Second degré : discriminant, racines, factorisation

Les prérequis en 30 secondes

Avant de foncer, trois réflexes que tu as déjà :

1. Un carré efface le signe moins : $(-6)^2 = 36$, et surtout pas $-36$.

2. Une racine carrée « défait » un carré : $\sqrt{4} = 2$, parce que $2^2 = 4$.

3. Résoudre une équation « $\dots = 0$ », c'est trouver les valeurs de $x$ qui rendent le membre de gauche égal à zéro.

Un peu de vocabulaire : un trinôme du second degré s'écrit $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. Le $a \neq 0$ compte : s'il valait $0$, il n'y aurait plus de $x^2$, donc plus de second degré.

L'essentiel et la formule clé

Tout repose sur un seul nombre, le discriminant, noté avec la lettre grecque delta :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Tu calcules $\Delta$, puis tu regardes son signe. C'est lui qui décide combien l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ a de solutions (on dit de racines) :

• Si $\Delta \gt 0$ : deux racines, $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$ : une seule racine, dite double, $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta \lt 0$ : aucune racine réelle.

À retenir comme une recette : je calcule $\Delta$, je lis son signe, j'applique la bonne ligne.

Un exemple fait en entier

Résolvons $2x^2 - 6x + 4 = 0$.

Étape 1 — je repère $a$, $b$, $c$ : ici $a = 2$, $b = -6$, $c = 4$.

Étape 2 — je calcule $\Delta$ : $\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 36 - 32 = 4$.

Étape 3 — je lis le signe : $\Delta = 4 \gt 0$, donc deux racines.

Étape 4 — j'applique la formule (bien penser à $-b = -(-6) = 6$ et $\sqrt{\Delta} = \sqrt{4} = 2$) :

$x_1 = \dfrac{6 - 2}{2 \times 2} = \dfrac{4}{4} = 1$

$x_2 = \dfrac{6 + 2}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2$

Les solutions sont $x = 1$ et $x = 2$. Et c'est fini : ce n'était qu'un calcul bien rangé.

Les définitions, au propre

On repart sur des bases claires. Un trinôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels et $a \neq 0$.

Une racine du trinôme est une valeur de $x$ pour laquelle $ax^2 + bx + c = 0$. Résoudre l'équation du second degré, c'est trouver toutes ses racines.

Le discriminant est le nombre $\Delta = b^2 - 4ac$. Son signe — positif, nul ou négatif — suffit à tout décrire : le nombre de racines, leurs valeurs, et la factorisation.

Les trois cas selon le signe de Δ

On calcule $\Delta = b^2 - 4ac$, puis on distingue trois cas. Géométriquement, les racines sont les endroits où la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ rencontre l'axe des abscisses.

Cas 1 — $\Delta \gt 0$ : deux racines réelles distinctes.

$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points.

Cas 2 — $\Delta = 0$ : une seule racine, dite racine double.

$x_0 = \dfrac{-b}{2a}$

La parabole est tangente à l'axe : elle le touche en un unique point.

Cas 3 — $\Delta \lt 0$ : aucune racine réelle. La parabole ne touche jamais l'axe des abscisses, et l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Factoriser le trinôme

Dès qu'on connaît les racines, on peut factoriser le trinôme, c'est-à-dire l'écrire comme un produit. Attention : le coefficient $a$ reste devant.

• Si $\Delta \gt 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Si $\Delta = 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$.
• Si $\Delta \lt 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

La méthode complète tient en quatre gestes : (1) identifier $a$, $b$, $c$ en respectant les signes ; (2) calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ ; (3) selon le signe de $\Delta$, appliquer la formule des racines ou conclure qu'il n'y en a pas ; (4) écrire la factorisation correspondante.

Exemple 1 — deux racines (Δ positif)

On résout ensemble $x^2 - 5x + 6 = 0$, puis on factorise.

On repère les coefficients. Ici $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$. Le $x^2$ est tout seul devant, donc $a = 1$ (et non $0$).

On calcule le discriminant. $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$.

On lit le signe. $\Delta = 1 \gt 0$ : on est dans le cas des deux racines.

On applique la formule. On fait attention : $-b = -(-5) = 5$, et $\sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1$.

$x_1 = \dfrac{5 - 1}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2 \qquad x_2 = \dfrac{5 + 1}{2 \times 1} = \dfrac{6}{2} = 3$

On factorise. Comme $a = 1$ : $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Petit contrôle mental : $2 \times 3 = 6$, on retrouve bien le $c$. Rassurant.

Exemple 2 — la racine double (Δ nul)

Au tour de $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Coefficients : $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.

Discriminant : $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0$.

Signe : $\Delta = 0$. Cette fois, une seule racine, la racine double.

Formule de la racine double : $x_0 = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-4)}{2 \times 1} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Factorisation : $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

On reconnaît d'ailleurs une identité remarquable : $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$. Un discriminant nul, c'est justement le signe qu'on a affaire à un carré parfait.

