Nombre dérivé et tangente

Les prérequis à avoir sous le coude

Avant tout, deux souvenirs de seconde suffisent.

1. Le coefficient directeur (la pente) d'une droite. Une droite non verticale a une équation de la forme $y = mx + p$, où $m$ est sa pente : quand on avance de $1$ vers la droite, on monte de $m$.

2. La pente entre deux points. Si une droite passe par $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$, sa pente vaut $\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.

3. Développer un carré. Tu dois savoir écrire $(a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ sans te tromper : le terme $2ah$ est celui qu'on oublie tout le temps.

Avec ça, tu as tout ce qu'il faut.

L'essentiel en une minute

Le nombre dérivé de $f$ en un point d'abscisse $a$, noté $f'(a)$, c'est la pente de la tangente à la courbe de $f$ en ce point. La tangente, c'est la droite qui « épouse » la courbe à cet endroit.

Pour l'obtenir, on regarde la pente entre le point d'abscisse $a$ et un point tout proche d'abscisse $a+h$ (ce $h$ est un petit décalage), puis on rend ce $h$ minuscule, aussi proche de $0$ qu'on veut.

Les trois formules à retenir :

Taux de variation (la pente entre les deux points) : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec $h \neq 0$.

Nombre dérivé : $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Un exemple fait en entier

Prenons $f(x) = x^2$ et cherchons $f'(2)$, puis la tangente en $x=2$.

Étape 1 — le taux de variation. On remplace : $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2 - 4}{h}$.

Étape 2 — on développe. $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$, donc le numérateur vaut $4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2$.

Étape 3 — on simplifie par $h$. $\dfrac{4h + h^2}{h} = \dfrac{h(4+h)}{h} = 4 + h$.

Étape 4 — on fait tendre $h$ vers $0$. Quand $h \to 0$, $4 + h \to 4$. Donc $f'(2) = 4$.

Étape 5 — la tangente. On a $f(2) = 4$ et $f'(2) = 4$, donc $y = 4(x-2) + 4 = 4x - 4$.

Voilà : la pente de la courbe en $x=2$ vaut $4$, et la tangente est la droite $y = 4x - 4$. Si tu sais refaire ça, tu as l'essentiel du contrôle.

Les définitions, au propre

Taux de variation. Soit $f$ une fonction et $a$ un réel. Pour un réel $h \neq 0$, le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. C'est exactement le coefficient directeur de la sécante : la droite qui coupe la courbe aux points d'abscisses $a$ et $a+h$.

Nombre dérivé. Lorsque $h$ se rapproche de $0$, le point d'abscisse $a+h$ se rapproche de celui d'abscisse $a$, et la sécante pivote. Si le taux de variation se rapproche d'une valeur finie, on dit que $f$ est dérivable en $a$, et cette valeur limite est le nombre dérivé : $f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Tangente. La position limite de la sécante est la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$. Son coefficient directeur est $f'(a)$, et comme elle passe par le point $(a\,;\,f(a))$, son équation est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Retiens bien la nuance : $f'(a)$ est un nombre (la pente en ce point précis), pas une fonction.

La méthode pas à pas

Pour calculer $f'(a)$ puis l'équation de la tangente, on suit toujours les mêmes étapes.

• 1. Calculer $f(a+h)$ en développant soigneusement les puissances (attention aux doubles produits).
• 2. Former la différence $f(a+h) - f(a)$, puis diviser par $h$.
• 3. Factoriser par $h$ au numérateur pour simplifier le $h$ du dénominateur : c'est ce qui fait disparaître la forme $\frac{0}{0}$.
• 4. Faire tendre $h$ vers $0$ dans l'expression simplifiée : la valeur obtenue est $f'(a)$.
• 5. Calculer $f(a)$ (l'ordonnée du point de contact).
• 6. Écrire l'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

La clé de tout le calcul est l'étape 3 : tant que le $h$ est au dénominateur, on ne peut pas remplacer $h$ par $0$. Une fois simplifié, tout devient facile.

L'exemple de référence, rédigé

Reprenons $f(x) = x^2$ en $a = 2$, rédigé comme au tableau.

Pour $h \neq 0$ : $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2 - 2^2}{h}$.

On développe le numérateur : $(2+h)^2 - 4 = 4 + 4h + h^2 - 4 = 4h + h^2$.

On factorise et on simplifie : $\dfrac{4h + h^2}{h} = \dfrac{h(4 + h)}{h} = 4 + h$.

On passe à la limite : $\lim\limits_{h \to 0} (4 + h) = 4$, donc $f'(2) = 4$.

