Fonction dérivée et règles de dérivation

Les prérequis à avoir en tête

Avant de dériver, tu dois être à l'aise avec trois choses très simples :

1. Les puissances : $x^2$, $x^3$, $x^4$... et savoir que $x = x^1$.

2. La notion de pente (coefficient directeur) d'une droite : plus une droite monte vite, plus sa pente est grande ; une droite qui descend a une pente négative.

3. Le signe d'une expression : savoir dire quand quelque chose est positif ou négatif.

C'est tout. Le reste, ce sont des formules à appliquer.

L'essentiel en une minute

La dérivée d'une fonction $f$, notée $f'$, est une nouvelle fonction qui te donne la pente de la courbe en chaque point : un vrai « détecteur de variations ».

La règle de lecture est capitale :

- si $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle, alors $f$ monte (croissante) ;

- si $f'(x) \lt 0$, alors $f$ descend (décroissante).

Pour le contrôle, mémorise ces quatre réflexes :

- une constante disparaît : $f(x) = c$ donne $f'(x) = 0$ ;

- la star : $f(x) = x^n$ donne $f'(x) = n\,x^{n-1}$ (l'exposant descend devant, puis on lui enlève 1) ;

- on dérive terme par terme : $(u+v)' = u' + v'$ ;

- un nombre devant reste devant : $(k\,u)' = k\,u'$.

Un exemple traité en entier

On dérive $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$. On avance terme par terme.

Terme $3x^4$ : l'exposant $4$ descend devant, il reste $4-1 = 3$, donc $3 \times 4x^3 = 12x^3$.

Terme $-2x^2$ : $-2 \times 2x^{1} = -4x$.

Terme $5x$ : c'est $5x^1$, sa dérivée est $5 \times 1 = 5$.

Terme $-7$ : une constante, sa dérivée est $0$.

On recolle le tout : $f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$.

Aucune magie : juste la règle $x^n \to n\,x^{n-1}$ appliquée quatre fois. Si tu sais faire ça, tu as déjà la moyenne.

Définition : du nombre dérivé à la fonction dérivée

Le nombre dérivé de $f$ en un point $a$ mesure le taux de variation instantané de $f$ en $a$. Formellement :

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$, lorsque cette limite existe.

Géométriquement, $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est la pente d'une corde ; quand $h$ devient minuscule, la corde vient se coucher sur la tangente.

La fonction dérivée $f'$ est alors la fonction qui, à chaque $x$, associe le nombre dérivé $f'(x)$.

Elle porte toute l'information sur les variations de $f$ :

- $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle $\Rightarrow$ $f$ est croissante sur cet intervalle ;

- $f'(x) \lt 0$ $\Rightarrow$ $f$ est décroissante.

Le formulaire complet

Dérivées des fonctions usuelles (à connaître par cœur) :

- $f(x) = c$ (constante) $\Rightarrow$ $f'(x) = 0$ ;

- $f(x) = x$ $\Rightarrow$ $f'(x) = 1$ ;

- $f(x) = x^n$ $\Rightarrow$ $f'(x) = n\,x^{n-1}$ ;

- $f(x) = \dfrac{1}{x}$ $\Rightarrow$ $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ (attention, signe moins) ;

- $f(x) = \sqrt{x}$ $\Rightarrow$ $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (pour $x \gt 0$).

Les règles de dérivation ($u$ et $v$ sont deux fonctions) :

- Somme : $(u+v)' = u' + v'$ ;

- Multiple : $(k\,u)' = k\,u'$ ;

- Produit : $(u\,v)' = u'v + uv'$ ;

- Quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ ;

- Puissance d'une fonction : $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$ ;

- Racine d'une fonction : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

La méthode pas à pas, avec deux exemples

Face à n'importe quelle fonction, la démarche est toujours la même :

Étape 1. Reconnaître la structure de $f$ : somme, produit, quotient, ou puissance d'une expression ?

Étape 2. Nommer $u$ (et $v$ pour un produit ou un quotient), puis calculer $u'$ et $v'$.

Étape 3. Appliquer la formule qui correspond.

Étape 4. Développer, simplifier, factoriser.

