Contrôle sur les suites bientôt et tu découvres le mot « suite » à l'instant ? Respire. En quelques minutes tu auras l'essentiel : ce qu'est une suite, comment on calcule ses termes, et comment dire si elle monte ou descend. C'est plus simple que ça en a l'air, promis.

Les prérequis (rien de méchant)

Trois réflexes que tu as déjà, on va juste s'en resservir :

  • Remplacer une lettre par un nombre dans une expression. Si on te donne $3n-1$ et que $n=2$, tu écris $3\times 2 - 1 = 5$. C'est exactement ce qu'on te demandera.
  • Comparer deux nombres. Pour savoir lequel est le plus grand, on peut regarder le signe de leur différence : $5 - 2 = 3 > 0$, donc $5$ est plus grand que $2$.
  • Lire un indice. Dans $u_n$, le petit $n$ en bas dit « à quelle place » on regarde. On lit $u_0$, $u_1$, $u_2$ « u indice 0, u indice 1, u indice 2 ».

L'essentiel en mots simples

Une suite numérique, c'est une liste infinie de nombres rangés dans l'ordre : un premier, un deuxième, un troisième, sans fin. On la note $(u_n)$. Le nombre à la place $n$ s'appelle le terme de rang $n$ et se note $u_n$.

On peut te donner une suite de deux façons :

  • Formule explicite : une recette qui calcule directement $u_n$ à partir de $n$. Exemple : $u_n = 3n - 1$. Tu veux le terme de rang 4 ? Tu remplaces : $u_4 = 3\times 4 - 1 = 11$.
  • Par récurrence : on te donne le premier terme, puis une règle pour passer d'un terme au suivant. Exemple : $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = u_n - 3$ (« le suivant, c'est le précédent moins 3 »).

Le sens de variation, lui, répond à une seule question : quand $n$ augmente, est-ce que la suite monte (croissante), descend (décroissante) ou reste plate (constante) ? Sur le dessin, une suite croissante, ce sont des points qui grimpent.

uₙnu0u1u2u30123

La formule clé + un exemple fait en entier

Le seul outil à retenir pour le sens de variation : on calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ et on regarde son signe.

Croissante
$u_{n+1} - u_n \ge 0$
pour tout $n$
Décroissante
$u_{n+1} - u_n \le 0$
pour tout $n$
Constante
$u_{n+1} - u_n = 0$
pour tout $n$
Exemple entièrement traité
On prend $u_n = 3n - 1$. On veut ses premiers termes, puis son sens de variation.
Les termes. $u_0 = 3\times 0 - 1 = -1$.
$u_1 = 3\times 1 - 1 = 2$.
$u_2 = 3\times 2 - 1 = 5$. Les nombres augmentent : bon signe.
Le sens de variation. On écrit $u_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $n+1$ : $u_{n+1} = 3(n+1) - 1 = 3n + 3 - 1 = 3n + 2$.
On soustrait : $u_{n+1} - u_n = (3n + 2) - (3n - 1) = 3n + 2 - 3n + 1 = 3$.
Or $3 > 0$, et ça ne dépend même pas de $n$ : la différence est toujours positive.
Conclusion. $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$, donc la suite $(u_n)$ est croissante.

Tu as déjà croisé les suites, mais c'est un peu flou ? On remet tout au propre : définition nette, notations, les deux façons de définir une suite, et la méthode complète pour le sens de variation. À la fin, tu sauras exactement quoi écrire sur ta copie.

Définition et vocabulaire

Une suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une liste ordonnée infinie de nombres réels : à chaque entier naturel $n$ (0, 1, 2, 3, …) elle associe un réel noté $u_n$.

  • $u_0$ est le premier terme, $u_1$ le deuxième, $u_2$ le troisième, et ainsi de suite.
  • $u_n$ s'appelle le terme de rang $n$ (on dit aussi terme général).
  • Bien lire l'indice : $u_{n+1}$ est le terme juste après $u_n$, c'est-à-dire le terme de rang $n+1$.

Certaines suites commencent au rang 1 : on écrit alors $(u_n)_{n \ge 1}$. Le domaine ($n \ge 0$, $n \ge 1$…) fait partie de la définition : on le garde en tête, il resservira dans la conclusion.

