V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reAnalyseExercices + corrigé

Variations via la dérivée — Exercices

Du signe de f' au tableau de variations, jusqu'à un problème d'optimisation.
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1Lire les variations depuis f'/ 3 pts
On donne $f'(x) = 3x - 6$, définie sur $\mathbb{R}$.
  1. Résoudre $f'(x) = 0$.
  2. Dresser le tableau de signes de $f'$.
  3. En déduire les intervalles de croissance et de décroissance de $f$.
2Étude complète — second degré/ 5 pts
Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$, définie sur $\mathbb{R}$.
  1. Calculer $f'(x)$.
  2. Résoudre $f'(x) = 0$.
  3. Dresser le tableau de variations de $f$.
  4. Déterminer le maximum de $f$ et la valeur de $x$ où il est atteint.
3Fonction du troisième degré/ 6 pts
Soit $g(x) = x^3 - 3x + 2$, définie sur $\mathbb{R}$.
  1. Calculer $g'(x)$ et factoriser l'expression obtenue.
  2. Résoudre $g'(x) = 0$.
  3. Dresser le tableau de variations complet de $g$.
  4. Préciser la nature (maximum ou minimum local) et la valeur de chaque extremum.
4Problème d'optimisation/ 6 pts

Un agriculteur dispose de 40 m de clôture pour délimiter un enclos rectangulaire adossé à un mur droit. Le mur forme l'un des côtés, donc la clôture ne borde que trois côtés. On note $x$ (en m) la longueur d'un côté perpendiculaire au mur, avec $x \in ]0\,;\,20[$.

  1. Exprimer en fonction de $x$ la longueur $l$ du côté parallèle au mur.
  2. Exprimer l'aire $A(x)$ de l'enclos en fonction de $x$.
  3. Calculer $A'(x)$ et résoudre $A'(x) = 0$.
  4. Dresser le tableau de variations de $A$ sur $]0\,;\,20[$.
  5. Conclure : quelles dimensions maximisent l'aire ? Quelle est cette aire maximale ?
Corrigé détaillé
1Lire les variations depuis f'
a) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x - 6 = 0 \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x =\) \(2\)
b) \(\text{Pour } x \lt 2 : f'(x) = 3x - 6 \lt 0. \quad \text{Pour } x \gt 2 : f'(x) = 3x - 6 \gt 0.\) \(f' \text{ est négative sur } (-\infty,\,2) \text{ et positive sur } (2,\,+\infty)\)
c) \(f' \lt 0 \Rightarrow f \searrow \text{ sur } (-\infty,\,2). \quad f' \gt 0 \Rightarrow f \nearrow \text{ sur } (2,\,+\infty).\) \(f \text{ décroissante sur } (-\infty,\,2), \text{ croissante sur } (2,\,+\infty)\)
2Étude complète — second degré
a) \(f(x) = -2x^2 + 8x - 3 \Rightarrow f'(x) =\) \(-4x + 8\)
b) \(-4x + 8 = 0 \Leftrightarrow -4x = -8 \Leftrightarrow x =\) \(2\)
c) \(\text{Pour } x \lt 2 : f'(x) = -4x+8 \gt 0 \Rightarrow f \nearrow. \quad \text{Pour } x \gt 2 : f'(x) \lt 0 \Rightarrow f \searrow.\) \(f \text{ croissante sur } (-\infty,\,2), \text{ décroissante sur } (2,\,+\infty)\)
d) \(f(2) = -2 \times 4 + 8 \times 2 - 3 = -8 + 16 - 3 =\) \(5 \quad (\text{maximum de } f, \text{ atteint en } x = 2)\)
3Fonction du troisième degré
a) \(g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) =\) \(3(x-1)(x+1)\)
b) \(3(x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \text{ ou } x + 1 = 0 \Leftrightarrow\) \(x = -1 \text{ ou } x = 1\)
c) \(\text{Sur } (-\infty,-1) : g' \gt 0 \;(\nearrow). \quad \text{Sur } (-1,\,1) : g' \lt 0 \;(\searrow). \quad \text{Sur } (1,+\infty) : g' \gt 0 \;(\nearrow).\) \(g \text{ croissante sur } (-\infty,-1), \text{ décroissante sur } (-1,1), \text{ croissante sur } (1,+\infty)\)
d) \(g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \;(\text{max. local}). \quad g(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 =\) \(g(-1) = 4 \text{ (maximum local en } x=-1\text{)}, \quad g(1) = 0 \text{ (minimum local en } x=1\text{)}\)
4Problème d'optimisation
a) \(2x + l = 40 \Rightarrow l =\) \(40 - 2x\)
b) \(A(x) = x \times (40 - 2x) =\) \(40x - 2x^2\)
c) \(A'(x) = 40 - 4x. \quad A'(x) = 0 \Leftrightarrow 40 - 4x = 0 \Leftrightarrow x =\) \(10\)
d) \(\text{Sur } (0,10) : A'(x) = 40-4x \gt 0 \;(\nearrow). \quad \text{Sur } (10,20) : A'(x) = 40-4x \lt 0 \;(\searrow).\) \(A \text{ admet un maximum en } x = 10\)
e) \(l = 40 - 2 \times 10 = 20. \quad A(10) = 40 \times 10 - 2 \times 10^2 = 400 - 200 =\) \(\text{Dimensions : } 10 \text{ m} \times 20 \text{ m} ; \text{ aire maximale } = 200 \text{ m}^2\)