Suites arithmétiques et géométriques — Exercices

Application directe, terme général, sommes et problème concret. Corrigé complet en fin de fiche.

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1Suite arithmétique — terme général et somme/ 5 pts

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 7$ et de raison $r = -4$.

Calculer $u_5$ et $u_{10}$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $S_8$, la somme des 8 premiers termes.

2Suite géométrique — terme général et somme/ 5 pts

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_1 = 5$ et de raison $q = 2$.

Calculer $v_4$ et $v_6$.
Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer $T_6$, la somme des 6 premiers termes.

3Identifier la suite/ 4 pts

On considère la suite $(w_n)$ définie par : $w_1 = 1$, $w_2 = 4$, $w_3 = 7$, $w_4 = 10$.

Montrer que $(w_n)$ est arithmétique. Préciser la raison $r$.
Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
Le nombre 100 est-il un terme de $(w_n)$ ? Justifier.

4Retrouver une suite à partir de deux termes/ 5 pts

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_7 = 27$.

Écrire un système de deux équations en $u_1$ et $r$, puis le résoudre.
En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer $S_{20}$, la somme des 20 premiers termes.

5Chiffre d'affaires en croissance/ 6 pts

Le chiffre d'affaires d'une entreprise est de 200 000 € la première année et augmente de 8 % chaque année.

Montrer que le chiffre d'affaires forme une suite géométrique. Préciser $v_1$ et $q$.
Calculer le chiffre d'affaires de la 5e année (arrondir à l'euro).
Calculer le chiffre d'affaires cumulé sur les 5 premières années (arrondir à l'euro).

Corrigé détaillé

1Suite arithmétique — terme général et somme

a) $u_5$ $u_5 = u_1 + 4r = 7 + 4 \times (-4) = 7 - 16 =$ $-9$

a) $u_{10}$ $u_{10} = u_1 + 9r = 7 + 9 \times (-4) = 7 - 36 =$ $-29$

b) $u_n = 7 + (n-1) \times (-4) = 7 - 4n + 4 =$ $11 - 4n$

c) $u_8 = 11 - 4 \times 8 = -21 \quad \Rightarrow \quad S_8 = \dfrac{8 \times (u_1 + u_8)}{2} = \dfrac{8 \times (7 + (-21))}{2} = \dfrac{8 \times (-14)}{2} =$ $-56$

2Suite géométrique — terme général et somme

a) $v_4$ $v_4 = v_1 \cdot q^{3} = 5 \times 2^3 = 5 \times 8 =$ $40$

a) $v_6$ $v_6 = v_1 \cdot q^{5} = 5 \times 2^5 = 5 \times 32 =$ $160$

b) $v_n = v_1 \cdot q^{n-1} =$ $5 \times 2^{n-1}$

c) $T_6 = v_1 \cdot \dfrac{1 - q^6}{1 - q} = 5 \times \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} = 5 \times \dfrac{1 - 64}{-1} = 5 \times 63 =$ $315$

3Identifier la suite

a) $w_2 - w_1 = 4 - 1 = 3 \quad w_3 - w_2 = 7 - 4 = 3 \quad w_4 - w_3 = 10 - 7 = 3$ $\text{Différences consécutives constantes} \Rightarrow (w_n) \text{ arithmétique, } r = 3$

b) $w_n = 1 + (n-1) \times 3 = 1 + 3n - 3 =$ $3n - 2$

c) $3n - 2 = 100 \Rightarrow 3n = 102 \Rightarrow n = 34$ $\text{Oui : } 100 = w_{34} \text{ (rang 34)}$

4Retrouver une suite à partir de deux termes

a) $\begin{cases} u_1 + 2r = 11 \\ u_1 + 6r = 27 \end{cases} \Rightarrow 4r = 16 \Rightarrow r = 4 \quad ; \quad u_1 = 11 - 2 \times 4 = 3$ $r = 4, \quad u_1 = 3$

b) $u_n = 3 + (n-1) \times 4 = 3 + 4n - 4 =$ $4n - 1$

c) $u_{20} = 4 \times 20 - 1 = 79 \quad \Rightarrow \quad S_{20} = \dfrac{20 \times (3 + 79)}{2} = \dfrac{20 \times 82}{2} = 10 \times 82 =$ $820$

5Chiffre d'affaires en croissance

a) $v_{n+1} = 1{,}08 \times v_n \text{ (multiplication constante par } 1{,}08 \text{)}$ $\text{Suite géométrique}, \quad v_1 = 200\,000 \text{ €}, \quad q = 1{,}08$

b) $v_5 = 200\,000 \times 1{,}08^{4} = 200\,000 \times 1{,}3605 \approx$ $272\,098 \text{ €}$

c) $S_5 = 200\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}08^5}{1 - 1{,}08} = 200\,000 \times \dfrac{1 - 1{,}4693}{-0{,}08} = 200\,000 \times 5{,}866 \approx$ $1\,173\,320 \text{ €}$