Exemple - produit. Soit $g(x) = (x+2)(3x-1)$.

On pose $u = x+2$ et $v = 3x-1$, donc $u' = 1$ et $v' = 3$.

Formule du produit : $g'(x) = u'v + uv' = 1 \times (3x-1) + (x+2)\times 3$.

On développe : $g'(x) = 3x - 1 + 3x + 6 = 6x + 5$.

Exemple - puissance d'une expression. Soit $h(x) = (2x+3)^5$.

On pose $u = 2x+3$, donc $u' = 2$.

Formule : $h'(x) = 5\,u^{4}\,u' = 5(2x+3)^4 \times 2 = 10(2x+3)^4$.

Échauffement 1 - un quotient

On dérive $f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}$ (pour $x \neq 3$).

C'est un quotient : je repère tout de suite la forme $\dfrac{u}{v}$.

Je pose $u = 2x+1$ et $v = x-3$. Je calcule à part : $u' = 2$ et $v' = 1$.

J'écris la formule avant de remplacer, pour ne pas rater le signe : $f'(x) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Je remplace : $f'(x) = \dfrac{2\,(x-3) - (2x+1)\times 1}{(x-3)^2}$.

Je développe le numérateur : $2x - 6 - 2x - 1 = -7$.

Donc $f'(x) = \dfrac{-7}{(x-3)^2}$.

Contrôle de bon sens : $(x-3)^2 \gt 0$, donc $f'(x) \lt 0$ partout : $f$ est décroissante sur chaque intervalle. Cohérent.

Échauffement 2 - une puissance d'expression

On dérive $g(x) = (x^2 + 1)^3$.

Tentation : tout développer. Mauvaise idée, c'est long et casse-figure. Je reconnais plutôt une puissance d'une fonction $u^n$.

Je pose $u = x^2 + 1$, donc $u' = 2x$, et ici $n = 3$.

Formule : $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$. Le piège classique serait d'oublier le $u'$ à la fin.

Je remplace : $g'(x) = 3\,(x^2+1)^{2}\times 2x$.

Je range proprement : $g'(x) = 6x\,(x^2+1)^2$.

Échauffement 3 - une racine

On dérive $k(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

Sous la racine, il n'y a pas juste $x$ mais une expression : c'est la forme $\sqrt{u}$.

Je pose $u = x^2 + 1$, donc $u' = 2x$.

Formule : $(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Je remplace : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}$.

Je simplifie par $2$ : $k'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Remarque utile : ici $x^2 + 1 \gt 0$ toujours, donc aucun souci d'existence — la racine est définie partout.

Problème type 1 - étude des variations

Énoncé. Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$.

1) On dérive. $f'(x) = 3x^2 - 3$.

2) On factorise (l'étape qui rapporte) : $f'(x) = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

3) On étudie le signe. Le produit $3(x-1)(x+1)$ s'annule en $x = -1$ et $x = 1$. C'est un polynôme du second degré à coefficient dominant positif : négatif entre les racines, positif à l'extérieur.

Donc $f'(x) \gt 0$ sur $]-\infty\,;\,-1[$, puis $f'(x) \lt 0$ sur $]-1\,;\,1[$, puis $f'(x) \gt 0$ sur $]1\,;\,+\infty[$.

4) On conclut. $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$, décroissante sur $[-1\,;\,1]$, puis croissante sur $[1\,;\,+\infty[$.

Valeurs remarquables : $f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$ (maximum local) et $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ (minimum local).

Problème type 2 - une optimisation concrète

Énoncé. On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur (le mur fait un côté, on ne clôture donc que trois côtés). Si $x$ désigne la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur, l'aire vaut $A(x) = x(40 - 2x)$. Pour quel $x$ l'aire est-elle maximale ?

1) On met en forme. $A(x) = 40x - 2x^2$, avec $x \in [0\,;\,20]$.

2) On dérive. $A'(x) = 40 - 4x$.

3) On étudie le signe. $A'(x) = 0$ pour $x = 10$ ; $A'(x) \gt 0$ pour $x \lt 10$ et $A'(x) \lt 0$ pour $x \gt 10$.

