Pas de panique. Une suite, c'est juste une liste de nombres qui se suivent avec une règle. On va voir les deux règles les plus simples : ajouter toujours le même nombre, ou multiplier toujours par le même nombre. Avec ça, tu pourras déjà calculer un terme et une somme pour le contrôle.
Prérequis : ce qu'il faut savoir faire avant
Pour manipuler les suites, tu dois être à l'aise avec :
- Les opérations de base : addition, soustraction, multiplication, division, puissances (par exemple $2^3 = 8$).
- La notation indicée : $u_1$ c'est le premier terme, $u_2$ le deuxième, $u_n$ le terme de rang $n$. Le petit chiffre en bas, c'est le numéro du terme.
- Résoudre une petite équation du type $3n - 2 = 100$ pour retrouver un rang.
L'idée : deux familles de suites
Une suite arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison.
Formule clé : $u_{n+1} = u_n + r$.
Une suite géométrique : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul $q$, appelé raison.
Formule clé : $u_{n+1} = q \times u_n$.
Formules express pour le contrôle
Suite arithmétique
- Terme général : $u_n = u_1 + (n-1) \times r$
- Somme des $n$ premiers termes : $S_n = n \times \dfrac{u_1 + u_n}{2}$
Suite géométrique (avec $q
e 1$)
- Terme général : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$
- Somme des $n$ premiers termes : $S_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$
Si $q = 1$, la somme est juste $S_n = n \times u_1$ (tous les termes sont égaux).
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Reconnaître la famille. Complète avec le bon mot et la bonne opération.
a) On passe de 5 à 8, puis de 8 à 11. On a fait $+\underline{\hspace{1.1em}}$ à chaque fois. C'est une suite $\underline{\hspace{1.1em}}$. La raison est $r = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) On passe de 3 à 6, puis de 6 à 12. On a fait $\times \underline{\hspace{1.1em}}$ à chaque fois. C'est une suite $\underline{\hspace{1.1em}}$. La raison est $q = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) On passe de 5 à 8, puis de 8 à 11. On a fait $+3$ à chaque fois. C'est une suite arithmétique. La raison est $r = 3$.
b) On passe de 3 à 6, puis de 6 à 12. On a fait $\times 2$ à chaque fois. C'est une suite géométrique. La raison est $q = 2$.
2. Exercice 2 — Calculer un terme (suite arithmétique).
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 10$ et de raison $r = 3$.
Complète : $u_4 = u_1 + (\underline{\hspace{1.1em}} - 1) \times r = 10 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 = 10 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_4 = u_1 + (4 - 1) \times r = 10 + 3 \times 3 = 10 + 9 = 19$.
3. Exercice 3 — Calculer un terme (suite géométrique).
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_1 = 2$ et de raison $q = 4$.
Complète : $v_3 = v_1 \times q^{\underline{\hspace{1.1em}} - 1} = 2 \times 4^{\underline{\hspace{1.1em}}} = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$v_3 = v_1 \times q^{3 - 1} = 2 \times 4^{2} = 2 \times 16 = 32$.
Ah oui, c'est ça ! La suite arithmétique, c'est celle où on additionne toujours la même raison. La géométrique, on multiplie toujours par la même raison. On va revoir les formules de terme général et de somme, et surtout la méthode pour ne pas se tromper entre $n$ et $n-1$.
Rappel structuré
Suite arithmétique
- Définition : $u_{n+1} = u_n + r$
- Terme général : $u_n = u_1 + (n-1)r$
- Somme : $S_n = \dfrac{n \times (u_1 + u_n)}{2}$
Suite géométrique
- Définition : $u_{n+1} = q \times u_n$ (avec $q
e 0$) - Terme général : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$
- Somme (si $q
e 1$) : $S_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ - Somme (si $q = 1$) : $S_n = n \times u_1$
Méthode pas-à-pas : identifier une suite
Pour savoir si une suite est arithmétique ou géométrique :
- Calcule les différences entre termes consécutifs : $u_2 - u_1$, $u_3 - u_2$, etc. Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et la raison $r$ est cette différence.
