Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre et le contrôle approche ? Pas de panique. On va repartir des bases indispensables — les fonctions, leurs courbes, et ce que signifie 'monter' ou 'descendre' — pour te rendre opérationnel très vite. L'objectif : comprendre l'idée centrale et savoir lire des variations simples sur un graphique ou à partir d'une formule donnée.
Prérequis : Fonctions et courbes
Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ (l'abscisse) un unique nombre $f(x)$ (l'ordonnée). On représente cette association par une courbe dans un repère.
Variations : on dit que $f$ est croissante sur un intervalle si sa courbe monte quand on lit de gauche à droite. Elle est décroissante si la courbe descend. Une fonction constante a une courbe horizontale.
L'idée de la dérivée
La dérivée $f'$ d'une fonction $f$ est une nouvelle fonction qui donne la pente de la tangente à la courbe en chaque point. En pratique :
- Si $f'(x) > 0$, la tangente monte, donc la courbe monte : $f$ est croissante.
- Si $f'(x) < 0$, la tangente descend, donc la courbe descend : $f$ est décroissante.
- Si $f'(x) = 0$, la tangente est horizontale : la fonction peut atteindre un maximum ou un minimum local.
On retient : le signe de $f'$ commande les variations de $f$.
Exemple éclair : $f(x) = x^2 - 4x + 3$
On calcule $f'(x) = 2x - 4$. On résout $f'(x) = 0$, ce qui donne $x = 2$.
Pour $x < 2$, $f'(x)$ est négatif, donc $f$ décroît. Pour $x > 2$, $f'(x)$ est positif, donc $f$ croît. En $x = 2$, on a un minimum.
À toi de jouer
1. On donne la dérivée $f'(x) = 2x + 2$. Complète la phrase : $f'(x) = 0$ quand $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'(x)$ est , donc $f$ est . Pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'(x)$ est , donc $f$ est .
Corrigé
$f'(x) = 0$ quand $x = -1$. Pour $x < -1$, $f'(x)$ est négatif, donc $f$ est décroissante. Pour $x > -1$, $f'(x)$ est positif, donc $f$ est croissante.
2. Voici le tableau de signes de $f'$ sur $\mathbb{R}$ :
$x$ : $-\infty$ ... $3$ ... $+\infty$
$f'(x)$ : $+$ $0$ $-$
Complète : $f$ est sur $]-\infty, 3]$ et sur $[3, +\infty[$. En $x=3$, $f$ atteint un .
Corrigé
$f$ est croissante sur $]-\infty, 3]$ et décroissante sur $[3, +\infty[$. En $x=3$, $f$ atteint un maximum.
3. On le fait ensemble : $f(x) = x^2 + 2x$. Calcule $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$. Résous $f'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$. Signe de $f'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'$ est , donc $f$ . Pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'$ est , donc $f$ .
Corrigé
$f'(x) = 2x + 2$. $f'(x) = 0$ donne $x = -1$. Pour $x < -1$, $f'$ est négatif, donc $f$ décroît. Pour $x > -1$, $f'$ est positif, donc $f$ croît.
Ah oui, la dérivée, ce truc qui dit si ça monte ou si ça descend ! On va remettre tout ça en place proprement, avec la méthode complète pour étudier les variations d'une fonction. Tu vas voir, c'est toujours la même recette.
Les trois règles d'or
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Croissance : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
- Décroissance : Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
- Constante : Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
Extremum local : Si $f'(a) = 0$ et que $f'$ change de signe en $a$, alors $f(a)$ est un maximum ou un minimum local.
Méthode pas-à-pas : le tableau de variations
Pour étudier les variations de $f$ :
- Calculer $f'(x)$.
- Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques $a_1, a_2, \dots$
- Établir le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.
- Traduire chaque signe en variation : $f' > 0 \Rightarrow f
earrow$ (croissante), $f' < 0 \Rightarrow f \searrow$ (décroissante). - Calculer $f(a_i)$ pour placer les valeurs des extrema dans le tableau.
Exemple type : $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$
1. $f'(x) = -4x + 8$.
2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$.
