Suites arithmétiques et géométriques

Les prérequis (rien de méchant)

Avant de te lancer, vérifie que tu es à l'aise avec ces trois petits gestes :

• Les puissances : savoir que $3^4 = 3\times 3\times 3\times 3 = 81$. On en aura besoin pour les suites géométriques.
• Remplacer une lettre par un nombre : si $u_n = 5n-2$, alors $u_{10}$ veut dire « je remplace $n$ par $10$ », donc $5\times 10 - 2$.
• La notation $u_n$ : le petit $n$ en bas indique la place (le rang). $u_1$ est le premier nombre de la liste, $u_2$ le deuxième, et ainsi de suite.

C'est tout. Si ces trois points te parlent, tu peux avancer sereinement.

L'essentiel : deux familles, quatre formules

Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres. Le terme $u_n$ est le nombre de rang $n$.

Suite arithmétique : pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours le même nombre $r$ (la raison). Règle : $u_{n+1} = u_n + r$. Comme des marches d'escalier toutes de la même hauteur (voir le schéma).

Suite géométrique : pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours par le même nombre $q$ (la raison, non nulle). Règle : $u_{n+1} = q\times u_n$.

Les quatre formules à avoir en poche :

• Arithmétique, terme général : $u_n = u_1 + (n-1)\,r$
• Arithmétique, somme des $n$ premiers termes : $S_n = \dfrac{n\,(u_1 + u_n)}{2}$
• Géométrique, terme général : $u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$
• Géométrique, somme des $n$ premiers termes (quand $q \neq 1$) : $S_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$

Un exemple, du début à la fin

Prenons une suite arithmétique avec $u_1 = 3$ et une raison $r = 5$ (on ajoute $5$ à chaque fois : $3,\ 8,\ 13,\ 18,\dots$).

1. Le terme général. On applique $u_n = u_1 + (n-1)\,r$ :

$u_n = 3 + (n-1)\times 5$

$u_n = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$

2. Le terme de rang 10. On remplace $n$ par $10$ :

$u_{10} = 5\times 10 - 2 = 48$

3. La somme des 10 premiers termes. On a $n = 10$, $u_1 = 3$ et $u_{10} = 48$ :

$S_{10} = \dfrac{10\times(3 + 48)}{2} = \dfrac{10\times 51}{2} = \dfrac{510}{2} = 255$

Voilà : terme général, un terme précis, et une somme. Si tu sais refaire ces trois gestes, tu as déjà de quoi affronter le contrôle.

Vocabulaire et définitions propres

Une suite $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres réels, indexée par les entiers $n \geq 1$. Le nombre $u_n$ s'appelle le terme de rang $n$.

Deux familles se distinguent par la façon de passer d'un terme au suivant :

• Une suite est arithmétique si l'écart entre deux termes consécutifs est constant : $u_{n+1} = u_n + r$. Le nombre $r$ est la raison (le nombre qu'on ajoute).
• Une suite est géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant : $u_{n+1} = q\times u_n$, avec $q \neq 0$. Le nombre $q$ est la raison (le nombre par lequel on multiplie).

La différence tient en un mot : addition constante d'un côté, multiplication constante de l'autre. Le schéma ci-dessous montre les deux côte à côte.

Suite arithmétique : terme général et somme

Terme général. Pour aller du rang $1$ au rang $n$, on fait $(n-1)$ pas de $+r$. On ajoute donc $r$ exactement $(n-1)$ fois :

$u_n = u_1 + (n-1)\,r$

Somme des $n$ premiers termes. Elle vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier :

$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \dfrac{n\,(u_1 + u_n)}{2}$

La méthode pas à pas :

• Repérer $u_1$ (le premier terme) et $r$ (la raison).
• Écrire le terme général, puis le développer si on veut une forme simplifiée.
• Pour une somme : identifier $n$, $u_1$ et $u_n$, puis appliquer la formule.

Exemple traité. Avec $u_1 = 3$ et $r = 5$ :

$u_n = 3 + (n-1)\times 5 = 5n - 2$

$u_{10} = 5\times 10 - 2 = 48$, puis $S_{10} = \dfrac{10\,(3 + 48)}{2} = 255$.

