Second degré : discriminant, racines, factorisation

Le discriminant Δ = b² − 4ac est la clé : il indique combien de racines réelles possède le trinôme et permet de le factoriser.

1 L'idée

Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$, c'est chercher ses racines. La méthode universelle repose sur le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ : son signe détermine le nombre de solutions réelles et, si des racines existent, la factorisation du trinôme en découle directement.

2 Discriminant et racines

Discriminant

$\Delta = b^2 - 4ac$

\Delta \gt 0 : deux racines

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

\Delta = 0 : racine double

$x_0 = \dfrac{-b}{2a}$

\Delta \lt 0 : aucune racine réelle

$\text{Pas de solution dans } \mathbb{R}$

3 Factorisation du trinôme

\Delta \gt 0

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

\Delta = 0

$ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$

\Delta \lt 0

$\text{Pas de factorisation dans } \mathbb{R}$

4 Exemple complet

Résoudre $2x^2 - 6x + 4 = 0$ et factoriser

$a = 2,\ b = -6,\ c = 4$

$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 36 - 32 = 4 \gt 0$ : deux racines réelles.

$x_1 = \dfrac{6 - 2}{4} = 1 \qquad x_2 = \dfrac{6 + 2}{4} = 2$

Factorisation : $2x^2 - 6x + 4 = 2(x - 1)(x - 2)$

Méthode — résoudre et factoriser pas à pas

Identifier $a$, $b$, $c$ dans $ax^2 + bx + c$ (attention aux signes).
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$.
Selon le signe de $\Delta$ : appliquer la formule des racines ou conclure à l'absence de solution réelle.
Écrire la factorisation : $a(x - x_1)(x - x_2)$ si $\Delta \gt 0$, ou $a(x - x_0)^2$ si $\Delta = 0$, ou impossible dans $\mathbb{R}$ si $\Delta \lt 0$.

Erreurs fréquentes

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ en développant pour trouver $\Delta$ : $(-b)^2 = b^2$, ne pas oublier le carré.
Le numérateur est $-b \pm \sqrt{\Delta}$ et non $b \pm \sqrt{\Delta}$ : bien prendre l'opposé de $b$.
Le dénominateur est $2a$, pas $2$ : si $a = 3$, on divise par $6$.
Ne pas oublier le coefficient $a$ dans la factorisation : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, pas $(x - x_1)(x - x_2)$.