Contrôle bientôt, dérivée jamais vue en vrai ? Respire. Tout ce chapitre tient dans une seule idée : le signe de la dérivée te dit si la courbe monte ou descend. Le reste, c'est de la lecture. On y va tranquillement.
Les 3 prérequis à avoir en tête
Avant de te lancer, trois réflexes suffisent.
1. Dériver un polynôme. La dérivée de $x^2$ est $2x$, celle de $ax+b$ est $a$, et la dérivée d'un nombre seul (une constante) est $0$. On dérive terme par terme.
2. Résoudre une équation $f'(x)=0$. C'est juste une équation ordinaire : tu cherches les valeurs de $x$ qui annulent la dérivée.
3. Lire le signe d'une expression affine. Par exemple $2x-4$ : ça s'annule en $x=2$, c'est négatif avant, positif après. Rien de plus.
L'essentiel + les formules clés
L'idée tient en une phrase : le signe de la dérivée $f'$ commande le sens de variation de $f$.
Quand $f'(x) > 0$ sur un intervalle, la courbe monte : $f$ est croissante. Quand $f'(x) < 0$, la courbe descend : $f$ est décroissante. Et quand $f'$ s'annule en changeant de signe, on est sur un sommet ou un creux : un extremum local (un maximum ou un minimum).
Les trois formules à retenir par cœur :
$f'(x) > 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ croissante sur } I$
$f'(x) < 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ décroissante sur } I$
$f'(x) = 0 \text{ sur } I \Rightarrow f \text{ constante sur } I$
Un exemple fait en entier
On étudie $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
Étape 1 — On dérive.
$f'(x) = 2x - 4$
Étape 2 — On résout $f'(x)=0$.
$2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Étape 3 — On regarde le signe de $f'$.
Pour $x < 2$ : $2x - 4 < 0$, donc $f$ décroît.
Pour $x > 2$ : $2x - 4 > 0$, donc $f$ croît.
Étape 4 — On conclut.
En $x = 2$, $f$ passe de décroissante à croissante : c'est un minimum. Sa valeur : $f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
Bilan : $f$ descend jusqu'à $x=2$, atteint son minimum $-1$, puis remonte. Voilà, tu sais faire l'essentiel.
Ah oui, ça revient : la dérivée, les petites flèches, le tableau de variations... On remet tout au propre, dans l'ordre et avec les vraies définitions cette fois. Tu vas voir, c'est plus carré qu'il n'y paraît.
Les définitions propres
Reprenons avec les mots exacts.
La dérivée $f'$ mesure le taux de variation instantané de $f$ : en chaque point, elle donne la pente de la tangente à la courbe. Une pente positive, ça monte ; une pente négative, ça descend. C'est toute l'intuition du chapitre.
Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ si elle conserve l'ordre : plus $x$ grandit, plus $f(x)$ grandit. Elle est décroissante si c'est l'inverse : plus $x$ grandit, plus $f(x)$ diminue.
Un extremum local est un maximum ou un minimum atteint « localement » : la fonction y change de sens. Elle arrête de monter pour redescendre (c'est un maximum), ou elle arrête de descendre pour remonter (c'est un minimum).
Le théorème : signe de f' et variations
Théorème (lien signe–variations). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
Si $f'(x) = 0$ sur tout $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
Extremum local. Si $f'(a) = 0$ et que $f'$ change de signe en $a$, alors $f(a)$ est un extremum local :
si $f'$ passe de $+$ à $-$, c'est un maximum ;
si $f'$ passe de $-$ à $+$, c'est un minimum.
La condition « change de signe » est indispensable : $f'(a)=0$ tout seul ne suffit pas. On y revient au palier « On sécurise le contrôle ».
La méthode pas à pas + le tableau de variations
Pour dresser un tableau de variations, on suit toujours les mêmes étapes :
1. Calculer $f'(x)$.
2. Résoudre $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs critiques $a_1, a_2, \ldots$
3. Étudier le signe de $f'$ sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.
4. Traduire chaque signe en flèche : $f' > 0$ donne $\nearrow$, $f' < 0$ donne $\searrow$.
5. Calculer les images $f(a_i)$ et les inscrire au niveau des extrema.
Sur notre exemple $f(x)=x^2-4x+3$, avec $f'(x)=2x-4$ qui s'annule en $x=2$ : $f'$ est négative avant $2$, positive après. La fonction descend puis monte, avec un minimum égal à $-1$ en $x=2$. Voici comment ça se range dans le tableau.
