Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre et le contrôle approche ? Pas de panique. On repart des prérequis indispensables : les vecteurs en coordonnées (opérations, norme), vus en seconde. Ensuite, on te présente le produit scalaire comme un simple nombre et on te montre comment le calculer vite fait. Objectif : être fonctionnel pour le contrôle, même sans avoir suivi le cours.

Rappels éclairs sur les vecteurs

Un vecteur est défini par ses coordonnées dans un repère. Si $\vec{u}(x,y)$, sa norme (longueur) est $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}$.
Opérations :

  • somme : $\vec{u}+\vec{v} = (x+x',\,y+y')$
  • différence : $\vec{u}-\vec{v} = (x-x',\,y-y')$
  • multiplication par un réel $k$ : $k\vec{u} = (kx, ky)$

Le produit scalaire, c'est quoi ?

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$. Il existe deux formules principales :

  • Avec les coordonnées (en repère orthonormé) : $\vec{u}(x,y),\;\vec{v}(x',y') \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$
  • Avec les normes et l'angle : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs.

Orthogonalité : le graal

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$.

Cela sert à démontrer des angles droits par le calcul, sans règle ni équerre.

À toi de jouer

1. Soit $\vec{u}(3, -2)$ et $\vec{v}(4, 6)$.
Complète le calcul du produit scalaire :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Les vecteurs sont-ils orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
Corrigé
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times 6 = 12 - 12 = 0$.
Les vecteurs sont orthogonaux : oui.
2. Soit $\vec{u}(-1, 5)$ et $\vec{v}(2, 3)$.
Complète : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\vec{u}\cdot\vec{v} = (-1) \times 2 + 5 \times 3 = -2 + 15 = 13$.
Non, ils ne sont pas orthogonaux.
3. Soit $\vec{u}$ de norme 3, $\vec{v}$ de norme 4, et l'angle entre eux $\theta = 60^\circ$.
Complète : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\|\vec{u}\|=3,\;\|\vec{v}\|=4,\;\cos 60^\circ = \frac12$.
$\vec{u}\cdot\vec{v}=3 \times 4 \times \frac12 = 12 \times 0.5 = 6$. (on peut aussi écrire 3×4×0.5 = 6)

Ah, ces formules te rappellent quelque chose... Reprenons tout dans l'ordre : une fiche méthode pas-à-pas et des exercices d'application directe. Tu vas bientôt retrouver tous tes réflexes.

Les trois visages du produit scalaire

Selon les données de l'énoncé, on choisit la formule adaptée :

  1. Coordonnées : $\vec{u}(x,y),\;\vec{v}(x',y')$ ⇒ $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx'+yy'$
  2. Normes + angle : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$
  3. Dans un triangle $ABC$ : $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$ (utile quand on connaît les trois longueurs)

Méthode pour montrer que deux vecteurs sont orthogonaux :
1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ avec l'une des formules.
2. Si le résultat est 0, alors $\vec{u}\perp\vec{v}$.

Méthode pour calculer un angle :
1. Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
2. Calculer les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$.
3. $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.
4. $\theta = \arccos(\ldots)$ (en degrés, utiliser la calculatrice).

À toi de jouer

1. Soit $A(0,0),\; B(3,1),\; C(2,4)$.
a) Complète les coordonnées : $\vec{AB}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$ et $\vec{AC}(\underline{\hspace{1.1em}},\underline{\hspace{1.1em}})$.
b) $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Ces vecteurs sont-ils orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) $\vec{AB}(3-0,1-0) = (3,1)\;,\; \vec{AC}(2-0,4-0) = (2,4)$.
b) $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 3\times2 + 1\times4 = 6+4 = 10$.
c) Non (10 ≠ 0).
2. Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$.
Calcule $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ en utilisant la formule des distances.
$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2 - \underline{\hspace{1.1em}}^2}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Que peux-tu dire de l'angle $\widehat{BAC}$ ?
Corrigé
$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{6^2+8^2-10^2}{2} = \dfrac{36+64-100}{2} = \dfrac{0}{2}=0$.
Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs sont orthogonaux : l'angle $\widehat{BAC}=90^\circ$ ; le triangle est rectangle en A.
3. Soit $\vec{u}$ de norme 5, $\vec{v}$ de norme 6, et l'angle $\theta=45^\circ$.
Calcule $\vec{u}\cdot\vec{v}$ (valeur exacte).
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 5 \times 6 \times \cos 45^\circ = 30 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$.