Suite géométrique : terme général et somme

Terme général. Pour aller du rang $1$ au rang $n$, on multiplie $(n-1)$ fois par $q$ :

$u_n = u_1 \times q^{\,n-1}$

Somme des $n$ premiers termes. Il faut distinguer deux cas selon la valeur de $q$ :

• Si $q \neq 1$ : $\ S_n = u_1 \times \dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$
• Si $q = 1$ : tous les termes valent $u_1$, donc $\ S_n = n\times u_1$

Exemple traité. Avec $u_1 = 2$ et $q = 3$ (donc $2,\ 6,\ 18,\ 54,\dots$) :

$u_n = 2\times 3^{\,n-1}$

$u_5 = 2\times 3^{4} = 2\times 81 = 162$

$S_5 = 2\times \dfrac{1 - 3^{5}}{1 - 3} = 2\times \dfrac{1 - 243}{-2} = 2\times \dfrac{-242}{-2} = 2\times 121 = 242$

On le fait ensemble : une suite arithmétique

Énoncé : la suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_1 = 3$ et de raison $r = 5$. On veut $u_n$, puis $u_{10}$, puis $S_{10}$.

Ligne 1 — on repère. Premier terme $u_1 = 3$ ; raison $r = 5$ (on ajoute $5$ à chaque étape).

Ligne 2 — on cite la formule. Terme général d'une suite arithmétique : $u_n = u_1 + (n-1)\,r$.

Ligne 3 — on remplace. $u_n = 3 + (n-1)\times 5$.

Ligne 4 — on développe. $u_n = 3 + 5n - 5 = 5n - 2$.

Ligne 5 — on vérifie. $u_1 = 5\times 1 - 2 = 3$ : c'est bien le premier terme annoncé, la formule est cohérente.

Ligne 6 — on calcule $u_{10}$. On remplace $n$ par $10$ : $u_{10} = 5\times 10 - 2 = 48$.

Ligne 7 — la somme. Pour $S_{10}$ il faut $n = 10$, $u_1 = 3$, $u_{10} = 48$, puis :

$S_{10} = \dfrac{10\,(3 + 48)}{2} = \dfrac{10\times 51}{2} = 255$.

On le fait ensemble : une suite géométrique

Énoncé : la suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $q = 3$. On veut $u_n$, puis $u_5$, puis $S_5$.

Ligne 1 — on repère. Premier terme $u_1 = 2$ ; raison $q = 3$ (on multiplie par $3$ à chaque étape).

Ligne 2 — on cite la formule. Terme général d'une suite géométrique : $u_n = u_1\times q^{\,n-1}$.

Ligne 3 — on remplace. $u_n = 2\times 3^{\,n-1}$.

Ligne 4 — on calcule $u_5$. On remplace $n$ par $5$, donc l'exposant vaut $5-1 = 4$ : $u_5 = 2\times 3^{4} = 2\times 81 = 162$.

Ligne 5 — la somme. Comme $q = 3 \neq 1$, on utilise $S_n = u_1\dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$ avec $n = 5$ :

$S_5 = 2\times \dfrac{1 - 3^{5}}{1 - 3}$

Ligne 6 — attention aux signes. $3^{5} = 243$, donc le numérateur est $1 - 243 = -242$ et le dénominateur $1 - 3 = -2$ :

$S_5 = 2\times \dfrac{-242}{-2} = 2\times 121 = 242$.

Un moins divisé par un moins redonne un plus : c'est là qu'on perd souvent des points, alors on garde l'œil ouvert.

On le fait ensemble : arithmétique ou géométrique ?

Souvent l'énoncé donne juste les premiers termes et te demande de reconnaître la nature de la suite. Deux réflexes : regarder les différences et les quotients.

Cas A — la suite $4,\ 7,\ 10,\ 13,\dots$

Différences consécutives : $7 - 4 = 3$, $10 - 7 = 3$, $13 - 10 = 3$. Elles sont toutes égales à $3$.

Conclusion : la suite est arithmétique de raison $r = 3$ (et $u_1 = 4$).