Maintenant on met les mains dedans. Je fais, tu suis, on commente chaque ligne comme si on était côte à côte. Deux fonctions, deux tableaux, et surtout aucune étape sautée en douce.
Exemple 1 — une fonction avec un maximum
On étudie $g(x) = -x^2 + 6x - 5$.
On dérive terme par terme. La dérivée de $-x^2$ est $-2x$, celle de $6x$ est $6$, celle de $-5$ est $0$ :
$g'(x) = -2x + 6$
On cherche où la dérivée s'annule :
$-2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$
On étudie maintenant le signe de $g'(x) = -2x + 6$. Petit point d'attention : le coefficient devant $x$ est négatif, donc cette expression affine décroît. Elle est donc positive avant $3$ et négative après.
Pour $x < 3$ : $g'(x) > 0$, donc $g$ croît.
Pour $x > 3$ : $g'(x) < 0$, donc $g$ décroît.
$g$ monte puis descend : en $x=3$, c'est un maximum. Sa valeur : $g(3) = -(3)^2 + 6 \times 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$.
Le petit réflexe qui rassure : pour $ax^2+bx+c$, quand $a < 0$ la parabole est « tournée vers le bas », donc on attend bien un maximum. Tout est cohérent.
Exemple 2 — deux extrema d'un coup
On étudie $h(x) = x^3 - 3x$.
On dérive : la dérivée de $x^3$ est $3x^2$, celle de $-3x$ est $-3$ :
$h'(x) = 3x^2 - 3$
On résout $h'(x)=0$. On factorise pour y voir clair :
$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$
$h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1 \text{ ou } x = 1$
Deux valeurs critiques : elles découpent la droite en trois morceaux. On teste le signe de $h'$ sur chacun, par exemple avec une valeur au hasard prise dans l'intervalle :
Sur $]-\infty \,;\, -1[$ (essaie $x=-2$) : $h'(-2) = 3 \times 4 - 3 = 9 > 0$, donc $h$ croît.
Sur $]-1 \,;\, 1[$ (essaie $x=0$) : $h'(0) = -3 < 0$, donc $h$ décroît.
Sur $]1 \,;\, +\infty[$ (essaie $x=2$) : $h'(2) = 9 > 0$, donc $h$ croît.
Le signe de $h'$ fait donc $+$, puis $-$, puis $+$. En $x=-1$, $h'$ passe de $+$ à $-$ : c'est un maximum, $h(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = 2$. En $x=1$, $h'$ passe de $-$ à $+$ : c'est un minimum, $h(1) = 1 - 3 = -2$.
Bilan : $h$ croît, atteint un maximum de $2$ en $-1$, redescend jusqu'à un minimum de $-2$ en $1$, puis repart en croissant. La courbe ci-dessous raconte exactement ça.
Là on vise les points du contrôle. Les subtilités qui font la différence, ce que le correcteur coche vraiment, et les pièges où la moitié de la classe glisse. Pas toi, cette fois.
La subtilité : dérivée nulle n'est pas toujours un extremum
Le piège numéro un du chapitre : croire que $f'(a) = 0$ garantit un extremum. Faux. Il faut en plus que $f'$ change de signe en $a$.
Le contre-exemple à connaître : $f(x) = x^3$. Sa dérivée est $f'(x) = 3x^2$.
$f'(0) = 0$ : la dérivée s'annule bien en $0$.
Mais $3x^2$ est positive des deux côtés de $0$ (un carré est toujours $\geq 0$). La dérivée ne change donc pas de signe : $f$ est croissante avant et après $0$.
Résultat : en $0$, la courbe a une tangente horizontale mais ne change pas de sens. Ce n'est pas un extremum. On appelle ça un point d'inflexion à tangente horizontale (tu verras le nom en terminale).
Moralité : on ne conclut à un extremum qu'après avoir montré le changement de signe, jamais avant.
Un problème type entièrement résolu
Énoncé. On veut clôturer un enclos rectangulaire avec $40$ m de grillage. Quelles dimensions donnent la plus grande aire possible ?
Mise en équation. Notons $x$ la largeur en mètres. Le périmètre vaut $40$, donc $2x + 2L = 40$, d'où la longueur $L = 20 - x$. L'aire s'écrit alors :
$A(x) = x \times (20 - x) = 20x - x^2$
avec $x$ compris entre $0$ et $20$ (une longueur ne peut pas être négative).
On dérive. $A'(x) = 20 - 2x$.
On annule. $20 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 10$.