C'est parti pour du rabâchage intensif : cinq calculs quasiment identiques de produit scalaire en coordonnées. Même recette, petits nombres qui changent, zéro piège. Tu vas finir par le faire les doigts dans le nez.

À toi de jouer

1. 1) $\vec{u}(2,5)$ et $\vec{v}(3,-1)$.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$2\times3 + 5\times(-1) = 6-5 = 1$. Non.
2. 2) $\vec{u}(4,-2)$ et $\vec{v}(1,2)$.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$4\times1 + (-2)\times2 = 4-4 = 0$. Oui.
3. 3) $\vec{u}(-3,2)$ et $\vec{v}(-1,-5)$.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$-3\times(-1) + 2\times(-5) = 3-10 = -7$. Non.
4. 4) $\vec{u}(0,7)$ et $\vec{v}(-7,0)$.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$0\times(-7) + 7\times0 = 0+0 = 0$. Oui.
5. 5) $\vec{u}(\sqrt{2}, 1)$ et $\vec{v}(\sqrt{2}, -2)$.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Orthogonaux ? $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$\sqrt{2}\times\sqrt{2} + 1\times(-2) = 2-2 = 0$. Oui.

Maintenant, des problèmes de niveau contrôle. Il va falloir démontrer qu'un triangle est rectangle, calculer un angle, et même déterminer un ensemble de points avec le produit scalaire. Prends ton temps, tu as toutes les cartes en main.

À toi de jouer

1. Soit les points $A(-1,1)$, $B(3,2)$ et $C(2,6)$.
1. Calcule les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ et $\vec{AC}$.
2. Montre que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
3. Calcule l'aire du triangle.
Corrigé

1. Calcul des vecteurs :
Pour obtenir les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ et $\vec{AC}$, tu utilises la formule avec les coordonnées des points :
$\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A) = (3 - (-1), 2 - 1)$ soit $\vec{AB}(4, 1)$
$\vec{BC}(x_C - x_B, y_C - y_B) = (2 - 3, 6 - 2)$ soit $\vec{BC}(-1, 4)$
$\vec{AC}(x_C - x_A, y_C - y_A) = (2 - (-1), 6 - 1)$ soit $\vec{AC}(3, 5)$

2. Montrons si le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ :
Pour cela, tu calcules le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$ :
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = x_{\vec{AB}} \times x_{\vec{BC}} + y_{\vec{AB}} \times y_{\vec{BC}} = 4 \times (-1) + 1 \times 4 = -4 + 4 = 0$
Le produit scalaire est nul, donc $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.

3. Calcul de l'aire du triangle :
Le triangle est rectangle en $B$ : ses deux côtés de l'angle droit sont $[BA]$ et $[BC]$.
$BA = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ et $BC = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{17}$
$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times BA \times BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{17} \times \sqrt{17} = \frac{17}{2} = 8,5$
Contrôle par le déterminant : $\det(\vec{AB}, \vec{BC}) = 4 \times 4 - 1 \times (-1) = 17$, et la moitié de sa valeur absolue vaut bien $8,5$.