Les deux modes de définition

Il existe deux manières de décrire une suite, et elles ne se calculent pas de la même façon.

Formule explicite
$u_n = f(n)$
ex. $u_n = 2n + 3$
Récurrence
$u_0 = a,\quad u_{n+1} = g(u_n)$
ex. $u_0 = 1,\ u_{n+1} = 2u_n$
À retenir
  • Avec une formule explicite, tu obtiens n'importe quel terme directement : pour $u_{50}$, tu remplaces $n$ par 50, sans passer par les précédents.
  • Avec une récurrence, tu calcules les termes de proche en proche : pour avoir $v_3$, il te faut d'abord $v_1$, puis $v_2$.
Exemple A — formule explicite
Soit $u_n = 3n - 1$ pour $n \ge 0$.
$u_0 = 3\times 0 - 1 = -1$
$u_1 = 3\times 1 - 1 = 2$
$u_2 = 3\times 2 - 1 = 5$
Exemple B — récurrence
Soit $v_0 = 10$ et $v_{n+1} = v_n - 3$.
$v_1 = v_0 - 3 = 10 - 3 = 7$
$v_2 = v_1 - 3 = 7 - 3 = 4$
$v_3 = v_2 - 3 = 4 - 3 = 1$
Récurrence : v₀ = 10, puis on retire 3 à chaque étape10741−3−3−3v₀v₁v₂v₃

Sens de variation : définitions et méthode

On dit que la suite $(u_n)$ est :

Croissante
$\forall n,\ u_{n+1} \ge u_n$
$\iff u_{n+1} - u_n \ge 0$
Décroissante
$\forall n,\ u_{n+1} \le u_n$
$\iff u_{n+1} - u_n \le 0$
Constante
$\forall n,\ u_{n+1} = u_n$
$\iff u_{n+1} - u_n = 0$

Le symbole $\forall n$ se lit « pour tout $n$ » : la propriété doit être vraie à chaque rang, pas seulement pour les premiers.

Méthode — étudier le sens de variation
  • Calculer $u_{n+1} - u_n$ : dans la formule de $u_n$, remplacer $n$ par $n+1$, puis soustraire $u_n$.
  • Simplifier l'expression obtenue (développer, réduire).
  • Étudier son signe pour tout $n$ du domaine.
  • Conclure : différence $\ge 0$ pour tout $n$ $\Rightarrow$ croissante ; $\le 0$ $\Rightarrow$ décroissante ; $= 0$ $\Rightarrow$ constante.
Exemple traité
Étudions $u_n = 2n + 3$.
$u_{n+1} = 2(n+1) + 3 = 2n + 2 + 3 = 2n + 5$
$u_{n+1} - u_n = (2n + 5) - (2n + 3) = 2$
$2 > 0$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est croissante.

On a la méthode, on la fait tourner ensemble. Trois exemples rédigés ligne à ligne, comme sur une copie : lis-les en te demandant à chaque étape « pourquoi cette ligne ? ». C'est en voyant la mécanique tourner qu'elle devient un automatisme.

Exemple 1 — une suite qui monte

On le fait ensemble
Énoncé. Soit $u_n = 5n - 2$. Quel est son sens de variation ?
On applique la méthode. D'abord $u_{n+1}$, en remplaçant chaque $n$ par $n+1$ : $u_{n+1} = 5(n+1) - 2$.
On développe : $5(n+1) - 2 = 5n + 5 - 2 = 5n + 3$.
On calcule la différence : $u_{n+1} - u_n = (5n + 3) - (5n - 2)$.
Attention au « moins » devant la parenthèse, il change les deux signes : $= 5n + 3 - 5n + 2 = 5$.
On lit le signe : $5 > 0$, quel que soit $n$.
Conclusion. $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est croissante.

