Pas de panique. Une suite numérique, c'est juste une liste infinie de nombres qu'on range dans des cases numérotées. Pour être fonctionnel rapidement, on va réactiver deux prérequis : les fonctions (tu sais calculer l'image d'un nombre) et le calcul littéral (remplacer une lettre par une valeur, développer, réduire). On part de zéro, on lit la fiche, et tu verras que ça va tout seul. On le fait ensemble.
Prérequis : fonctions et calcul littéral
Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ une image $f(x)$. Exemple : si $f(x)=2x+3$, alors $f(0)=3$, $f(1)=5$, $f(2)=7$.
Pour une suite explicite, le principe est le même : $u_n$ est l'image de $n$ par une fonction. On écrit $u_n = f(n)$. Le rang $n$ est un entier naturel (0, 1, 2, 3...).
Le calcul littéral sert à manipuler des expressions avec des lettres. Par exemple, si $u_n = 3n-1$, alors $u_{n+1} = 3(n+1)-1 = 3n+3-1 = 3n+2$. On remplace juste $n$ par $n+1$.
Qu'est-ce qu'une suite numérique ?
Une suite numérique est une liste ordonnée infinie de nombres réels. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
- $u_0$ est le premier terme (rang 0).
- $u_1$ est le deuxième terme (rang 1).
- $u_n$ est le terme de rang $n$.
On définit une suite de deux façons :
Formule explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$.
Exemple : $u_n = 2n+3$. On calcule directement n'importe quel terme.
Relation de récurrence : on donne le premier terme et une relation qui permet de passer d'un terme au suivant.
Exemple : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$. Pour avoir $u_2$, il faut d'abord calculer $u_1$.
Sens de variation : l'idée
Une suite est croissante si chaque terme est plus grand (ou égal) que le précédent : $u_{n+1} \ge u_n$.
Une suite est décroissante si chaque terme est plus petit (ou égal) que le précédent : $u_{n+1} \le u_n$.
Une suite est constante si tous les termes sont égaux : $u_{n+1} = u_n$.
Pour le prouver, on étudie le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.
À toi de jouer
1. On considère la suite définie par $u_n = 2n + 5$ pour $n \ge 0$.
Complète les calculs des premiers termes.
$u_0 = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_1 = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_2 = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_3 = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$u_0 = 2 \times 0 + 5 = 5$
$u_1 = 2 \times 1 + 5 = 7$
$u_2 = 2 \times 2 + 5 = 9$
$u_3 = 2 \times 3 + 5 = 11$
2. On considère la suite définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = u_n + 3$.
Complète les calculs des termes suivants.
$u_1 = u_0 + 3 = \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_2 = u_1 + 3 = \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_3 = u_2 + 3 = \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$u_1 = 4 + 3 = 7$
$u_2 = 7 + 3 = 10$
$u_3 = 10 + 3 = 13$
3. Pour une suite $(u_n)$, on a calculé $u_{n+1} - u_n = 3$.
Complète la conclusion :
Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 3$ qui est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (positif/négatif/nul).
Donc $u_{n+1} - u_n \underline{\hspace{1.1em}} 0$, ce qui signifie que $u_{n+1} \underline{\hspace{1.1em}} u_n$.
La suite $(u_n)$ est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ (croissante/décroissante/constante).
Corrigé
Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 3$ qui est positif.
Donc $u_{n+1} - u_n > 0$, ce qui signifie que $u_{n+1} > u_n$.
La suite $(u_n)$ est donc croissante.
Ah oui, les suites ! Ces listes de nombres qu'on définit soit avec une formule directe, soit de proche en proche. Et on regarde si ça monte ou si ça descend. On va remettre tout ça en place avec une fiche bien structurée et une méthode pas-à-pas pour le sens de variation. Tu vas voir, c'est toujours le même calcul.
Modes de définition
Formule explicite : $u_n = f(n)$. On calcule directement le terme de rang $n$.
Exemple : $u_n = 3n - 1$. Alors $u_5 = 3 \times 5 - 1 = 14$.
Relation de récurrence : on donne le premier terme et $u_{n+1} = g(u_n)$.
Exemple : $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = u_n - 3$. Alors $u_1 = 7$, $u_2 = 4$, $u_3 = 1$.
Méthode : étudier le sens de variation
Pour déterminer si une suite est croissante, décroissante ou constante, on suit ces étapes :
- Calculer $u_{n+1}$ : dans l'expression de $u_n$, on remplace $n$ par $n+1$.
- Calculer la différence $u_{n+1} - u_n$.
- Simplifier l'expression obtenue (développer, réduire, factoriser si besoin).
- Étudier le signe de cette différence pour tout $n$ du domaine.