3. Signe de $f'$ : pour $x < 2$, $-4x+8 > 0$ ; pour $x > 2$, $-4x+8 < 0$.
4. Donc $f$ croissante sur $]-\infty, 2]$, décroissante sur $[2, +\infty[$.
5. $f(2) = 5$, c'est un maximum.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
a) Calcule $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Résous $f'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Signe de $f'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'(x)$ est ; pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'(x)$ est .
d) Complète le tableau :
$x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$
$f'(x)$ : $0$
$f(x)$ : $\searrow$
Corrigé
a) $f'(x) = 2x - 6$
b) $2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$
c) Pour $x < 3$, $f'(x) < 0$ (négatif) ; pour $x > 3$, $f'(x) > 0$ (positif).
d) $x$ : $-\infty$ ... $3$ ... $+\infty$
$f'(x)$ : $-$ $0$ $+$
$f(x)$ : $\searrow$ (décroissante) puis $
earrow$ (croissante). Minimum en $x=3$, $f(3) = -4$.
2. On le fait ensemble : $g(x) = -x^2 + 4x + 1$.
a) $g'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, signe de $g'$ : , donc $g$ est .
Pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, signe de $g'$ : , donc $g$ est .
d) En $x = \underline{\hspace{1.1em}}$, $g$ atteint un valant $g(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $g'(x) = -2x + 4$
b) $-2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
c) Pour $x < 2$, $g'(x) > 0$, donc $g$ est croissante. Pour $x > 2$, $g'(x) < 0$, donc $g$ est décroissante.
d) En $x = 2$, $g$ atteint un maximum valant $g(2) = -4 + 8 + 1 = 5$.
3. Complète le tableau de variations de $h(x) = 3x^2 + 6x - 2$ après avoir trouvé $h'(x)$ et la valeur critique.
$h'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Valeur critique : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Tableau :
$x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$
$h'(x)$ : $0$
$h(x)$ :
Corrigé
$h'(x) = 6x + 6$. Valeur critique : $x = -1$.
Pour $x < -1$, $h'(x) < 0$ ; pour $x > -1$, $h'(x) > 0$.
Tableau :
$x$ : $-\infty$ ... $-1$ ... $+\infty$
$h'(x)$ : $-$ $0$ $+$
$h(x)$ : $\searrow$ (décroissante) puis $
earrow$ (croissante). Minimum en $x=-1$, $h(-1) = -5$.
Cinq exercices quasi identiques pour ancrer le mécanisme. Tu vas calculer une dérivée, trouver la valeur qui l'annule, déterminer son signe et en déduire les variations. Du pur réflexe.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = x^2 - 8x + 7$.
a) Calcule $f'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Résous $f'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Signe de $f'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'$ est ; pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $f'$ est .
d) Tableau : $x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$ ; $f'(x)$ : $0$ ; $f(x)$ : .
Corrigé
a) $f'(x) = 2x - 8$
b) $2x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4$
c) Pour $x < 4$, $f' < 0$ ; pour $x > 4$, $f' > 0$.
d) $x$ : $-\infty$ ... $4$ ... $+\infty$ ; $f'(x)$ : $-$ $0$ $+$ ; $f(x)$ : $\searrow$ puis $
earrow$. Minimum en $x=4$, $f(4) = -9$.
2. Soit $g(x) = -x^2 + 6x - 5$.
a) Calcule $g'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Résous $g'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Signe de $g'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $g'$ est ; pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $g'$ est .
d) Tableau : $x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$ ; $g'(x)$ : $0$ ; $g(x)$ : .
Corrigé
a) $g'(x) = -2x + 6$
b) $-2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$
c) Pour $x < 3$, $g' > 0$ ; pour $x > 3$, $g' < 0$.
d) $x$ : $-\infty$ ... $3$ ... $+\infty$ ; $g'(x)$ : $+$ $0$ $-$ ; $g(x)$ : $
earrow$ puis $\searrow$. Maximum en $x=3$, $g(3) = 4$.
3. Soit $h(x) = 2x^2 + 4x - 1$.
a) Calcule $h'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Résous $h'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Signe de $h'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $h'$ est ; pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $h'$ est .
d) Tableau : $x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$ ; $h'(x)$ : $0$ ; $h(x)$ : .
Corrigé
a) $h'(x) = 4x + 4$
b) $4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = -1$
c) Pour $x < -1$, $h' < 0$ ; pour $x > -1$, $h' > 0$.
d) $x$ : $-\infty$ ... $-1$ ... $+\infty$ ; $h'(x)$ : $-$ $0$ $+$ ; $h(x)$ : $\searrow$ puis $
earrow$. Minimum en $x=-1$, $h(-1) = -3$.
