Fonction exponentielle

L'unique fonction égale à sa propre dérivée — socle de la modélisation de la croissance.

1 L'idée

La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$.

Le nombre $e \approx 2{,}718$ est le nombre d'Euler. La fonction est strictement positive sur $\mathbb{R}$ (on ne peut pas obtenir $e^x = 0$ ou $e^x \lt 0$) et strictement croissante.

Limites aux bornes : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$. De plus, pour tout polynôme $P$, $\lim_{x \to -\infty} P(x)\,e^x = 0$ (croissances comparées).

2 Propriétés algébriques

Produit

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

Quotient

$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$

Opposé

$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$

Puissance entière

$\left(e^a\right)^n = e^{na}$

Valeurs clés

$e^0 = 1 \qquad e^1 = e$

3 Dérivée

Dérivée de exp

$\left(e^x\right)' = e^x$

Dérivée composée

$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$

4 Exemples de calculs

Simplifications algébriques

$e^3 \cdot e^4 = e^{3+4} = e^7$

$\dfrac{e^5}{e^2} = e^{5-2} = e^3$

$\left(e^2\right)^3 = e^{2 \times 3} = e^6$

Dérivée de $f(x) = e^{2x-3}$

On pose $u(x) = 2x-3$, d'où $u'(x) = 2$.

$f'(x) = u'(x) \cdot e^{u(x)} = 2e^{2x-3}$

Dérivée de $g(x) = (x+1)e^x$

Produit de $(x+1)$ et $e^x$ : $g'(x) = 1 \cdot e^x + (x+1) \cdot e^x$.

$g'(x) = e^x(1 + x + 1) = (x+2)e^x$

Méthode — étudier les variations d'une fonction du type $P(x) \cdot e^x$

Calculer $f'(x)$, puis factoriser par $e^x$.
Rappeler que $e^x \gt 0$ pour tout réel : le signe de $f'(x)$ est celui du facteur polynomial.
Résoudre le facteur polynomial $= 0$ pour localiser les extrema.
Dresser le tableau de variations.

Erreurs fréquentes

$e^{a+b} \neq e^a + e^b$ : le passage à l'exponentielle transforme une somme en produit.
$\left(e^x\right)^2 = e^{2x}$, et non $e^{x^2}$.
$e^x \gt 0$ pour tout $x$ : l'équation $e^x = -1$ est impossible.
Dérivée composée : $\left(e^u\right)' = u' \cdot e^u$ — ne pas oublier $u'$.