Contrôle sur l'exponentielle et tu n'as jamais vu la bête ? Respire un coup. L'exponentielle, c'est une fonction avec un seul superpouvoir à retenir — tout le reste en découle. On vise l'essentiel pour ne pas laisser filer les points faciles.
Les prérequis, vite fait
Rien de sorcier, mais garde ces trois réflexes sous le coude :
- Dériver un produit : $(uv)' = u'v + uv'$.
- Manipuler les puissances : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ et $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (l'exponentielle suit exactement les mêmes règles).
- Lire une variation : une fonction strictement croissante monte toujours, une fonction strictement positive ne touche jamais l'axe des abscisses.
L'essentiel et les formules à retenir
La fonction exponentielle, notée $x \mapsto e^x$, est la fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut $1$ en $0$. Le nombre $e \approx 2{,}718$ s'appelle le nombre d'Euler.
Deux faits à réciter les yeux fermés : $e^x$ est toujours strictement positif ($e^x > 0$ pour tout $x$) et strictement croissant. Sa courbe part de tout près de l'axe des abscisses à gauche et grimpe à toute vitesse à droite.
Les formules qui rapportent des points :
Un exemple traité en entier
On veut simplifier $e^3 \times e^4$, puis dériver $f(x) = e^{2x-3}$.
Simplification. On additionne les exposants : $e^3 \times e^4 = e^{3+4} = e^7$.
Dérivée. Ici $f$ est une exponentielle composée. On pose $u(x) = 2x-3$, donc $u'(x) = 2$.
On applique $(e^{u})' = u' \times e^{u}$ : $f'(x) = 2\,e^{2x-3}$.
Le réflexe qui sauve : on n'oublie jamais de multiplier par $u'$.
Ah, ça revient : tu as bien vu l'exponentielle en classe, mais entre deux notifications, deux ou trois détails ont filé à l'anglaise. On reprend le cours au propre, dans l'ordre, avec les définitions exactes et la méthode complète.
Définition et le nombre e
La fonction exponentielle est l'unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie les deux conditions :
On la note $x \mapsto e^x$ (ou $\exp(x)$). Le nombre $e \approx 2{,}718$ est le nombre d'Euler : c'est simplement la valeur $e^1$, comme $e^0 = 1$.
Cette définition minimaliste est puissante : c'est parce que $f' = f$ que l'exponentielle sert à décrire tout ce qui croît proportionnellement à sa propre taille (populations, argent placé, etc.).
Signe, variations et limites
Comme $(e^x)' = e^x$ et que $e^x > 0$ pour tout réel, la dérivée est toujours strictement positive : la fonction est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Elle reste strictement positive partout : on ne peut jamais obtenir $e^x = 0$ ni $e^x < 0$. L'axe des abscisses est une asymptote à gauche.
Aux bornes :
Enfin, l'exponentielle « écrase » les polynômes : pour tout polynôme $P$, $\lim_{x \to -\infty} P(x)\,e^x = 0$. C'est ce qu'on appelle les croissances comparées.
Propriétés algébriques et dérivée
L'exponentielle transforme les sommes en produits. Voici toute la boîte à outils :
Côté dérivation, deux formules seulement :
$\dfrac{e^5}{e^2} = e^{5-2} = e^3$ et $(e^2)^3 = e^{2 \times 3} = e^6$.
Dérivée de $f(x) = e^{2x-3}$ : avec $u = 2x-3$ et $u' = 2$, on obtient $f'(x) = 2\,e^{2x-3}$.
On enlève le survêt et on s'échauffe ensemble. Je rédige tout, ligne par ligne, comme si on était côte à côte à la même table. Regarde surtout deux gestes : où je factorise par $e^x$, et où je n'oublie surtout pas le $u'$.
Exemple 1 — simplifier une expression
Objectif : écrire $A = \dfrac{e^5 \times e^{-2}}{e^{-3}}$ sous la forme $e^{\text{un seul nombre}}$.
D'abord le numérateur : un produit, donc on ajoute les exposants. $e^5 \times e^{-2} = e^{5 + (-2)} = e^3$.
Ensuite le quotient : on soustrait l'exposant du bas. $A = \dfrac{e^3}{e^{-3}} = e^{3 - (-3)} = e^{6}$.
Résultat : $A = e^6$. Petite vérif mentale : diviser par $e^{-3}$, c'est multiplier par $e^3$ (car $e^{-3} = \dfrac{1}{e^3}$) — cohérent.
Exemple 2 — dériver une composée
On dérive $f(x) = e^{2x-3}$. C'est une exponentielle « avec quelque chose à l'intérieur » : le cas composé.
Étape 1 — repérer $u$. Ce qui est en exposant, c'est $u(x) = 2x - 3$.
Étape 2 — dériver $u$. $u'(x) = 2$.
Étape 3 — appliquer la formule $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ : $f'(x) = 2 \times e^{2x-3}$.
Résultat : $f'(x) = 2\,e^{2x-3}$. Le $2$ vient de $u'$ : si tu l'oublies, la dérivée est fausse.
Exemple 3 — dériver un produit
On dérive $g(x) = (x+1)\,e^x$. Là c'est un produit de deux fonctions : $(x+1)$ et $e^x$.
Étape 1 — poser le produit. Avec $u = x+1$ (donc $u' = 1$) et $v = e^x$ (donc $v' = e^x$), on utilise $(uv)' = u'v + uv'$.
Étape 2 — remplacer. $g'(x) = 1 \times e^x + (x+1) \times e^x$.
Étape 3 — factoriser par $e^x$. $g'(x) = e^x\big(1 + x + 1\big) = (x+2)\,e^x$.