2. Dans le triangle $ABC$, on donne $AB=5$, $AC=6$, $BC=7$.
1. Calcule le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ à l'aide de la formule des distances.
2. Déduis-en $\cos(\widehat{BAC})$ puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ à $0,1^\circ$ près.
Corrigé
1. $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2} = \dfrac{25+36-49}{2} = \dfrac{12}{2}=6$.
2. $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{6}{5\times6} = \dfrac{1}{5}=0,2$ ; $\widehat{BAC} \approx \arccos(0,2) \approx 78,5^\circ$ (78,46°).
3. Dans un repère orthonormé, on donne $A(1,0)$ et $B(5,0)$.
1. Soit $M(x,y)$ un point quelconque. Exprime $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ en fonction de $x$ et $y$.
2. Développe et simplifie l'équation $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$.
3. Mets l'équation sous la forme $(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2$ et reconnais la nature de l'ensemble des points $M$.
4. Vérifie qu'il s'agit du cercle de diamètre $[AB]$.
Corrigé
1. $\vec{MA} = (1-x,\, -y)$, $\vec{MB} = (5-x,\, -y)$.
2. $(1-x)(5-x) + (-y)(-y) = 0 \Rightarrow (5 - x -5x + x^2) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 -6x +5 + y^2 = 0$.
3. $x^2-6x = (x-3)^2 -9$. D'où $(x-3)^2 -9 +5 + y^2 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + y^2 = 4$. C'est l'équation du cercle de centre $(3,0)$ et de rayon $2$.
4. Le milieu de [AB] est $(3,0)$ et la moitié de AB vaut $2$, donc exactement le cercle de diamètre [AB].
4. Soient $\vec{u}(2,-3)$ et $\vec{v}(4,1)$.
1. Calcule $\|\vec{u}\|^2$, $\|\vec{v}\|^2$ et $\vec{u}\cdot\vec{v}$.
2. Vérifie que $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
3. Déduis-en $\|\vec{u}+\vec{v}\|$.
Corrigé
1. $\|\vec{u}\|^2 = 2^2+(-3)^2 = 4+9=13$, $\|\vec{v}\|^2 = 16+1=17$, $\vec{u}\cdot\vec{v}=2\times4+(-3)\times1=8-3=5$.
2. $\vec{u}+\vec{v}=(6,-2)$, $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 36+4=40$. Or $13+2\times5+17 = 13+10+17 = 40$. Égalité vérifiée.
3. $\|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Tu maîtrises le socle ? Voici quelques prolongements pour briller ou préparer la terminale : l'inégalité de Cauchy-Schwarz, un lieu géométrique plus général, et une application en physique (travail d'une force).

À toi de jouer

1. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques.
On considère la fonction $f(t) = \|\vec{u} + t\vec{v}\|^2$ pour tout réel $t$.
1. Développe $f(t)$ pour obtenir un trinôme du second degré en $t$.
2. Sachant que $f(t) \ge 0$ pour tout $t$, que peux-tu dire du discriminant ?
3. Déduis-en l'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\vec{u}\cdot\vec{v}| \le \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$.
4. À quelle condition l'égalité est-elle atteinte ?
Corrigé
1. $f(t) = \|\vec{u}\|^2 + 2t(\vec{u}\cdot\vec{v}) + t^2\|\vec{v}\|^2$. Trinôme : $\|\vec{v}\|^2 t^2 + (2\vec{u}\cdot\vec{v}) t + \|\vec{u}\|^2$.
2. Le trinôme est toujours positif ou nul, donc son discriminant $\Delta$ est inférieur ou égal à zéro : $\Delta = (2\vec{u}\cdot\vec{v})^2 - 4\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 \le 0$.
3. En simplifiant : $(2\vec{u}\cdot\vec{v})^2 \le 4\|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2 \Rightarrow (\vec{u}\cdot\vec{v})^2 \le \|\vec{u}\|^2\|\vec{v}\|^2$. En prenant la racine carrée (positif), $|\vec{u}\cdot\vec{v}| \le \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$.
4. Égalité si $\Delta=0$, c'est-à-dire si le trinôme a une racine double, ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires (l'un multiple de l'autre).
2. On reprend $A(1,0)$ et $B(5,0)$.
Détermine l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 4$.
(Tu peux t'aider du développement fait au palier précédent.)
Corrigé
On avait $\vec{MA}\cdot\vec{MB} = x^2-6x+5+y^2$. L'équation devient $x^2-6x+5+y^2 = 4$ soit $x^2-6x+y^2+1=0$. Complétons le carré : $(x-3)^2-9 + y^2 +1=0$ => $(x-3)^2+y^2 = 8$. C'est le cercle de centre (3,0) et de rayon $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Ce cercle passe par les points dont la distance au diamètre vaut 2√2, etc. Ensemble : le cercle de centre (3,0) et de rayon 2√2.
3. En physique, le travail $W$ d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{d}$ est donné par le produit scalaire : $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$.
Une personne tire une luge avec une force de 150 N selon une direction faisant un angle de $25^\circ$ avec l'horizontale. La luge se déplace horizontalement de 200 m.
Calcule le travail de cette force (résultat en joules, arrondi à l'unité).
Corrigé
$\vec{F}$ d'intensité 150 N, déplacement horizontal $\vec{d}$ de longueur 200 m, angle 25°. Le travail est $W = F \times d \times \cos 25^\circ = 150 \times 200 \times \cos 25^\circ \approx 30000 \times 0,9063 = 27189$ J (environ 27 200 J).