- Si ce n'est pas le cas, calcule les quotients $\dfrac{u_2}{u_1}$, $\dfrac{u_3}{u_2}$, etc. S'ils sont tous égaux et que les termes sont non nuls, la suite est géométrique et la raison $q$ est ce quotient.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Appliquer la formule arithmétique.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_1 = 12$ et de raison $r = -5$.
a) Calcule $u_6$ en complétant : $u_6 = 12 + (\underline{\hspace{1.1em}} - 1) \times (-5) = 12 + \underline{\hspace{1.1em}} \times (-5) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Exprime $u_n$ en fonction de $n$ : $u_n = 12 + (n-1) \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = 12 -5n + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - 5n$.
Corrigé
a) $u_6 = 12 + (6 - 1) \times (-5) = 12 + 5 \times (-5) = 12 - 25 = -13$.
b) $u_n = 12 + (n-1) \times (-5) = 12 -5n + 5 = 17 - 5n$.
2. Exercice 2 — Appliquer la formule géométrique.
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_1 = 3$ et de raison $q = 2$.
a) Calcule $v_5$ en complétant : $v_5 = 3 \times 2^{\underline{\hspace{1.1em}} - 1} = 3 \times 2^{\underline{\hspace{1.1em}}} = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Exprime $v_n$ en fonction de $n$ : $v_n = 3 \times 2^{n-\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
a) $v_5 = 3 \times 2^{5 - 1} = 3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48$.
b) $v_n = 3 \times 2^{n-1}$.
3. Exercice 3 — Somme arithmétique.
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_1 = 4$ et de raison $r = 3$.
Calcule la somme des 10 premiers termes $S_{10}$ en complétant :
D'abord, $u_{10} = 4 + (\underline{\hspace{1.1em}} - 1) \times 3 = 4 + \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Ensuite, $S_{10} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} \times (u_1 + u_{10})}{2} = \dfrac{10 \times (4 + \underline{\hspace{1.1em}})}{2} = \dfrac{10 \times \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
D'abord, $u_{10} = 4 + (10 - 1) \times 3 = 4 + 9 \times 3 = 4 + 27 = 31$.
Ensuite, $S_{10} = \dfrac{10 \times (u_1 + u_{10})}{2} = \dfrac{10 \times (4 + 31)}{2} = \dfrac{10 \times 35}{2} = 175$.
On répète les mêmes gestes cinq fois pour que ça devienne automatique. Calcule un terme, puis un autre, exprime le terme général, calcule une somme. Tu vas voir, c'est toujours pareil.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Suite arithmétique $(u_n)$ avec $u_1 = 5$ et $r = 2$.
Calcule $u_4$ et $S_6$ (somme des 6 premiers termes).
Corrigé
$u_4 = 5 + (4-1)\times 2 = 5 + 6 = 11$.
$u_6 = 5 + (6-1)\times 2 = 5 + 10 = 15$.
$S_6 = \dfrac{6 \times (5 + 15)}{2} = 3 \times 20 = 60$.
2. Exercice 2 — Suite arithmétique $(u_n)$ avec $u_1 = 20$ et $r = -3$.
Calcule $u_5$ et $S_7$.
Corrigé
$u_5 = 20 + (5-1)\times (-3) = 20 - 12 = 8$.
$u_7 = 20 + (7-1)\times (-3) = 20 - 18 = 2$.
$S_7 = \dfrac{7 \times (20 + 2)}{2} = \dfrac{7 \times 22}{2} = 7 \times 11 = 77$.
3. Exercice 3 — Suite géométrique $(v_n)$ avec $v_1 = 1$ et $q = 3$.
Calcule $v_4$ et $T_4$ (somme des 4 premiers termes).
Corrigé
$v_4 = 1 \times 3^{4-1} = 3^3 = 27$.
$T_4 = 1 \times \dfrac{1 - 3^4}{1 - 3} = \dfrac{1 - 81}{-2} = \dfrac{-80}{-2} = 40$.
4. Exercice 4 — Suite géométrique $(v_n)$ avec $v_1 = 4$ et $q = 2$.
Calcule $v_5$ et $T_5$.
Corrigé
$v_5 = 4 \times 2^{5-1} = 4 \times 2^4 = 4 \times 16 = 64$.
$T_5 = 4 \times \dfrac{1 - 2^5}{1 - 2} = 4 \times \dfrac{1 - 32}{-1} = 4 \times 31 = 124$.
5. Exercice 5 — Suite géométrique $(v_n)$ avec $v_1 = 5$ et $q = \frac{1}{2}$.
Calcule $v_3$ et $T_3$.