Exemple 2 — une suite qui descend

On le fait ensemble
Énoncé. Soit $w_n = -4n + 20$. Sens de variation ?
On écrit $w_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $n+1$ : $w_{n+1} = -4(n+1) + 20 = -4n - 4 + 20 = -4n + 16$.
On calcule la différence : $w_{n+1} - w_n = (-4n + 16) - (-4n + 20)$.
On enlève la parenthèse (les deux signes du bloc soustrait changent) : $= -4n + 16 + 4n - 20 = -4$.
$-4 < 0$ pour tout $n$ : la différence est toujours négative.
Conclusion. $(w_n)$ est décroissante. Sur un graphique, ses points descendent (schéma de droite).
CroissantenDécroissanten

Exemple 3 — quand la différence dépend de n

On le fait ensemble
Énoncé. Soit $u_n = n^2$ pour $n \ge 0$.
$u_{n+1} = (n+1)^2$. On développe l'identité remarquable : $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$.
$u_{n+1} - u_n = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1$.
Cette fois la différence dépend de $n$ : on ne peut pas juste lire un nombre, on étudie son signe.
Pour $n \ge 0$ : $2n \ge 0$, donc $2n + 1 \ge 1 > 0$.
Conclusion. La différence est positive pour tout $n \ge 0$, donc $(u_n)$ est croissante. Retiens le réflexe : dès que la différence contient encore un $n$, on justifie son signe, on ne devine pas.

On vise maintenant les points qui font la différence sur la copie : la rédaction que le correcteur attend, les cas où la différence change de signe, et une deuxième technique bien utile. Rien d'insurmontable, juste de la rigueur au bon endroit.

Ce que le correcteur attend (et les pièges classiques)

La rédaction qui rapporte les points
  • Toujours écrire explicitement $u_{n+1} = \ldots$ (en remplaçant $n$ par $n+1$) avant de soustraire : c'est une étape notée.
  • Donner l'expression simplifiée de $u_{n+1} - u_n$, puis justifier son signe par une phrase (par exemple « $2n + 1 > 0$ car $n \ge 0$ »).
  • Conclure avec le mot juste (croissante / décroissante / constante) et le quantificateur « pour tout $n$ ».
Erreurs fréquentes
  • $u_{n+1}$ est le terme de rang $n+1$ (on remplace $n$ par $n+1$) : ce n'est pas $u_n + 1$.
  • Constater que les premiers termes augmentent ne prouve rien : il faut un argument valable pour tout $n$.
  • Oublier de préciser le domaine ($n \ge 0$, $n \ge 1$…) dans la conclusion.
  • Se tromper de signe en enlevant la parenthèse : $-(2n + 3) = -2n - 3$, et non $-2n + 3$.

Problème type — le cas concret entièrement résolu

Problème résolu
Énoncé. Léa a 60 € sur un compte et y ajoute 40 € chaque mois. On note $u_n$ la somme (en euros) après $n$ mois : $u_0 = 60$ et $u_{n+1} = u_n + 40$. Montrer que la somme augmente au fil des mois.
On forme la différence directement à partir de la relation de récurrence. Ici $u_{n+1} = u_n + 40$, donc :
$u_{n+1} - u_n = (u_n + 40) - u_n = 40$.
$40 > 0$ pour tout $n$.
Conclusion. $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est croissante : la somme sur le compte augmente bien mois après mois.
À noter

Pour une suite définie par récurrence, pas besoin d'une formule explicite : on part directement de $u_{n+1} = g(u_n)$ pour former $u_{n+1} - u_n$. Parfois il faut d'abord connaître le signe de $u_n$ pour conclure sur celui de la différence.

Subtilités — non monotone et méthode du quotient

Quand la différence change de signe

Une suite n'est pas forcément croissante ou décroissante : elle peut faire les deux. Il faut alors étudier soigneusement le signe de la différence, rang par rang.

Problème résolu
Énoncé. Étudier le sens de variation de $u_n = n^2 - 5n$ pour $n \ge 0$.
$u_{n+1} = (n+1)^2 - 5(n+1) = n^2 + 2n + 1 - 5n - 5 = n^2 - 3n - 4$.
$u_{n+1} - u_n = (n^2 - 3n - 4) - (n^2 - 5n) = n^2 - 3n - 4 - n^2 + 5n = 2n - 4$.
On étudie le signe de $2n - 4$. Il s'annule pour $n = 2$.
Pour $0 \le n \le 1$ : $2n - 4 < 0$, la suite descend. En effet $u_0 = 0$, $u_1 = -4$, $u_2 = -6$.
Pour $n \ge 2$ : $2n - 4 \ge 0$, la suite remonte. En effet $u_2 = -6$, $u_3 = -6$, $u_4 = -4$.
Conclusion. $(u_n)$ n'est ni croissante ni décroissante sur $\mathbb{N}$ : elle décroît jusqu'au rang 2, puis croît. C'est exactement la nuance que le correcteur veut voir justifiée (voir le schéma de signe).
Deuxième technique — le quotient (termes strictement positifs)