Enfin l'équation de la tangente, avec $f(2) = 4$ : $y = 4(x - 2) + 4$, soit $y = 4x - 4$.

Cette droite touche la parabole au point $(2\,;\,4)$ et a la même pente qu'elle en ce point.

Échauffement 1 — la même parabole, mais en a = 3

On garde $f(x) = x^2$ et on cherche $f'(3)$ puis la tangente en $x = 3$. On refait exactement les mêmes gestes.

On écrit le taux, pour $h \neq 0$ : $\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{(3+h)^2 - 9}{h}$.

On développe : $(3+h)^2 = 9 + 6h + h^2$ (le double produit vaut $2 \times 3 \times h = 6h$, ne l'oublie pas).

Le numérateur vaut donc $9 + 6h + h^2 - 9 = 6h + h^2$.

On factorise par $h$ et on simplifie : $\dfrac{6h + h^2}{h} = \dfrac{h(6 + h)}{h} = 6 + h$.

On fait tendre $h$ vers $0$ : $6 + h \to 6$, donc $f'(3) = 6$.

Comme $f(3) = 9$, la tangente est $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.

Tu remarques quelque chose ? En $a = 2$ on trouvait $4$, en $a = 3$ on trouve $6$… la pente semble valoir $2a$. On y revient au palier suivant.

Échauffement 2 — une fonction affine

Prenons une droite : $f(x) = 3x + 1$, et cherchons $f'(a)$ pour n'importe quel $a$.

Le taux, pour $h \neq 0$ : $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h} = \dfrac{\big(3(a+h) + 1\big) - (3a + 1)}{h}$.

On développe le numérateur : $3a + 3h + 1 - 3a - 1 = 3h$.

On simplifie : $\dfrac{3h}{h} = 3$. Il n'y a même pas de $h$ qui traîne.

Donc, quel que soit $h$, le taux vaut $3$, et sa limite quand $h \to 0$ vaut $3$ : $f'(a) = 3$ pour tout $a$.

C'est logique : une droite a partout la même pente, et sa tangente en n'importe quel point… c'est elle-même. Retiens que pour une fonction affine $f(x) = mx + p$, le nombre dérivé vaut $m$ partout.

Échauffement 3 — on monte au cube

Un cran plus dur : $f(x) = x^3$, cherchons $f'(1)$. La méthode ne change pas d'un pouce.

Le taux, pour $h \neq 0$ : $\dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^3 - 1}{h}$.

On développe le cube : $(1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3$.

Le numérateur devient $1 + 3h + 3h^2 + h^3 - 1 = 3h + 3h^2 + h^3$.

On factorise par $h$ : $3h + 3h^2 + h^3 = h(3 + 3h + h^2)$.

On simplifie : $\dfrac{h(3 + 3h + h^2)}{h} = 3 + 3h + h^2$.

On fait tendre $h$ vers $0$ : $3h \to 0$ et $h^2 \to 0$, donc $3 + 3h + h^2 \to 3$. D'où $f'(1) = 3$.

La tangente en $x = 1$, avec $f(1) = 1$ : $y = 3(x - 1) + 1 = 3x - 2$.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

La rédaction qui rapporte les points. À chaque calcul de nombre dérivé, le correcteur veut voir : la mention $h \neq 0$, le taux écrit proprement, le développement, la factorisation par $h$, la simplification, puis le passage à la limite énoncé clairement (« quand $h \to 0$ »). Sauter la factorisation, c'est zapper l'étape qui justifie tout le reste.

Les pièges classiques :

• Remplacer $h$ par $0$ trop tôt : dans le taux, ça donne $\dfrac{0}{0}$, qui ne veut rien dire. On simplifie d'abord, on remplace ensuite.
• Développer $(a+h)^2$ en $a^2 + h^2$ : c'est faux, il manque le double produit $2ah$.
• Confondre le nombre $f'(a)$ (la pente en un point) et la fonction dérivée $f'(x)$ (qui donne la pente en tout point) : ce sont deux objets différents.
• Écrire la tangente sous la forme $y = f'(a)\,x + f(a)$ : faux ! La bonne écriture est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. L'ordonnée à l'origine n'est pas $f(a)$.

Problème type 1 — tangente parallèle à une droite

Énoncé. Soit $f(x) = x^2$. En quel point la tangente à la courbe est-elle parallèle à la droite $d : y = 6x - 1$ ? Donne aussi l'équation de cette tangente.

Idée. Deux droites sont parallèles quand elles ont la même pente. La pente de $d$ vaut $6$. On cherche donc l'abscisse $a$ telle que $f'(a) = 6$.