Corrigé
$v_3 = 5 \times (\frac{1}{2})^{3-1} = 5 \times (\frac{1}{2})^2 = 5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1,25$.
$T_3 = 5 \times \dfrac{1 - (\frac{1}{2})^3}{1 - \frac{1}{2}} = 5 \times \dfrac{1 - \frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = 5 \times \dfrac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{2}} = 5 \times \frac{7}{4} = \frac{35}{4} = 8,75$.
Maintenant, on mélange tout : identifier la nature d'une suite, retrouver la raison et le premier terme à partir de deux termes, résoudre un petit problème concret. C'est le niveau contrôle.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Identifier une suite.
On considère la suite $(w_n)$ définie par : $w_1 = 2$, $w_2 = 6$, $w_3 = 10$, $w_4 = 14$.
a) Montrer que $(w_n)$ est arithmétique. Préciser la raison $r$.
b) Exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
c) Le nombre 2026 est-il un terme de $(w_n)$ ? Justifier.
Corrigé
a) $w_2 - w_1 = 6 - 2 = 4$, $w_3 - w_2 = 10 - 6 = 4$, $w_4 - w_3 = 14 - 10 = 4$. Les différences sont constantes, donc $(w_n)$ est arithmétique de raison $r = 4$.
b) $w_n = w_1 + (n-1)r = 2 + (n-1)\times 4 = 2 + 4n - 4 = 4n - 2$.
c) On résout $4n - 2 = 2026 \Rightarrow 4n = 2028 \Rightarrow n = 507$. Comme $507$ est un entier naturel non nul, 2026 est le terme $w_{507}$.
2. Exercice 2 — Retrouver une suite à partir de deux termes.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_5 = 17$ et $u_9 = 29$.
a) Écrire un système de deux équations en $u_1$ et $r$, puis le résoudre.
b) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
c) Calculer $S_{15}$, la somme des 15 premiers termes.
Corrigé
a) $u_5 = u_1 + 4r = 17$ et $u_9 = u_1 + 8r = 29$. Par soustraction : $4r = 12 \Rightarrow r = 3$. Puis $u_1 = 17 - 4\times 3 = 5$.
b) $u_n = 5 + (n-1)\times 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$.
c) $u_{15} = 3\times 15 + 2 = 47$. $S_{15} = \dfrac{15 \times (5 + 47)}{2} = \dfrac{15 \times 52}{2} = 15 \times 26 = 390$.
3. Exercice 3 — Retrouver une suite géométrique.
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison positive telle que $v_3 = 18$ et $v_5 = 162$.
a) Écrire un système liant $v_1$ et $q$, puis le résoudre.
b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
c) Calculer $T_6$, la somme des 6 premiers termes.
Corrigé
a) $v_3 = v_1 \times q^2 = 18$ et $v_5 = v_1 \times q^4 = 162$. En divisant : $\dfrac{v_5}{v_3} = q^2 = \dfrac{162}{18} = 9$. Comme $q>0$, $q = 3$. Puis $v_1 = \dfrac{18}{3^2} = \dfrac{18}{9} = 2$.
b) $v_n = 2 \times 3^{n-1}$.
c) $T_6 = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{1 - 729}{-2} = 2 \times \dfrac{-728}{-2} = 2 \times 364 = 728$.
4. Exercice 4 — Problème concret.
Une entreprise a un chiffre d'affaires de 150 000 € la première année. Il augmente de 5 % chaque année.
a) Montrer que le chiffre d'affaires annuel forme une suite géométrique. Préciser $v_1$ et $q$.
b) Calculer le chiffre d'affaires de la 4e année (arrondir à l'euro).
c) Calculer le chiffre d'affaires cumulé sur les 4 premières années (arrondir à l'euro).
Corrigé
a) Augmenter de 5 %, c'est multiplier par $1 + \frac{5}{100} = 1,05$. Donc $v_{n+1} = 1,05 \times v_n$. $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_1 = 150\,000$ et de raison $q = 1,05$.
b) $v_4 = 150\,000 \times 1,05^{4-1} = 150\,000 \times 1,05^3$. $1,05^3 = 1,157625$. $v_4 = 150\,000 \times 1,157625 = 173\,643,75$. Arrondi : 173 644 €.
c) $T_4 = 150\,000 \times \dfrac{1 - 1,05^4}{1 - 1,05} = 150\,000 \times \dfrac{1 - 1,21550625}{-0,05}$. $1 - 1,21550625 = -0,21550625$. $T_4 = 150\,000 \times \dfrac{-0,21550625}{-0,05} = 150\,000 \times 4,310125 = 646\,518,75$. Arrondi : 646 519 €.