Exemple 3 — aucune racine (Δ négatif)

Dernier échauffement : $x^2 + x + 1 = 0$.

Coefficients : $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$.

Discriminant : $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$.

Signe : $\Delta = -3 \lt 0$.

Conclusion : pas de racine réelle. L'équation $x^2 + x + 1 = 0$ n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$, et le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.

Et non, ce n'est pas une erreur de calcul : parfois la bonne réponse est vraiment « il n'y a pas de solution ». Écris-le clairement, c'est une réponse à part entière.

Les pièges qui coûtent des points

Le correcteur attend un calcul de $\Delta$ juste, la bonne formule appliquée, et une conclusion nette. Voici où les points se perdent :

• Le carré mange le signe. Dans $\Delta = b^2 - 4ac$, si $b = -6$ alors $b^2 = (-6)^2 = 36$, positif, jamais $-36$.
• C'est $-b$ au numérateur, pas $b$. Si $b = -6$, le numérateur commence par $-b = +6$. Prends bien l'opposé de $b$.
• Le dénominateur est $2a$, pas $2$. Si $a = 3$, on divise par $6$.
• Ne perds pas le $a$ dans la factorisation. On écrit $a(x - x_1)(x - x_2)$, pas $(x - x_1)(x - x_2)$ : si $a = 2$, le $2$ doit apparaître.
• $\Delta \lt 0$ n'est pas une faute. « Pas de solution réelle » est une réponse correcte : écris-la, ne rends pas une copie vide.

Un problème type entièrement résolu

Énoncé. On veut un rectangle d'aire $12\ \text{m}^2$ dont la longueur dépasse la largeur de $1\ \text{m}$. Quelles sont ses dimensions ?

Mise en équation. On note $x$ la largeur, en mètres, donc $x \gt 0$. La longueur vaut alors $x + 1$, et l'aire s'écrit :

$x(x + 1) = 12$

On ramène à un trinôme égal à zéro. On développe, puis on met tout du même côté :

$x^2 + x = 12 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 12 = 0$

Coefficients : $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$.

Discriminant : $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times (-12) = 1 + 48 = 49$. Bien voir que $-4 \times 1 \times (-12) = +48$ : deux signes moins donnent un plus.

Racines : $\sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7$, donc

$x_1 = \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \qquad x_2 = \dfrac{-1 + 7}{2} = 3$

On revient à l'énoncé. Une largeur est positive, donc $x = -4$ est à rejeter. On garde $x = 3$.

Conclusion rédigée. La largeur mesure $3\ \text{m}$ et la longueur $3 + 1 = 4\ \text{m}$. Vérification : $3 \times 4 = 12\ \text{m}^2$. Le correcteur veut voir précisément ce retour au contexte et le rejet justifié de la solution négative.

D'où sort la formule ? La forme canonique

La formule des racines n'est pas magique : elle vient d'une technique appelée forme canonique, qui consiste à faire apparaître un carré. Sur $ax^2 + bx + c$, on met $a$ en facteur puis on complète le carré :

$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]$

Tu reconnais $b^2 - 4ac$ au numérateur : c'est exactement $\Delta$. Résoudre $ax^2 + bx + c = 0$ revient alors à

$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$

Et tout s'explique : si $\Delta \gt 0$, on prend la racine carrée des deux côtés et on obtient $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$, le carré vaut $0$ et il ne reste qu'une seule valeur ; si $\Delta \lt 0$, un carré ne peut pas être négatif, donc aucune solution. La formule que tu appliques n'est que le résultat de ce calcul, fait une fois pour toutes. Cette forme donne au passage le sommet de la parabole, situé sur l'axe de symétrie $x = \dfrac{-b}{2a}$.

Somme, produit et signe du trinôme

Deux prolongements très utiles, encore au programme de première.

Somme et produit des racines. Quand $\Delta \geq 0$, les deux racines vérifient

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$

Pratique pour vérifier tes racines, ou même les deviner : pour $x^2 - 5x + 6$, on cherche deux nombres de somme $5$ et de produit $6$… ce sont $2$ et $3$, sans même calculer $\Delta$.

Signe du trinôme. La factorisation débloque une autre question : le trinôme est-il positif ou négatif ? Règle à retenir : un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé entre les racines lorsque $\Delta \gt 0$. C'est la base de la résolution des inéquations du second degré.

L'an prochain : le retour des solutions

Reste la frustration du cas $\Delta \lt 0$ : « aucune solution ». En terminale, on invente un nombre, noté $i$, tel que $i^2 = -1$. Avec lui, un carré peut devenir négatif, et des équations comme $x^2 + x + 1 = 0$ retrouvent deux solutions, appelées nombres complexes.

Autrement dit, $\Delta \lt 0$ ne signifie pas « pas de solution » pour toujours : cela veut dire « pas de solution parmi les réels ». C'est un bel exemple d'idée qui revient l'année suivante avec des outils plus puissants. La parabole, elle, ne coupe toujours pas l'axe des abscisses — mais l'algèbre, si.