Suites numériques : définition et sens de variation

Décrire une séquence infinie de nombres et déterminer si elle est croissante, décroissante ou constante.

1 L'idée

Une suite numérique est une liste ordonnée infinie de réels. On la note $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ : $u_0$ est le premier terme, $u_1$ le deuxième, etc. Chaque $u_n$ est appelé le terme de rang $n$.

On définit une suite de deux façons :

Formule explicite : $u_n$ est donné directement en fonction de $n$.
Relation de récurrence : on donne $u_0$ (ou $u_1$) et une relation liant $u_{n+1}$ à $u_n$.

2 Modes de définition

Formule explicite

$u_n = f(n) \qquad \text{ex. :}\; u_n = 2n+3$

Récurrence

$u_0 = a,\quad u_{n+1} = g(u_n) \qquad \text{ex. :}\; u_0 = 1,\; u_{n+1} = 2u_n$

3 Calculer des termes

Exemple A — Formule explicite

Soit $u_n = 3n - 1$ pour $n \ge 0$.

$u_0 = 3 \times 0 - 1 = -1$

$u_1 = 3 \times 1 - 1 = 2$

$u_2 = 3 \times 2 - 1 = 5$

Exemple B — Récurrence

Soit $v_0 = 10$ et $v_{n+1} = v_n - 3$.

$v_1 = v_0 - 3 = 10 - 3 = 7$

$v_2 = v_1 - 3 = 7 - 3 = 4$

$v_3 = v_2 - 3 = 4 - 3 = 1$

4 Sens de variation

Croissante

$\forall n,\; u_{n+1} \ge u_n \iff u_{n+1} - u_n \ge 0$

Décroissante

$\forall n,\; u_{n+1} \le u_n \iff u_{n+1} - u_n \le 0$

Constante

$\forall n,\; u_{n+1} = u_n \iff u_{n+1} - u_n = 0$

Méthode — Étudier le sens de variation

Calculer $u_{n+1} - u_n$ : dans la formule de $u_n$, remplacer $n$ par $n+1$, puis soustraire $u_n$.
Simplifier l'expression algébrique obtenue.
Étudier son signe pour tout $n$ dans le domaine de définition.
Conclure : $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n$ $\Rightarrow$ croissante ; $\le 0$ $\Rightarrow$ décroissante.

Erreurs fréquentes

$u_{n+1}$ est le terme de rang $n+1$ (on remplace $n$ par $n+1$) — ce n'est pas $u_n + 1$.
Observer que les premiers termes augmentent ne prouve rien : il faut une démonstration valable pour tout $n$.
Ne pas oublier de préciser le domaine ($n \ge 0$, $n \ge 1$…) dans la conclusion.
Pour une suite récurrente, il faut souvent justifier le signe de $u_n$ pour conclure sur le signe de $u_{n+1} - u_n$.