Résultat : $g'(x) = (x+2)\,e^x$. Cette factorisation par $e^x$ n'est pas décorative : c'est elle qui va nous servir à étudier le signe juste après.
Là on joue le contrôle pour de vrai. Le correcteur ne regarde pas seulement le résultat encadré : il veut voir la factorisation par $e^x$, la phrase « or $e^x > 0$ » et un tableau de variations propre. Deux problèmes types entièrement résolus, et la liste des pièges où on perd des points bêtement.
Problème type — étude complète des variations
Énoncé. Étudier les variations de $g(x) = (x+1)\,e^x$ sur $\mathbb{R}$.
1. Dérivée. On a vu que $g'(x) = (x+2)\,e^x$ (produit, puis factorisation par $e^x$).
2. Signe de $g'(x)$. Or $e^x > 0$ pour tout réel : le signe de $g'(x)$ est donc celui du facteur $x+2$.
On résout $x + 2 = 0$, soit $x = -2$. Ainsi $g'(x) < 0$ pour $x < -2$ et $g'(x) > 0$ pour $x > -2$.
3. Variations. $g$ est donc décroissante sur $]-\infty\,;\,-2]$ puis croissante sur $[-2\,;\,+\infty[$.
4. Minimum. Il est atteint en $x = -2$ et vaut $g(-2) = (-2+1)\,e^{-2} = -\dfrac{1}{e^2} \approx -0{,}14$.
- La factorisation par $e^x$ écrite explicitement.
- La phrase clé « or $e^x > 0$, donc $g'(x)$ a le signe de $x+2$ ».
- Un tableau de variations propre avec la valeur du minimum.
Problème type — la composée à ne pas rater
Énoncé. Dériver $h(x) = e^{x^2}$.
1. Repérer $u$. En exposant on a $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$.
2. Appliquer $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ : $h'(x) = 2x\,e^{x^2}$.
C'est exactement le $u' = 2x$ qui est noté par le correcteur. L'oublier donne $e^{x^2}$ tout seul, ce qui est faux.
Ne confonds pas $e^{x^2}$ et $(e^x)^2$. Le premier a $x^2$ en exposant ; le second vaut $(e^x)^2 = e^{2x}$. Ce sont deux fonctions différentes.
Les pièges classiques qui coûtent des points
- $e^{a+b} \neq e^a + e^b$. L'exponentielle change une somme en produit : $e^{a+b} = e^a \times e^b$.
- $(e^x)^2 = e^{2x}$, et surtout pas $e^{x^2}$.
- $e^x > 0$ pour tout $x$ : l'équation $e^x = -1$ (ou $e^x = 0$) n'a aucune solution.
- Dérivée composée : $(e^{u})' = u'\,e^{u}$ — le $u'$ n'est pas optionnel.
Devant une fonction du type $P(x)\,e^x$, factorise toujours $g'(x)$ par $e^x$, puis rappelle que $e^x > 0$. L'étude du signe se réduit alors à celle d'un simple polynôme.
Le contrôle est dans la poche ? Alors on regarde par-dessus le mur, du côté de la Terminale. L'exponentielle va y retrouver sa fonction miroir, servir à modéliser à peu près tout ce qui grandit ou décroît, et on va enfin justifier d'où sortent ses fameuses propriétés.
La tangente en 0 et l'inégalité $e^x \ge x+1$
On sait deux choses : $e^0 = 1$ et, comme $f' = f$, la pente de la courbe en $0$ vaut $f'(0) = e^0 = 1$. La tangente à la courbe au point $(0\,;\,1)$ a donc pour équation :
Fait remarquable que tu démontreras l'an prochain : la courbe de l'exponentielle reste toujours au-dessus de cette tangente. Autrement dit, pour tout réel $x$ :
C'est un outil précieux pour comparer $e^x$ à des expressions simples et encadrer des limites.
Pourquoi $e^{a+b} = e^a\,e^b$ ? L'idée de la preuve
Cette propriété n'est pas magique : elle se démontre uniquement à partir de $f' = f$. Voici l'idée, qui repose sur un principe très utilisé en Terminale — une fonction de dérivée nulle est constante.
On fixe $b$ et on pose $\varphi(x) = e^{x+b} \times e^{-x}$.
On dérive avec la formule composée ($(e^{-x})' = -e^{-x}$) et la dérivée d'un produit :
$\varphi'(x) = e^{x+b} \times e^{-x} + e^{x+b} \times (-e^{-x}) = 0$.
La dérivée est nulle partout, donc $\varphi$ est constante. Or $\varphi(0) = e^{b} \times e^{0} = e^b$.
Donc $e^{x+b}\,e^{-x} = e^b$ pour tout $x$, c'est-à-dire $e^{x+b} = e^x\,e^b$. En prenant $x = a$ : $e^{a+b} = e^a\,e^b$.
La même astuce (fabriquer une fonction de dérivée nulle) démontre $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ et toutes les autres règles.
L'an prochain : logarithme, croissances comparées, modélisation
Le logarithme népérien. En Terminale arrive la fonction $\ln$, qui défait l'exponentielle : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln x} = x$. Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$. C'est elle qui permettra enfin de résoudre des équations comme $e^x = 5$.
Croissances comparées, la version forte. Tu as vu que $e^x$ écrase les polynômes en $-\infty$. En $+\infty$, c'est l'inverse : l'exponentielle l'emporte, par exemple $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ pour tout entier $n$. « L'exponentielle gagne toujours à la fin. »
Modéliser. Les fonctions $t \mapsto e^{kt}$ décrivent la croissance ($k>0$) ou la décroissance ($k<0$) continue : radioactivité, refroidissement, intérêts composés. C'est le pendant continu des suites géométriques et des modèles discrets que tu croises déjà cette année.