- Conclure :
Si $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$ → suite croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \le 0$ pour tout $n$ → suite décroissante.
Si $u_{n+1} - u_n = 0$ pour tout $n$ → suite constante.
Erreurs fréquentes :
- $u_{n+1}$ n'est pas $u_n + 1$ ! C'est le terme de rang $n+1$.
- Observer les 3 premiers termes ne suffit pas pour prouver le sens de variation. Il faut le démontrer pour tout $n$.
À toi de jouer
1. Soit la suite définie par $u_n = 4n - 2$ pour $n \ge 0$.
On veut étudier son sens de variation. On le fait ensemble.
Étape 1 : Calcule $u_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $n+1$.
$u_{n+1} = 4 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) - 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 2 : Calcule la différence.
$u_{n+1} - u_n = (\underline{\hspace{1.1em}}) - (4n - 2) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 3 : Quel est le signe de cette différence ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Étape 4 : Conclusion : la suite $(u_n)$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Étape 1 : $u_{n+1} = 4(n+1) - 2 = 4n + 4 - 2 = 4n + 2$
Étape 2 : $u_{n+1} - u_n = (4n + 2) - (4n - 2) = 4n + 2 - 4n + 2 = 4$
Étape 3 : $4 > 0$, donc la différence est strictement positive.
Étape 4 : La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
2. Soit la suite définie par $v_n = -2n + 5$ pour $n \ge 0$.
Complète l'étude du sens de variation.
$v_{n+1} = -2(\underline{\hspace{1.1em}}) + 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$v_{n+1} - v_n = (\underline{\hspace{1.1em}}) - (-2n + 5) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Cette différence est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (positive/négative).
Donc la suite $(v_n)$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$v_{n+1} = -2(n+1) + 5 = -2n - 2 + 5 = -2n + 3$
$v_{n+1} - v_n = (-2n + 3) - (-2n + 5) = -2n + 3 + 2n - 5 = -2$
Cette différence est négative.
Donc la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
3. Soit la suite définie par $u_0 = 12$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{2}$.
Complète les calculs des premiers termes et l'étude du sens de variation.
$u_1 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_2 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_3 = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Pour le sens de variation :
$u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} - u_n = \frac{u_n}{2} - \frac{2u_n}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
On sait que $u_0 = 12 > 0$ et que chaque terme est la moitié du précédent, donc tous les termes sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ (positifs/négatifs).
Ainsi, $-\frac{u_n}{2}$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (positif/négatif).
Donc la suite $(u_n)$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_1 = \frac{12}{2} = 6$
$u_2 = \frac{6}{2} = 3$
$u_3 = \frac{3}{2} = 1,5$
$u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} - u_n = \frac{u_n}{2} - \frac{2u_n}{2} = -\frac{u_n}{2}$
Tous les termes sont positifs.
Ainsi, $-\frac{u_n}{2}$ est négatif.
Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
Cinq mini-exercices quasiment identiques pour mécaniser le calcul de la différence $u_{n+1} - u_n$. Tu vas le faire cinq fois de suite, avec des nombres différents. À la fin, ce sera un automatisme. On y va.
À toi de jouer
1. Soit $u_n = 3n + 1$. Calcule $u_{n+1} - u_n$ et déduis le sens de variation.
$u_{n+1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_{n+1} - u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe : $\underline{\hspace{1.1em}}$
La suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_{n+1} = 3(n+1) + 1 = 3n + 4$
$u_{n+1} - u_n = (3n+4) - (3n+1) = 3$
Signe : positif
La suite est strictement croissante.
2. Soit $u_n = 5n - 2$. Calcule $u_{n+1} - u_n$ et déduis le sens de variation.
$u_{n+1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_{n+1} - u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe : $\underline{\hspace{1.1em}}$
La suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_{n+1} = 5(n+1) - 2 = 5n + 3$
$u_{n+1} - u_n = (5n+3) - (5n-2) = 5$
Signe : positif
La suite est strictement croissante.
3. Soit $u_n = -4n + 6$. Calcule $u_{n+1} - u_n$ et déduis le sens de variation.
$u_{n+1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_{n+1} - u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe : $\underline{\hspace{1.1em}}$
La suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_{n+1} = -4(n+1) + 6 = -4n + 2$
$u_{n+1} - u_n = (-4n+2) - (-4n+6) = -4$
Signe : négatif
La suite est strictement décroissante.
4. Soit $u_n = 2n + 7$. Calcule $u_{n+1} - u_n$ et déduis le sens de variation.
$u_{n+1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_{n+1} - u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe : $\underline{\hspace{1.1em}}$
La suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_{n+1} = 2(n+1) + 7 = 2n + 9$
$u_{n+1} - u_n = (2n+9) - (2n+7) = 2$
Signe : positif
La suite est strictement croissante.