4) On conclut. $A$ croît puis décroît : elle atteint son maximum en $x = 10$. L'aire maximale vaut $A(10) = 10 \times (40 - 20) = 200$ m$^2$.

C'est exactement à ça que sert la dérivée : le maximum est là où $A'$ change de signe (passage du $+$ au $-$).

Subtilités, attentes du correcteur et pièges

Trois subtilités à garder en tête.

- Domaine de dérivabilité : $\dfrac{1}{x}$ et $\sqrt{x}$ ne se dérivent pas en $0$ ($\dfrac{1}{x}$ n'existe même pas en $0$, et la dérivée $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ de $\sqrt{x}$ divise par $0$). Précise toujours ton ensemble de travail.

- Ne confonds pas $f$ et $f'$ : $f'(x)$ renseigne sur les variations de $f$, pas sur son signe. Une fonction peut être positive et décroissante en même temps.

- Factoriser $f'$ est l'étape clé : pour étudier son signe, on l'écrit presque toujours comme un produit (ou un quotient) de facteurs simples.

Ce qui rapporte les points :

- dériver sans erreur de calcul (recompte les exposants et les signes) ;

- factoriser $f'$ puis justifier son signe (tableau de signes) ;

- dresser un tableau de variations propre, avec les flèches et les valeurs aux bornes ;

- conclure par une phrase en français (« $f$ est croissante sur... »).

Les pièges classiques (les mêmes à chaque contrôle) :

- $(uv)' \neq u'v'$ : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées ;

- puissance / composée : ne jamais oublier le $u'$. On a $(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$, et non $n\,u^{n-1}$ ;

- quotient : le numérateur est $u'v - uv'$ (le moins est du côté de $uv'$), et pas l'inverse ;

- $\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ : le signe est négatif ;

- conclure sur le signe de $f$ alors qu'on n'a étudié que le signe de $f'$.

D'où vient la formule ? Une petite démonstration

La règle $x^n \to n\,x^{n-1}$ n'est pas tombée du ciel : on peut la retrouver depuis la définition. Prenons le cas $f(x) = x^2$ et revenons au taux de variation :

$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}$.

On développe $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$, donc le numérateur devient $2xh + h^2$.

$\dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$ (on simplifie par $h$).

Quand $h \to 0$, il reste $2x$. On retrouve bien $f'(x) = 2x$, c'est-à-dire $2x^{2-1}$.

Moralité : chaque ligne du formulaire cache un petit calcul de limite comme celui-ci. Tu n'as pas à les refaire, mais tu sais maintenant qu'elles se démontrent.

La dérivée relie plein de notions

Tangente. Puisque $f'(a)$ est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$, on peut écrire son équation : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. C'est le lien direct avec la notion « Nombre dérivé et tangente ».

Extremums. Un maximum ou un minimum « lisse » se trouve là où $f'$ s'annule en changeant de signe. C'est le cœur de tous les problèmes d'optimisation (aire maximale, coût minimal...), comme celui de l'enclos plus haut.

Tableau de variations. Le signe de $f'$ se traduit en flèches : $+$ donne une flèche qui monte, $-$ une flèche qui descend. La dérivée, c'est l'outil qui remplit ce tableau.

Aperçu de l'année prochaine

En Terminale, la dérivation prend de l'ampleur :

- De nouvelles fonctions : l'exponentielle, avec la propriété surprenante $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$ (elle est sa propre dérivée), et le logarithme $\ln$.

- La composée générale : au-delà de $u^n$ et $\sqrt{u}$, on dérivera $v(u(x))$ avec la règle $\big(v(u)\big)' = u' \times v'(u)$ — nos formules de cette année n'en sont que des cas particuliers.

- La dérivée seconde : en dérivant $f'$ à son tour, on obtient $f''$, qui dit si la courbe est creusée vers le haut ou vers le bas (convexité).

- L'opération inverse : on apprendra à « remonter » d'une dérivée vers la fonction de départ (primitives, puis intégrales). La dérivation a une réciproque.

Autrement dit, tout ce que tu installes maintenant — repérer une structure, appliquer une formule, lire un signe — se réutilise tel quel. Rien n'est perdu.