Cas B — la suite $5,\ 10,\ 20,\ 40,\dots$

Les différences ($5,\ 10,\ 20$) ne sont pas constantes : ce n'est pas arithmétique. On teste les quotients : $\dfrac{10}{5} = 2$, $\dfrac{20}{10} = 2$, $\dfrac{40}{20} = 2$. Tous égaux à $2$.

Conclusion : la suite est géométrique de raison $q = 2$ (et $u_1 = 5$).

La bonne habitude : si les différences sont constantes → arithmétique ; sinon, si les quotients sont constants (et les termes non nuls) → géométrique.

Retrouver $u_1$ et la raison à partir de deux termes

Configuration classique : on te donne deux termes qui ne sont pas au début, et il faut remonter à $u_1$ et à la raison.

Version arithmétique. On sait que $u_3 = 11$ et $u_7 = 27$. Trouver $r$ puis $u_1$.

Entre le rang $3$ et le rang $7$ il y a $7 - 3 = 4$ pas de $+r$, donc $u_7 = u_3 + 4r$ :

$27 = 11 + 4r \ \Longrightarrow\ 4r = 16 \ \Longrightarrow\ r = 4$.

On revient à $u_1$ avec $u_3 = u_1 + 2r$ : $\ 11 = u_1 + 2\times 4 = u_1 + 8 \ \Longrightarrow\ u_1 = 3$.

Terme général : $u_n = 3 + (n-1)\times 4 = 4n - 1$. Vérif : $u_7 = 4\times 7 - 1 = 27$, c'est bon.

Version géométrique. On sait que $u_2 = 6$ et $u_4 = 54$. On fait le rapport pour éliminer $u_1$ :

$\dfrac{u_4}{u_2} = q^{\,4-2} = q^{2} = \dfrac{54}{6} = 9$.

Subtilité à connaître : $q^{2} = 9$ donne deux valeurs possibles, $q = 3$ ou $q = -3$. L'énoncé tranche presque toujours (par exemple « tous les termes sont positifs » impose $q = 3$, d'où $u_1 = \dfrac{u_2}{q} = 2$).

Un problème concret entièrement rédigé

Problème (situation arithmétique). Une salle de spectacle a $20$ sièges au premier rang, puis $3$ sièges de plus à chaque rang suivant. Combien de sièges au rang $15$ ? Combien de sièges en tout sur les $15$ premiers rangs ?

Modélisation. Notons $u_n$ le nombre de sièges au rang $n$. On ajoute $3$ à chaque rang : la suite est arithmétique de premier terme $u_1 = 20$ et de raison $r = 3$.

Rang 15. $u_{15} = u_1 + (15-1)\,r = 20 + 14\times 3 = 20 + 42 = 62$ sièges.

Total sur 15 rangs. $S_{15} = \dfrac{15\,(u_1 + u_{15})}{2} = \dfrac{15\times(20 + 62)}{2} = \dfrac{15\times 82}{2} = 615$ sièges.

Variante géométrique (même logique). Une culture de bactéries triple chaque heure ; au départ il y en a $50$. On pose $u_1 = 50$ (au départ) et $u_n$ le nombre après $(n-1)$ heures : la suite est géométrique de raison $q = 3$. Attention au décalage de rang : « après $5$ heures » correspond à $u_6$.

$u_6 = 50\times 3^{5} = 50\times 243 = 12\,150$ bactéries.

Ce que le correcteur attend :

• Une phrase de modélisation qui justifie la nature de la suite et donne $u_1$ et la raison.
• La formule citée avant le calcul (terme général ou somme).
• Le calcul détaillé, puis une phrase de conclusion avec l'unité (sièges, bactéries…).

Les pièges qui coûtent des points

Les erreurs les plus fréquentes, et comment les éviter :

• L'exposant $(n-1)$, pas $n$. Arithmétique : $u_n = u_1 + (n-1)r$, pas $u_1 + nr$. Entre le rang $1$ et le rang $n$, il y a $n-1$ pas.
• La puissance $q^{\,n-1}$, pas $q^{\,n}$. Géométrique : $u_n = u_1\times q^{\,n-1}$.
• Ne pas oublier le facteur $n$ dans la somme arithmétique. $S_n = n\times \dfrac{u_1 + u_n}{2}$, pas $\dfrac{u_1 + u_n}{2}$ tout seul.
• Le cas $q = 1$. La formule $\dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$ divise par $1 - q$ : interdite si $q = 1$. Dans ce cas, tous les termes valent $u_1$ et $S_n = n\times u_1$.
• Les deux valeurs de $q$. Quand tu obtiens $q^{2} = 9$ (puissance paire), pense à $q = 3$ et $q = -3$ ; garde celle que l'énoncé autorise.
• La raison $q$ non nulle. Une suite géométrique a $q \neq 0$ par définition.