5. Soit $u_n = -6n + 3$. Calcule $u_{n+1} - u_n$ et déduis le sens de variation.
$u_{n+1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$u_{n+1} - u_n = \underline{\hspace{1.1em}}$
Signe : $\underline{\hspace{1.1em}}$
La suite est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$u_{n+1} = -6(n+1) + 3 = -6n - 3$
$u_{n+1} - u_n = (-6n-3) - (-6n+3) = -6$
Signe : négatif
La suite est strictement décroissante.
Maintenant, on passe aux exercices type contrôle. Tu vas devoir calculer des termes, étudier des variations avec des suites plus variées (explicites, récurrentes, rationnelles), et résoudre un petit problème concret. Plus de trous : c'est toi qui rédiges tout. Tu es prêt.
À toi de jouer
1. Calculer les quatre premiers termes $u_0, u_1, u_2, u_3$ de chaque suite.
a) $u_n = 5n - 3$
b) $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 4u_n$
Corrigé
a) $u_0 = 5 \times 0 - 3 = -3$ ; $u_1 = 5 \times 1 - 3 = 2$ ; $u_2 = 5 \times 2 - 3 = 7$ ; $u_3 = 5 \times 3 - 3 = 12$.
b) $u_0 = 2$ ; $u_1 = 4 \times 2 = 8$ ; $u_2 = 4 \times 8 = 32$ ; $u_3 = 4 \times 32 = 128$.
2. Étudier le sens de variation de chaque suite en justifiant par le calcul de $u_{n+1} - u_n$.
a) $u_n = 6n + 1$
b) $v_n = -5n + 4$
c) $w_n = n^2 + 2$ pour $n \ge 0$
Corrigé
a) $u_{n+1} = 6(n+1) + 1 = 6n + 7$. $u_{n+1} - u_n = (6n+7) - (6n+1) = 6 > 0$. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
b) $v_{n+1} = -5(n+1) + 4 = -5n - 1$. $v_{n+1} - v_n = (-5n-1) - (-5n+4) = -5 < 0$. La suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
c) $w_{n+1} = (n+1)^2 + 2 = n^2 + 2n + 3$. $w_{n+1} - w_n = (n^2+2n+3) - (n^2+2) = 2n+1$. Pour $n \ge 0$, $2n+1 \ge 1 > 0$. La suite $(w_n)$ est strictement croissante.
3. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{4}$.
a) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
b) Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
Corrigé
a) $u_1 = \frac{20}{4} = 5$ ; $u_2 = \frac{5}{4} = 1,25$ ; $u_3 = \frac{1,25}{4} = 0,3125$.
b) $u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{4} - u_n = \frac{u_n}{4} - \frac{4u_n}{4} = -\frac{3u_n}{4}$. $u_0 = 20 > 0$ et chaque terme est le quart du précédent, donc tous les termes sont strictement positifs. Ainsi $-\frac{3u_n}{4} < 0$. La suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
4. Soit $u_n = \frac{3n + 2}{n + 2}$ pour $n \ge 0$.
a) Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$.
b) Montrer que $u_{n+1} - u_n = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
c) En déduire le sens de variation de $(u_n)$.
Corrigé
a) $u_0 = \frac{2}{2} = 1$ ; $u_1 = \frac{5}{3}$ ; $u_2 = \frac{8}{4} = 2$.
b) $u_{n+1} = \frac{3(n+1)+2}{(n+1)+2} = \frac{3n+5}{n+3}$. $u_{n+1} - u_n = \frac{3n+5}{n+3} - \frac{3n+2}{n+2} = \frac{(3n+5)(n+2) - (3n+2)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{3n^2+11n+10 - (3n^2+11n+6)}{(n+3)(n+2)} = \frac{4}{(n+2)(n+3)}$.
c) Pour tout $n \ge 0$, $(n+2)(n+3) > 0$ donc $\frac{4}{(n+2)(n+3)} > 0$. $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
5. Un capital de 2 000 € est placé à un taux annuel de 3 %. On note $u_n$ le capital en euros après $n$ années. On a $u_0 = 2 000$ et $u_{n+1} = 1,03 \times u_n$.
a) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ (arrondir au centime).
b) Montrer que $(u_n)$ est croissante.
c) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Corrigé
a) $u_1 = 1,03 \times 2000 = 2060$ ; $u_2 = 1,03 \times 2060 = 2121,80$ ; $u_3 = 1,03 \times 2121,80 = 2185,45$ (arrondi).
b) $u_{n+1} - u_n = 1,03u_n - u_n = 0,03u_n$. Le capital est toujours positif, donc $u_n > 0$ pour tout $n$. Ainsi $0,03u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est strictement croissante.
c) $u_n = 2000 \times 1,03^n$.