5. Exercice 5 — Sens direct et réciproque.
a) Sens direct : Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r=4$ et de premier terme $u_1=10$. Calcule $u_{20}$.
b) Réciproque : On donne une suite $(a_n)$ telle que $a_1=2$, $a_2=5$, $a_3=8$. Montre qu'elle est arithmétique et donne sa raison.
Corrigé
a) $u_{20} = 10 + (20-1)\times 4 = 10 + 19\times 4 = 10 + 76 = 86$.
b) $a_2 - a_1 = 5-2=3$, $a_3 - a_2 = 8-5=3$. La différence est constante, donc $(a_n)$ est arithmétique de raison $r=3$.
L'année prochaine, tu verras que les suites peuvent être définies par récurrence ($u_{n+1}=f(u_n)$), pas seulement par une formule explicite. On va aussi étudier leur limite, leur variation, et les liens avec les fonctions. Ici, on va déjà manipuler des suites un peu plus abstraites et réfléchir à leur sens de variation.
À toi de jouer
1. Exercice 1 — Suite arithmético-géométrique (aperçu).
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 2$ et pour tout $n \ge 1$, $u_{n+1} = 0,5 u_n + 3$.
a) Calcule $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
b) Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier par des calculs de différences et de quotients.
c) On pose $v_n = u_n - 6$. Montre que $(v_n)$ est géométrique (calcule $v_{n+1}/v_n$).
Corrigé
a) $u_2 = 0,5\times 2 + 3 = 4$. $u_3 = 0,5\times 4 + 3 = 5$. $u_4 = 0,5\times 5 + 3 = 5,5$.
b) Différences : $u_2 - u_1 = 2$, $u_3 - u_2 = 1$, $u_4 - u_3 = 0,5$. Pas constantes, donc pas arithmétique. Quotients : $u_2/u_1 = 2$, $u_3/u_2 = 1,25$. Pas constants, donc pas géométrique.
c) $v_1 = 2 - 6 = -4$. $v_2 = 4 - 6 = -2$. $v_3 = 5 - 6 = -1$. $v_4 = 5,5 - 6 = -0,5$. $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = 0,5 u_n + 3 - 6 = 0,5 u_n - 3 = 0,5(u_n - 6) = 0,5 v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,5$.
2. Exercice 2 — Sens de variation d'une suite.
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = -2$ et de premier terme $u_1 = 10$.
a) Calcule $u_2$, $u_3$, $u_4$.
b) La suite est-elle croissante ou décroissante ? Justifie en étudiant le signe de $u_{n+1} - u_n$.
c) Même question pour une suite géométrique de premier terme $v_1 = 3$ et de raison $q = 1,2$.
Corrigé
a) $u_2 = 10 - 2 = 8$, $u_3 = 8 - 2 = 6$, $u_4 = 6 - 2 = 4$.
b) $u_{n+1} - u_n = r = -2 < 0$ pour tout $n$. La suite est donc strictement décroissante.
c) $v_{n+1} - v_n = v_n(q - 1) = v_n \times 0,2$. Comme $v_1 = 3 > 0$ et $q > 1$, tous les termes sont positifs. Donc $v_{n+1} - v_n > 0$ : la suite est strictement croissante.
3. Exercice 3 — Somme et notation Sigma (aperçu).
On note $\sum_{k=1}^{n} u_k$ la somme des termes $u_1$ à $u_n$.
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de premier terme $u_1 = 7$ et de raison $r = 3$.
a) Calcule $\sum_{k=1}^{5} u_k$ en utilisant la formule de somme.
b) Vérifie en calculant $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5$ terme à terme.
Corrigé
a) $u_5 = 7 + 4\times 3 = 19$. $\sum_{k=1}^{5} u_k = \dfrac{5 \times (7 + 19)}{2} = \dfrac{5 \times 26}{2} = 65$.
b) $u_1=7$, $u_2=10$, $u_3=13$, $u_4=16$, $u_5=19$. Somme : $7+10+13+16+19 = 65$. Les deux méthodes donnent bien le même résultat.