4. Soit $k(x) = -3x^2 + 12x + 2$.
a) Calcule $k'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Résous $k'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Signe de $k'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $k'$ est ; pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $k'$ est .
d) Tableau : $x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$ ; $k'(x)$ : $0$ ; $k(x)$ : .
Corrigé
a) $k'(x) = -6x + 12$
b) $-6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
c) Pour $x < 2$, $k' > 0$ ; pour $x > 2$, $k' < 0$.
d) $x$ : $-\infty$ ... $2$ ... $+\infty$ ; $k'(x)$ : $+$ $0$ $-$ ; $k(x)$ : $
earrow$ puis $\searrow$. Maximum en $x=2$, $k(2) = 14$.
5. Soit $m(x) = x^2 + 10x + 9$.
a) Calcule $m'(x) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Résous $m'(x) = 0$ : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Signe de $m'$ : pour $x < \underline{\hspace{1.1em}}$, $m'$ est ; pour $x > \underline{\hspace{1.1em}}$, $m'$ est .
d) Tableau : $x$ : $-\infty$ ... $\underline{\hspace{1.1em}}$ ... $+\infty$ ; $m'(x)$ : $0$ ; $m(x)$ : .
Corrigé
a) $m'(x) = 2x + 10$
b) $2x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = -5$
c) Pour $x < -5$, $m' < 0$ ; pour $x > -5$, $m' > 0$.
d) $x$ : $-\infty$ ... $-5$ ... $+\infty$ ; $m'(x)$ : $-$ $0$ $+$ ; $m(x)$ : $\searrow$ puis $
earrow$. Minimum en $x=-5$, $m(-5) = -16$.
Place au niveau attendu en contrôle. Tu vas manipuler des fonctions du second et du troisième degré, et même un problème d'optimisation. Cette fois, tu es seul face aux questions, sans trous. Montre que tu maîtrises la méthode de A à Z.
À toi de jouer
1. On donne $f'(x) = 4x - 12$, définie sur $\mathbb{R}$.
a) Résoudre $f'(x) = 0$.
b) Dresser le tableau de signes de $f'$.
c) En déduire les intervalles de croissance et de décroissance de $f$.
Corrigé
a) $4x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = 3$.
b) Pour $x < 3$, $4x - 12 < 0$ ; pour $x > 3$, $4x - 12 > 0$.
c) $f$ est décroissante sur $]-\infty, 3]$ et croissante sur $[3, +\infty[$.
2. Soit $f(x) = -x^2 + 10x - 16$, définie sur $\mathbb{R}$.
a) Calculer $f'(x)$.
b) Résoudre $f'(x) = 0$.
c) Dresser le tableau de variations de $f$.
d) Déterminer le maximum de $f$ et la valeur de $x$ où il est atteint.
Corrigé
a) $f'(x) = -2x + 10$.
b) $-2x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
c) Pour $x < 5$, $f'(x) > 0$ donc $f$ croissante ; pour $x > 5$, $f'(x) < 0$ donc $f$ décroissante.
d) Maximum en $x = 5$, $f(5) = -25 + 50 - 16 = 9$.
3. Soit $g(x) = x^3 - 12x + 5$, définie sur $\mathbb{R}$.
a) Calculer $g'(x)$ et factoriser l'expression obtenue.
b) Résoudre $g'(x) = 0$.
c) Dresser le tableau de variations complet de $g$.
d) Préciser la nature (maximum ou minimum local) et la valeur de chaque extremum.
Corrigé
a) $g'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$.
b) $g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2$ ou $x = 2$.
c) Signe de $g'$ : positif sur $]-\infty, -2[$, négatif sur $]-2, 2[$, positif sur $]2, +\infty[$. Donc $g$ croissante sur $]-\infty, -2]$, décroissante sur $[-2, 2]$, croissante sur $[2, +\infty[$.
d) $g(-2) = -8 + 24 + 5 = 21$ (maximum local). $g(2) = 8 - 24 + 5 = -11$ (minimum local).
