Suites numériques — Exercices

Définition, calcul de termes et étude du sens de variation.

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1Premiers termes/ 4 pts

Calculer les quatre premiers termes $u_0, u_1, u_2, u_3$ de chaque suite.

$u_n = 4n - 2$
$u_0 = 1$, $u_{n+1} = 3u_n$

2Sens de variation — suites explicites/ 6 pts

Étudier le sens de variation de chaque suite. Justifier par le calcul et le signe de $u_{n+1} - u_n$.

$u_n = 5n + 2$
$v_n = -3n + 7$
$w_n = n^2 + 1$ pour $n \ge 0$

3Suite définie par récurrence/ 4 pts

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 12$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2}$.

Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
Montrer que $(u_n)$ est décroissante.

4Suite rationnelle/ 5 pts

Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 1}$ pour $n \ge 0$.

Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$.
Montrer que $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$.
En déduire le sens de variation de $(u_n)$.

5Problème — Placement financier/ 6 pts

Un capital de $1\,000$ € est placé à un taux annuel de $5\,\%$. On note $u_n$ le capital en euros après $n$ années. On a $u_0 = 1\,000$ et $u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n$.

Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ (arrondir au centime).
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Corrigé détaillé

1Premiers termes

a) $u_0 = 4(0)-2 = -2,\; u_1 = 4(1)-2 = 2,\; u_2 = 4(2)-2 = 6,\; u_3 = 4(3)-2 = 10$ $u_0 = -2,\quad u_1 = 2,\quad u_2 = 6,\quad u_3 = 10$

b) $u_0 = 1,\; u_1 = 3 \times 1 = 3,\; u_2 = 3 \times 3 = 9,\; u_3 = 3 \times 9 = 27$ $u_0 = 1,\quad u_1 = 3,\quad u_2 = 9,\quad u_3 = 27$

2Sens de variation — suites explicites

a) $u_{n+1} - u_n = [5(n+1)+2] - [5n+2] = 5n+5+2-5n-2 = 5$ $\text{Pour tout } n \ge 0,\; u_{n+1} - u_n = 5 \gt 0 \Rightarrow (u_n) \text{ est strictement croissante}$

b) $v_{n+1} - v_n = [-3(n+1)+7] - [-3n+7] = -3n-3+7+3n-7 = -3$ $\text{Pour tout } n \ge 0,\; v_{n+1} - v_n = -3 \lt 0 \Rightarrow (v_n) \text{ est strictement décroissante}$

c) $w_{n+1} - w_n = (n+1)^2+1-(n^2+1) = n^2+2n+2-n^2-1 = 2n+1$ $\text{Pour } n \ge 0,\; 2n+1 \ge 1 \gt 0 \Rightarrow (w_n) \text{ est strictement croissante}$

3Suite définie par récurrence

a) $u_1 = \dfrac{12}{2} = 6,\quad u_2 = \dfrac{6}{2} = 3,\quad u_3 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ $u_1 = 6,\quad u_2 = 3,\quad u_3 = 1{,}5$

b) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n}{2} - u_n = -\dfrac{u_n}{2}$ $u_0 = 12 \gt 0 \text{ et chaque terme est } \dfrac{1}{2} \text{ fois le précédent, donc tous les } u_n \text{ sont } \gt 0.\text{ Ainsi } -\dfrac{u_n}{2} \lt 0 \Rightarrow (u_n) \text{ est décroissante}$

4Suite rationnelle

a) $u_0 = \dfrac{1}{1} = 1,\quad u_1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5,\quad u_2 = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ $u_0 = 1,\quad u_1 = \dfrac{3}{2},\quad u_2 = \dfrac{5}{3}$

b) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2n+3}{n+2} - \dfrac{2n+1}{n+1} = \dfrac{(2n+3)(n+1)-(2n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \dfrac{2n^2+5n+3-(2n^2+5n+2)}{(n+1)(n+2)}$ $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$

c) $\text{Pour tout } n \ge 0,\; (n+1)(n+2) \gt 0 \text{ donc } \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \gt 0$ $u_{n+1} - u_n \gt 0 \Rightarrow (u_n) \text{ est strictement croissante}$

5Problème — Placement financier

a) $u_1 = 1{,}05 \times 1000 = 1050,\quad u_2 = 1{,}05 \times 1050 = 1102{,}50,\quad u_3 = 1{,}05 \times 1102{,}50 = 1157{,}625$ $u_1 = 1\,050\text{ €},\quad u_2 = 1\,102{,}50\text{ €},\quad u_3 \approx 1\,157{,}63\text{ €}$

b) $u_{n+1} - u_n = 1{,}05\,u_n - u_n = 0{,}05\,u_n$ $u_0 = 1000 \gt 0 \text{ et } u_{n+1} = 1{,}05\,u_n \gt 0 \text{ donc tous les } u_n \text{ sont } \gt 0.\text{ Ainsi } 0{,}05\,u_n \gt 0 \Rightarrow (u_n) \text{ est croissante}$

c) $u_1 = u_0 \cdot 1{,}05,\; u_2 = u_0 \cdot 1{,}05^2,\; \ldots,\; u_n = u_0 \cdot 1{,}05^n$ $u_n = 1000 \times 1{,}05^n$