Signe de $A'$. Pour $x < 10$ : $A'(x) > 0$, l'aire augmente. Pour $x > 10$ : $A'(x) < 0$, l'aire diminue.
$A'$ passe de $+$ à $-$ en $x=10$ : c'est un maximum.
Conclusion. L'aire est maximale pour $x = 10$ m, donc $L = 20 - 10 = 10$ m : l'enclos est un carré de côté $10$ m, d'aire $A(10) = 10 \times 10 = 100$ m$^2$. C'est la plus grande aire atteignable avec $40$ m de grillage.
Ce que le correcteur attend + pièges classiques
Ce que le correcteur veut voir (et coche) :
— la dérivée $f'$ correctement calculée et écrite explicitement ;
— la résolution de $f'(x)=0$ posée, pas devinée ;
— un tableau de signes ou une justification claire du signe de $f'$ sur chaque intervalle ;
— la traduction en variations avec les flèches, et surtout la valeur $f(a)$ calculée à chaque extremum, pas seulement l'abscisse ;
— une phrase de conclusion qui répond à la question posée.
Les pièges classiques à éviter :
— conclure à un extremum sans vérifier le changement de signe de $f'$ ;
— confondre les variations de $f'$ et les variations de $f$ : ce sont deux fonctions distinctes, on lit le signe de $f'$, pas ses variations à elle ;
— donner l'abscisse de l'extremum et oublier de calculer $f(a)$ ;
— pour $f(x)=ax^2+bx+c$ : se tromper de nature, alors que c'est un minimum si $a > 0$ et un maximum si $a < 0$ ;
— oublier de préciser l'intervalle d'étude quand l'énoncé en impose un (comme le $0 \leq x \leq 20$ du problème ci-dessus).
Bonus, pour les curieux et pour prendre de l'avance. Pourquoi ce théorème marche vraiment, et ce que la dérivée te réserve l'an prochain. Tu peux lire ça les mains dans les poches, rien à réviser ici.
Pourquoi le théorème est vrai (l'idée de la preuve)
D'où sort ce théorème « $f' > 0 \Rightarrow f$ croissante » ? L'intuition passe par le taux d'accroissement.
Entre deux points $a$ et $b$ (avec $a < b$), la variation moyenne de $f$ vaut $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$. La dérivée, c'est la limite de ce taux quand les deux points se rapprochent : la pente instantanée.
Si cette pente est partout positive, chaque petit pas fait monter la fonction ; en cumulant tous ces petits pas, $f(b)$ finit forcément au-dessus de $f(a)$ dès que $b > a$. Et « $f(b) > f(a)$ dès que $b > a$ », c'est exactement la définition de croissante.
La justification rigoureuse s'appuie sur un résultat appelé le théorème des accroissements finis, que tu croiseras en terminale et surtout dans le supérieur. Pour l'instant, retiens l'image : le signe de $f'$, c'est la pente ; et la pente commande la montée.
Le prolongement : dérivée seconde et convexité
La dérivée a une petite sœur : la dérivée seconde $f''$, c'est-à-dire la dérivée de $f'$. En terminale, elle sert à étudier la convexité.
De même que le signe de $f'$ dit si $f$ monte ou descend, le signe de $f''$ dit si la courbe est tournée vers le haut (convexe, en forme de vallée) ou vers le bas (concave, en forme de colline).
Un point d'inflexion est un endroit où la courbe change de courbure — exactement comme notre $x^3$ en $0$ vu au palier précédent : dérivée nulle, mais pas d'extremum, juste un changement de forme. C'est le même raisonnement « le signe change », appliqué un cran plus haut, à $f''$ au lieu de $f'$.
Les liens avec le reste du programme
Cette méthode « signe de la dérivée » va te resservir absolument partout :
— Fonctions exponentielle et logarithme : dès que tu sais dériver $\exp$ et $\ln$, tu dresses leurs variations avec exactement les mêmes trois règles.
— Tangente : $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$. Là où $f'(a)=0$, la tangente est horizontale — c'est visible sur tous nos extrema (les petits traits en pointillés des figures).
— Optimisation : maximiser une aire, un volume, ou minimiser un coût, c'est toujours le même geste (dériver, annuler, lire le signe), comme dans le problème de l'enclos.
— Étude complète de fonction : en terminale, tableau de variations, limites et convexité se combinent pour tracer une courbe entière avec confiance.
Autrement dit, le petit théorème d'aujourd'hui est l'une des briques que tu réutiliseras le plus jusqu'au bac, et même après.