4. Un artisan fabrique des boîtes sans couvercle à partir de plaques carrées de 30 cm de côté. Pour cela, il découpe un carré de côté $x$ cm à chaque coin et replie les bords. On admet que $x \in ]0 ; 15[$.
a) Exprimer en fonction de $x$ le côté du fond carré de la boîte.
b) En déduire le volume $V(x)$ de la boîte en fonction de $x$.
c) Calculer $V'(x)$ et résoudre $V'(x) = 0$.
d) Dresser le tableau de variations de $V$ sur $]0 ; 15[$.
e) Quelle valeur de $x$ donne un volume maximal ? Quel est ce volume maximal ?
Corrigé
a) Côté du fond = $30 - 2x$.
b) $V(x) = x(30 - 2x)^2 = x(900 - 120x + 4x^2) = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.
c) $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 12(x^2 - 20x + 75)$. $\Delta = 400 - 300 = 100$, racines $x_1 = 5$, $x_2 = 15$. Dans $]0 ; 15[$, $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5$.
d) $V'$ positif sur $]0, 5[$, négatif sur $]5, 15[$. $V$ croissante puis décroissante. Maximum en $x = 5$.
e) $x = 5$ cm donne un volume maximal. $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000$ cm$^3$.
5. On considère la fonction $h(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ sur $\mathbb{R}$.
a) Calculer $h'(x)$ et montrer qu'elle se factorise par $6(x - 1)(x - 2)$.
b) Étudier le signe de $h'(x)$.
c) Dresser le tableau de variations de $h$.
d) Donner les extrema locaux de $h$.
Corrigé
a) $h'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$.
b) Signe : positif sur $]-\infty, 1[$, négatif sur $]1, 2[$, positif sur $]2, +\infty[$.
c) $h$ croissante sur $]-\infty, 1]$, décroissante sur $[1, 2]$, croissante sur $[2, +\infty[$.
d) Maximum local en $x = 1$ : $h(1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1$. Minimum local en $x = 2$ : $h(2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0$.
Tu veux voir ce qui t'attend ? On pousse la dérivation un cran plus loin avec des fonctions rationnelles et un soupçon d'exponentielle, comme en terminale. Tu vas aussi réfléchir au lien entre une fonction et sa dérivée à partir d'un graphique.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ définie sur $]0 ; +\infty[$.
a) Calculer $f'(x)$ (on rappelle que la dérivée de $\frac{u}{v}$ est $\frac{u'v - uv'}{v^2}$).
b) Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$.
Corrigé
a) $u = x^2 + 1$, $u' = 2x$ ; $v = x$, $v' = 1$. $f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$.
b) Sur $]0 ; +\infty[$, $x^2 > 0$, le signe est celui de $x^2 - 1$. $f'(x) < 0$ sur $]0, 1[$, $f'(x) = 0$ en $x=1$, $f'(x) > 0$ sur $]1, +\infty[$. Donc $f$ décroissante sur $]0, 1]$ et croissante sur $[1, +\infty[$. Minimum en $x=1$, $f(1) = 2$.
2. On donne la courbe d'une fonction $f$ et la courbe de sa dérivée $f'$ (non identifiées). La courbe A a un maximum en $x=2$, la courbe B coupe l'axe des abscisses en $x=2$ en passant du positif au négatif.
a) Laquelle est $f$ et laquelle est $f'$ ? Justifier.
b) Décrire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Corrigé
a) La courbe B coupe l'axe en $x=2$ avec un changement de signe : c'est la propriété de $f'$ quand $f$ a un extremum. La courbe A a un maximum en $x=2$. Donc A est $f$, B est $f'$.
b) $f'$ (courbe B) est positive avant $x=2$, négative après. Donc $f$ est croissante sur $]-\infty, 2]$, décroissante sur $[2, +\infty[$.
3. On considère $f(x) = e^{-x^2}$ (la fonction exponentielle sera étudiée en terminale, mais on peut déjà calculer sa dérivée avec la formule $(e^u)' = u'e^u$).
a) Calculer $f'(x)$.
b) Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
c) En déduire le tableau de variations de $f$ et son maximum.
Corrigé
a) $u = -x^2$, $u' = -2x$. $f'(x) = -2x e^{-x^2}$.
b) $e^{-x^2} > 0$ pour tout $x$, donc le signe de $f'$ est celui de $-2x$. $f'(x) > 0$ pour $x < 0$, $f'(x) = 0$ pour $x = 0$, $f'(x) < 0$ pour $x > 0$.
c) $f$ croissante sur $]-\infty, 0]$, décroissante sur $[0, +\infty[$. Maximum en $x = 0$, $f(0) = e^0 = 1$.