Nombre dérivé et tangente

Le nombre dérivé mesure la vitesse de variation d'une fonction en un point — et donne la pente de la tangente à sa courbe.

1 L'idée

Pour mesurer la vitesse de variation d'une fonction $f$ en un point d'abscisse $a$, on forme le taux de variation entre $a$ et $a+h$ ($h \neq 0$) : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. C'est le coefficient directeur de la sécante passant par les points de la courbe d'abscisses $a$ et $a+h$.

Quand $h$ tend vers $0$, si cette expression tend vers une limite finie, cette limite est le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$. Géométriquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

2 Formules fondamentales

Taux de variation

$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \quad (h \neq 0)$

Nombre dérivé

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Tangente en $x=a$

$y = f'(a)(x-a)+f(a)$

3 Calcul du nombre dérivé de $f(x)=x^2$ en $a=2$

Taux de variation

$\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2 - 4}{h} = \dfrac{4+4h+h^2-4}{h} = \dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h$

Passage à la limite

Quand $h \to 0$ : $4+h \to 4$, donc $f'(2) = 4$.

La tangente en $x=2$ a pour équation : $y = 4(x-2)+4 = 4x-4$.

Méthode — trouver $f'(a)$ et l'équation de la tangente

Calculer $f(a+h)$ en développant soigneusement les puissances.
Former $f(a+h)-f(a)$, diviser par $h$ et factoriser par $h$ pour le faire disparaître du dénominateur.
Faire tendre $h$ vers $0$ : la limite obtenue est $f'(a)$.
Calculer $f(a)$ (ordonnée du point de contact).
Écrire $y = f'(a)(x-a)+f(a)$.

Erreurs fréquentes

Poser $h=0$ directement dans le taux de variation donne $\dfrac{0}{0}$ : il faut d'abord simplifier par $h$.
Développer $(a+h)^2$ comme $a^2+h^2$ : le terme $2ah$ est indispensable.
Confondre $f'(a)$ (un nombre, la pente au point $a$) et la fonction dérivée $f'(x)$.
Écrire la tangente $y = f'(a)\cdot x + f(a)$ au lieu de $y = f'(a)(x-a)+f(a)$ : l'ordonnée à l'origine n'est pas $f(a)$.