Suites arithmétiques et géométriques

Addition constante ou multiplication constante : deux familles aux formules puissantes pour le terme général et les sommes.

1 L'idée

Une suite est une liste ordonnée de nombres réels $(u_n)$, indicée par les entiers $n \ge 1$. Le nombre $u_n$ est le terme de rang $n$.

Une suite est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$, appelé raison : $u_{n+1} = u_n + r$.

Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul $q$, appelé raison : $u_{n+1} = q \times u_n$.

2 Suite arithmétique

Définition

$u_{n+1} = u_n + r$

Terme général

$u_n = u_1 + (n-1) \cdot r$

Somme des n premiers termes

$S_n = \dfrac{n \cdot (u_1 + u_n)}{2}$

3 Suite géométrique

Définition

$u_{n+1} = u_n \times q \quad (q \ne 0)$

Terme général

$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

Somme (q ≠ 1)

$S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$

Somme si q = 1

$S_n = n \cdot u_1$

4 Exemples

Suite arithmétique — $u_1 = 3$, $r = 5$

Terme général : $u_n = 3 + (n-1) \times 5 = 5n - 2$.

$u_{10} = 5 \times 10 - 2 = 48$.

Somme des 10 premiers termes : $S_{10} = \dfrac{10 \times (3 + 48)}{2} = \dfrac{510}{2} = 255$.

Suite géométrique — $u_1 = 2$, $q = 3$

Terme général : $u_n = 2 \times 3^{n-1}$.

$u_5 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162$.

Somme des 5 premiers termes : $S_5 = 2 \times \dfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{-242}{-2} = 2 \times 121 = 242$.

Méthode — identifier et exploiter une suite

Calculer les différences consécutives $u_2 - u_1$, $u_3 - u_2$, $u_4 - u_3$, … Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique et $r$ est cette valeur commune.
Calculer les quotients consécutifs $\dfrac{u_2}{u_1}$, $\dfrac{u_3}{u_2}$, … Si ils sont tous égaux et les termes sont non nuls, la suite est géométrique et $q$ est cette valeur.
Pour retrouver $u_1$ et la raison à partir de deux termes connus (ex. $u_p$ et $u_q$), écrire deux équations et résoudre le système.
Pour la somme $S_n$, identifier $n$ (nombre de termes), $u_1$ (premier terme) et $u_n$ (dernier terme), puis appliquer la formule adaptée.

Erreurs fréquentes

Suite arithmétique : $u_n = u_1 + (n-1) \cdot r$, pas $u_1 + n \cdot r$. Entre le rang 1 et le rang $n$, il y a $n - 1$ pas, pas $n$.
Suite géométrique : $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$, pas $u_1 \cdot q^n$.
Somme arithmétique : ne pas oublier le facteur $n$ — $S_n = n \times \dfrac{u_1 + u_n}{2}$, pas $\dfrac{u_1 + u_n}{2}$ seul.
Somme géométrique : la formule $\dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ est invalide si $q = 1$. Dans ce cas, $S_n = n \cdot u_1$.