Variations d'une fonction via la dérivée

Le signe de f' gouverne les variations de f — trois règles pour dresser n'importe quel tableau de variations.

1 L'idée

La dérivée $f'$ mesure le taux de variation instantané de $f$. Son signe indique si la fonction monte ou descend : quand $f'(x) \gt 0$, la courbe monte ; quand $f'(x) \lt 0$, elle descend. Les valeurs où $f'$ s'annule en changeant de signe correspondent à des extrema locaux (maximum ou minimum) de $f$.

2 Les trois règles fondamentales

Croissance

$f'(x) \gt 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ croissante sur } I$

Décroissance

$f'(x) \lt 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ décroissante sur } I$

Constante

$f'(x) = 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ constante sur } I$

Extremum local

$f'(a) = 0 \text{ et } f' \text{ change de signe en } a \Rightarrow f(a) \text{ est un extremum local}$

3 Exemple complet — f(x) = x² − 4x + 3

Étape 1 — Calcul de f'

$f(x) = x^2 - 4x + 3 \Rightarrow f'(x) = 2x - 4$

Étape 2 — Annulation de f'

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Étape 3 — Signe de f' et variations

Pour $x \lt 2$ : $f'(x) = 2x - 4 \lt 0$ — $f$ est décroissante.

Pour $x \gt 2$ : $f'(x) = 2x - 4 \gt 0$ — $f$ est croissante.

En $x = 2$ : minimum local, $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.

Méthode — Dresser un tableau de variations

Calculer $f'(x)$.
Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques $a_1, a_2, \ldots$
Établir le tableau de signes de $f'$ sur chaque intervalle.
Traduire chaque signe en variation : $f' \gt 0 \Rightarrow \nearrow$, $f' \lt 0 \Rightarrow \searrow$.
Calculer $f(a_i)$ et inscrire les valeurs d'extrema dans le tableau.

Erreurs fréquentes

$f'(a) = 0$ ne garantit pas un extremum : il faut un changement de signe de $f'$ en $a$.
Confondre les variations de $f'$ et les variations de $f$ : ce sont deux objets distincts.
Oublier de calculer $f(a)$ pour obtenir la valeur de l'extremum, pas seulement l'abscisse.
Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ : minimum si $a \gt 0$, maximum si $a \lt 0$.