Tu maîtrises les suites explicites et récurrentes, et le signe de $u_{n+1} - u_n$ n'a plus de secret pour toi. On va maintenant aller un peu plus loin : une suite définie par une relation de récurrence plus complexe, une suite ni croissante ni décroissante, et un aperçu de la limite d'une suite, notion centrale en terminale. Prêt à explorer ?
Ouverture : suites non monotones et limite
Une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : on dit qu'elle est non monotone. Par exemple, $u_n = (-1)^n$ donne $1, -1, 1, -1...$ : elle oscille.
En terminale, on étudiera la limite d'une suite : vers quelle valeur tend $u_n$ quand $n$ devient très grand ? Par exemple, $u_n = \frac{1}{n}$ tend vers 0. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
À toi de jouer
1. Soit la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{u_n + 1}$.
a) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_4$ (donner les valeurs exactes sous forme de fractions).
b) Cette suite te semble-t-elle croissante, décroissante, ou ni l'un ni l'autre ?
Corrigé
a) $u_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ ; $u_2 = \frac{1}{\frac{1}{2}+1} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ ; $u_3 = \frac{1}{\frac{2}{3}+1} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$ ; $u_4 = \frac{1}{\frac{3}{5}+1} = \frac{1}{\frac{8}{5}} = \frac{5}{8}$.
b) On observe $u_0=1$, $u_1=0,5$, $u_2 \approx 0,667$, $u_3=0,6$, $u_4=0,625$. La suite n'est ni croissante ni décroissante : elle oscille en se rapprochant d'une valeur. Elle est non monotone.
2. Soit $u_n = \frac{2n+1}{n+3}$ pour $n \ge 0$.
a) Calculer $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$ (arrondir au centième).
b) Vers quelle valeur semble tendre $u_n$ quand $n$ devient très grand ?
c) Vérifier en calculant $u_{n+1} - u_n$ et en déduire le sens de variation de $(u_n)$.
Corrigé
a) Pour calculer ces termes, il te suffit de remplacer $n$ par les valeurs demandées :
$u_{10} = \frac{2 \times 10 + 1}{10 + 3} = \frac{21}{13} \approx 1,62$
$u_{100} = \frac{2 \times 100 + 1}{100 + 3} = \frac{201}{103} \approx 1,95$
$u_{1000} = \frac{2 \times 1000 + 1}{1000 + 3} = \frac{2001}{1003} \approx 2,00$ (en arrondissant bien au centième).
b) Quand $n$ devient très grand, tu peux remarquer que les valeurs de $u_n$ se rapprochent de 2. On conjecture donc que la suite $(u_n)$ semble tendre vers 2.
c) Exprimons tout d'abord $u_{n+1}$ :
$u_{n+1} = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)+3} = \frac{2n+3}{n+4}$.
Calculons maintenant la différence $u_{n+1} - u_n$ en réduisant au même dénominateur :
$u_{n+1} - u_n = \frac{2n+3}{n+4} - \frac{2n+1}{n+3}$
$u_{n+1} - u_n = \frac{(2n+3)(n+3) - (2n+1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}$
$u_{n+1} - u_n = \frac{2n^2+9n+9 - (2n^2+9n+4)}{(n+4)(n+3)}$
$u_{n+1} - u_n = \frac{5}{(n+3)(n+4)}$.
Comme $n \ge 0$, les facteurs $n+3$ et $n+4$ sont strictement positifs, donc le dénominateur $(n+3)(n+4)$ est strictement positif. Le numérateur 5 étant également positif, la différence $u_{n+1} - u_n$ est strictement positive.
Tu en déduis que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
3. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 0,5u_n + 1$.
a) Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
b) Montrer que la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 2$ est géométrique. (Indice : exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.)
c) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, puis la limite de $(u_n)$.
Corrigé
a) $u_1 = 0,5 \times 4 + 1 = 3$ ; $u_2 = 0,5 \times 3 + 1 = 2,5$ ; $u_3 = 0,5 \times 2,5 + 1 = 2,25$.
b) $v_n = u_n - 2$. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = (0,5u_n + 1) - 2 = 0,5u_n - 1 = 0,5(u_n - 2) = 0,5v_n$. $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 2$.
c) $v_n = 2 \times 0,5^n$. Donc $u_n = v_n + 2 = 2 \times 0,5^n + 2$. Quand $n$ devient grand, $0,5^n$ tend vers 0, donc $u_n$ tend vers 2.