Si tous les termes $u_n$ sont strictement positifs, on peut comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ :

  • $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ pour tout $n$ $\Rightarrow$ croissante ;
  • $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ pour tout $n$ $\Rightarrow$ décroissante.

C'est pratique quand la formule contient des puissances ou des produits.

Exemple avec le quotient
Soit $u_n = 3^n$. Tous les termes sont strictement positifs.
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3^{n+1}}{3^n} = 3$.
$3 \ge 1$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est croissante.
Signe de un+1 − un = 2n − 4n−−0++++0123456la suite change de sens ici

Tu maîtrises ? Alors regardons ce qui se cache derrière et ce qui t'attend. Les suites vont revenir en force : liées aux fonctions, avec des noms de familles, et l'an prochain avec la notion de limite. Petit avant-goût, sans pression.

Le lien avec les fonctions

Quand une suite est explicite, $u_n = f(n)$, elle n'est rien d'autre que la fonction $f$ regardée uniquement aux entiers $n = 0, 1, 2, \ldots$ Du coup, le sens de variation de la suite se lit sur celui de la fonction.

Propriété (aperçu)

Si $f$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$, alors la suite $u_n = f(n)$ est croissante. (De même avec « décroissante ».)

Idée de la justification. Dire que $f$ est croissante, c'est dire : si $a \le b$, alors $f(a) \le f(b)$. Or on a toujours $n \le n+1$. Donc $f(n) \le f(n+1)$, c'est-à-dire $u_n \le u_{n+1}$ : la suite est croissante. On a démontré le sens de variation sans calculer la différence.

Attention

La réciproque est fausse en général : une suite peut être croissante sans que « la fonction qui lui ressemble » le soit partout. On ne conclut ainsi que si $f$ est bien monotone sur tout $[0\,;+\infty[$.

uₙ = f(n) : la fonction prélevée aux entiersny = f(x)01234

Deux familles que tu vas beaucoup revoir

Certaines suites ont une structure si régulière qu'elles portent un nom. Tu les étudieras en détail cette année et l'an prochain :

  • Suites arithmétiques : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ (la raison), $u_{n+1} = u_n + r$. Alors $u_{n+1} - u_n = r$ : le sens de variation ne dépend que du signe de $r$ (croissante si $r > 0$, décroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$). Nos exemples $2n + 3$ et $5n - 2$ en sont.
  • Suites géométriques : on passe au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ (la raison), $u_{n+1} = q\,u_n$. Le comportement dépend alors de $q$ et du signe des termes. Notre exemple $u_n = 3^n$ en est une, de raison $3$.

Tu retrouveras exactement les deux techniques d'aujourd'hui : la différence pour les arithmétiques, le quotient pour les géométriques à termes positifs.

L'an prochain : prouver « pour tout n » et regarder l'infini

Deux grandes idées t'attendent en terminale :

  • Le raisonnement par récurrence : une méthode de démonstration taillée pour les propriétés « vraies pour tout $n$ ». On vérifie la propriété au rang de départ, puis on montre que « si elle est vraie au rang $n$, alors elle l'est au rang $n+1$ », comme une rangée de dominos qui tombent l'un après l'autre. C'est l'outil rigoureux derrière ce fameux « pour tout $n$ » qu'on te demande déjà.
  • La limite d'une suite : que devient $u_n$ quand $n$ devient très grand ? Une suite croissante peut soit grandir sans fin (comme $u_n = n^2$), soit se rapprocher d'une valeur sans jamais la dépasser. Étudier le sens de variation est souvent la première étape pour comprendre ce comportement à l'infini.
Le fil rouge

Définir une suite, calculer ses termes, étudier sa variation : ce sont les fondations. Familles remarquables, récurrence et limites viennent se poser dessus. Tout ce que tu viens de voir resservira.