$

Corrigé

a) $\Delta = 36 - 32 = 4$, $x_1 = \frac{6-2}{2}=2$, $x_2=\frac{6+2}{2}=4$. $S = \{2,4\}$.
b) $\Delta = 9 + 16 = 25$, $x_1=\frac{-3-5}{4}=-2$, $x_2=\frac{-3+5}{4}=0,5$. $S = \{-2, 0,5\}$.
c) $\Delta = 4 - 4 = 0$, $x_0 = \frac{2}{2}=1$. $S = \{1\}$.

3. Factoriser les trinômes suivants (si possible) :
a) $x^2 - 6x + 8$
b) $4x^2 + 4x + 1$
c) $x^2 + 2x + 2$

Corrigé

a) $\Delta = 4 > 0$, racines 2 et 4, donc $(x-2)(x-4)$.
b) $\Delta = 16 - 16 = 0$, racine double $-\frac{1}{2}$, donc $4(x+\frac{1}{2})^2$ ou $(2x+1)^2$.
c) $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

4. On considère l'équation $(E_m) : x^2 - 2mx + (m+2) = 0$, où $m$ est un réel.
a) Exprime le discriminant $\Delta$ en fonction de $m$.
b) Détermine les valeurs de $m$ pour lesquelles $(E_m)$ admet une racine double.

Corrigé

a) $a=1, b=-2m, c=m+2$. $\Delta = (-2m)^2 - 4\times1\times(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m-2)(m+1)$.
b) Une racine double signifie $\Delta = 0$, soit $4(m-2)(m+1) = 0$, donc $m = 2$ ou $m = -1$.

5. Un rectangle a un périmètre de 22 cm et une aire de 28 cm². On note $x$ la longueur en cm de l'un de ses côtés.
a) Montre que $x$ vérifie l'équation $x^2 - 11x + 28 = 0$.
b) Résous cette équation et déduis-en les dimensions du rectangle.

Corrigé

a) Le demi-périmètre est 11 cm, donc l'autre côté mesure $11 - x$ cm. Aire = $x(11 - x) = 28$, donc $11x - x^2 = 28$, soit $x^2 - 11x + 28 = 0$.
b) $\Delta = 121 - 112 = 9$, $x_1 = \frac{11 - 3}{2} = 4$, $x_2 = \frac{11 + 3}{2} = 7$. Les dimensions sont 4 cm et 7 cm (ou l'inverse).

Tu veux aller plus loin ? Certaines équations qui ne semblent pas du second degré peuvent s'y ramener après un changement d'inconnue. C'est une technique puissante qu'on revoit en terminale. Amuse-toi avec ces exemples.

À toi de jouer

1. Résous $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ dans $\mathbb{R}$ en posant $X = x^2$.

Corrigé

On pose $X = x^2$. L'équation devient $X^2 - 10X + 9 = 0$. $\Delta = 100 - 36 = 64$, $\sqrt{\Delta} = 8$. $X_1 = \frac{10-8}{2}=1$, $X_2 = \frac{10+8}{2}=9$. On résout $x^2 = 1$ (donc $x = \pm 1$) et $x^2 = 9$ (donc $x = \pm 3$). L'ensemble des solutions est $\{-3, -1, 1, 3\}$.

2. Résous $\sqrt{3x+1} = x-1$ dans $\mathbb{R}$. Attention : vérifie les solutions obtenues dans l'équation de départ.

Corrigé

Conditions d'existence : $3x+1 \ge 0$ (toujours vrai si on élève, mais on doit aussi avoir $x-1 \ge 0$ car une racine carrée est positive). Donc $x \ge 1$. On élève au carré : $3x+1 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. On obtient $0 = x^2 - 5x$, soit $x(x-5) = 0$. Les solutions potentielles sont $x=0$ et $x=5$. Or $x=0$ ne vérifie pas $x \ge 1$, on l'élimine. On teste $x=5$ : $\sqrt{16} = 4$ et $5-1=4$, c'est bon. Donc $S = \{5\}$.

3. Résous $x^2 - 4x + 3 > 0$ en utilisant la factorisation.

Corrigé

On factorise le trinôme : $\Delta = 16 - 12 = 4$, racines 1 et 3, donc $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. On étudie le signe du produit : pour $x < 1$, les deux facteurs sont négatifs, produit positif ; entre 1 et 3, signe contraire, produit négatif ; pour $x > 3$, les deux positifs, produit positif. Ainsi $S = ]-\infty, 1[ \cup ]3, +\infty[$.