Pourquoi ces formules ? (petites justifications)

Le terme général. Il vient d'un comptage de pas. Arithmétique : de $u_1$ à $u_n$ on ajoute $r$ exactement $(n-1)$ fois, d'où $u_n = u_1 + (n-1)r$. Géométrique : on multiplie par $q$ exactement $(n-1)$ fois, d'où $u_n = u_1\times q^{\,n-1}$. L'an prochain, on justifiera ça proprement par récurrence.

La somme arithmétique — l'astuce de Gauss. On écrit la somme, puis la même somme à l'envers, et on additionne terme à terme :

$S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$

$S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_1$

Chaque paire vaut $u_1 + u_n$, et il y en a $n$, donc $2S_n = n\,(u_1 + u_n)$, d'où $S_n = \dfrac{n\,(u_1 + u_n)}{2}$. Le schéma illustre l'appariement sur $1+2+3+4+5+6$.

La somme géométrique — l'astuce du décalage. On calcule $S_n - qS_n$ : presque tout se télescope.

$S_n = u_1 + u_1q + u_1q^{2} + \dots + u_1q^{\,n-1}$

$qS_n = \phantom{u_1 + {}} u_1q + u_1q^{2} + \dots + u_1q^{\,n-1} + u_1q^{\,n}$

Par différence : $S_n - qS_n = u_1 - u_1q^{\,n} = u_1(1 - q^{\,n})$, donc $S_n(1 - q) = u_1(1 - q^{\,n})$ et $S_n = u_1\dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$. On voit ici pourquoi $q = 1$ est interdit : on diviserait par $1 - q = 0$.

Comportement : croissance, décroissance, explosion

Une fois le terme général connu, on peut lire le comportement de la suite.

Arithmétique. Le signe de la raison décide de tout : si $r > 0$ la suite est croissante, si $r < 0$ elle est décroissante, si $r = 0$ elle est constante. Comme $u_n = u_1 + (n-1)r$ est une expression affine en $n$, les points sont alignés : c'est la version discrète de la croissance linéaire.

Géométrique (avec $u_1 > 0$). Tout dépend de $q$ : si $q > 1$ la suite croît et « explose » (croissance exponentielle) ; si $0 < q < 1$ elle décroît et se rapproche de $0$ ; si $q = 1$ elle est constante ; si $q < 0$ elle alterne entre valeurs positives et négatives. Le graphe n'est plus une droite mais une courbe qui grimpe de plus en plus vite.

Le schéma compare les deux : points alignés pour l'arithmétique, courbe qui s'envole pour la géométrique.

Où ça te réattend (liens et ouverture)

Dès cette année. Les suites arithmétiques et géométriques sont exactement les modèles discrets de croissance linéaire et exponentielle que tu croises ailleurs en 1re. La géométrique est aussi la cousine discrète de la fonction exponentielle.

L'an prochain (terminale). Trois prolongements t'attendent :

• Les limites de suites : que devient $u_n$ quand $n$ devient très grand ? Une géométrique avec $|q| < 1$ tend vers $0$ ; avec $q > 1$ elle tend vers $+\infty$.
• La somme infinie : quand $|q| < 1$, comme $q^{\,n}$ tend vers $0$, la somme $S_n = u_1\dfrac{1 - q^{\,n}}{1 - q}$ se rapproche de $\dfrac{u_1}{1 - q}$. Par exemple $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dots = \dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{2}} = 2$.
• Le raisonnement par récurrence : l'outil qui démontre rigoureusement les formules du terme général que l'on a admises ici.

Autrement dit, ce que tu apprends aujourd'hui n'est pas un chapitre isolé : c'est la première marche d'un escalier qui monte jusqu'aux limites et aux séries.