Fonction dérivée et règles de dérivation

Calculer la dérivée d'une fonction pour lire ses variations — méthode systématique.

1 L'idée

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $a$ mesure son taux de variation instantané : c'est la pente de la tangente à la courbe en ce point.

On définit $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$, lorsque cette limite existe.

La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ la valeur $f'(x)$. Elle traduit le sens de variation de $f$ : $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ croissante ; $f'(x) \lt 0$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante.

2 Dérivées des fonctions usuelles

Constante

$f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0$

Identité

$f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1$

Puissance $x^n$

$f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n\,x^{n-1}$

Inverse $1/x$

$f(x) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$

Racine $\sqrt{x}$

$f(x) = \sqrt{x} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

3 Règles de dérivation

Somme

$(u+v)' = u' + v'$

Multiple

$(k\,u)' = k\,u'$

Produit

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Quotient

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Composée $u^n$

$(u^n)' = n\,u^{n-1} \cdot u'$

Composée $\sqrt{u}$

$(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

4 Exemples de calcul

Exemple A — Somme et puissances

Soit $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$.

$f'(x) = 3 \times 4x^3 - 2 \times 2x + 5 = 12x^3 - 4x + 5$

Exemple B — Règle du produit

Soit $g(x) = (x+2)(3x-1)$. On pose $u = x+2$, $v = 3x-1$.

$u' = 1$, $v' = 3$

$g'(x) = 1 \cdot (3x-1) + (x+2) \cdot 3 = 3x-1+3x+6 = 6x+5$

Exemple C — Composée $(u^n)$

Soit $h(x) = (2x+3)^5$. On pose $u = 2x+3$, donc $u' = 2$.

$h'(x) = 5(2x+3)^4 \times 2 = 10(2x+3)^4$

Méthode — dériver pas à pas

Identifier la structure de $f$ : somme, produit, quotient ou composée.
Nommer $u$ (et $v$ pour produit/quotient), calculer $u'$ et $v'$.
Appliquer la formule correspondante.
Simplifier et factoriser l'expression si possible.

Erreurs fréquentes

$(uv)' \neq u'v'$ : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.
Composée : ne pas oublier $u'$. On a $(u^n)' = n\,u^{n-1} \cdot u'$, pas $n\,u^{n-1}$.
Quotient : le signe moins donne $u'v - uv'$ au numérateur, et non $uv' - u'v$.
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ : le signe est négatif.