On calcule $f'(a)$ pour un $a$ quelconque. Pour $h \neq 0$ : $\dfrac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \dfrac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \dfrac{2ah + h^2}{h} = \dfrac{h(2a + h)}{h} = 2a + h$.

Quand $h \to 0$ : $2a + h \to 2a$. Donc $f'(a) = 2a$.

On résout. $f'(a) = 6 \iff 2a = 6 \iff a = 3$.

On conclut. Le point cherché a pour abscisse $a = 3$, et $f(3) = 9$ : c'est le point $(3\,;\,9)$. La tangente y vaut $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$. Sa pente est bien $6$ : elle est parallèle à $d$.

Problème type 2 — trouver et vérifier une tangente

Énoncé. Soit $f(x) = x^2 - 2x$. Détermine l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a = 0$.

Le taux, pour $h \neq 0$ : $\dfrac{f(0+h) - f(0)}{h}$. On calcule d'abord $f(h) = h^2 - 2h$ et $f(0) = 0$.

Donc $\dfrac{h^2 - 2h - 0}{h} = \dfrac{h(h - 2)}{h} = h - 2$.

La limite : quand $h \to 0$, $h - 2 \to -2$, donc $f'(0) = -2$. La pente est négative : la courbe descend en $x = 0$.

L'équation : avec $f(0) = 0$, on a $y = -2(x - 0) + 0 = -2x$.

Le réflexe qui rassure le correcteur — vérifier. La tangente passe-t-elle bien par le point de contact $(0\,;\,0)$ ? On remplace $x = 0$ : $y = -2 \times 0 = 0$. Oui. Sa pente est $-2$, comme trouvé. Tout est cohérent.

Du nombre dérivé à la fonction dérivée

Dans les problèmes, on a calculé $f'(2) = 4$, $f'(3) = 6$, puis $f'(a) = 2a$ pour $f(x) = x^2$. Cette dernière égalité est bien plus puissante : elle donne la pente en tout point d'un seul coup.

En considérant $a$ comme une variable, on obtient une nouvelle fonction, la fonction dérivée $f'$ : à chaque $x$ elle associe le nombre dérivé $f'(x)$. Pour $f(x) = x^2$, on vient de démontrer que $f'(x) = 2x$.

C'est la prochaine grande étape du programme de première, dans le chapitre qui suit : au lieu de refaire la limite à chaque fois, tu apprendras des formules de dérivation toutes prêtes (pour $x^n$, pour une somme, un produit…) qui donnent $f'(x)$ directement. Le calcul par la limite, lui, reste la définition qui justifie ces formules.

Le signe de la dérivée raconte les variations

Voici l'idée qui rend la dérivée si utile : la pente de la tangente indique si la courbe monte ou descend.

• Là où le nombre dérivé $f'(x)$ est strictement positif, les tangentes montent : la fonction est croissante.
• Là où $f'(x)$ est strictement négatif, les tangentes descendent : la fonction est décroissante.
• Là où $f'(x)$ s'annule, la tangente est horizontale : c'est souvent un sommet ou un creux (un extremum).

Exemple avec $f(x) = x^2 - 2x$ : en refaisant le calcul avec un $a$ quelconque, on trouve la pente générale $f'(x) = 2x - 2$. Elle s'annule en $x = 1$, elle est négative avant et positive après : la parabole descend jusqu'à $x = 1$ puis remonte. Son minimum est donc en $x = 1$, sans même tracer la courbe. Dès le prochain chapitre de première, ce raisonnement sur le signe de $f'$ deviendra l'outil numéro un pour étudier une fonction.

Une dérivée, ça sert dans la vraie vie

En physique. Si $x(t)$ donne la position d'un objet en fonction du temps, le taux de variation $\dfrac{x(t+h) - x(t)}{h}$ est la vitesse moyenne entre les instants $t$ et $t+h$. En faisant tendre $h$ vers $0$, on obtient la vitesse instantanée : c'est exactement le nombre dérivé $x'(t)$. La dérivée, c'est la vitesse. Et la dérivée de la vitesse, c'est l'accélération.

Une nuance à venir. On a toujours supposé que le taux se rapproche d'une valeur finie. Ce n'est pas garanti pour toutes les fonctions : certaines courbes ont un « coin » où la tangente n'existe pas. La notion de limite, travaillée pour elle-même en terminale, donnera le langage rigoureux pour dire quand une fonction est dérivable — et prolongera tout ce que tu viens d'apprendre.