V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reGeometrieExercices + corrigé

Produit scalaire — Exercices

Du calcul direct au lieu géométrique. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée pour arccos
1Produit scalaire et orthogonalité/ 4 pts
Calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$, puis indiquer si les vecteurs sont orthogonaux.
  1. $\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}(4,6)$
  2. $\vec{u}(-1,5)$ et $\vec{v}(2,3)$
  3. $\vec{u}(\sqrt{2},1)$ et $\vec{v}(\sqrt{2},-2)$
2Calculer un angle/ 4 pts
Soit $A(0,0)$, $B(2,2)$, $C(2,0)$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
  1. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
  2. Calculer $\|\overrightarrow{AB}\|$ et $\|\overrightarrow{AC}\|$.
  3. En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ puis la valeur exacte de $\widehat{BAC}$.
3Angle droit dans un triangle/ 4 pts
Soit le triangle $ABC$ avec $A(-1,2)$, $B(3,-1)$, $C(6,3)$. Montrer que ce triangle est rectangle et préciser en quel sommet se trouve l'angle droit.
  1. Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
  2. Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
  3. Conclure.
4Produit scalaire avec longueurs et angle/ 3 pts
Dans un triangle $ABC$, on donne $AB=5$, $BC=7$ et $\widehat{ABC}=60°$. Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.
  1. Écrire la formule du produit scalaire faisant intervenir l'angle.
  2. Substituer les valeurs numériques et conclure.
5Lieu géométrique — cercle de Thalès/ 5 pts
Dans un repère orthonormé, on pose $A(1,0)$ et $B(5,0)$. Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M(x,y)$ vérifiant $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
  1. Exprimer $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$ en fonction de $x$ et $y$.
  2. Développer et simplifier l'équation $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
  3. Mettre l'équation sous la forme $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ en complétant le carr��.
  4. Donner le centre et le rayon du cercle obtenu. Vérifier qu'il s'agit du cercle de diamètre $[AB]$.
Corrigé détaillé
1Produit scalaire et orthogonalité
a) \(3\times4+(-2)\times6 = 12-12 =\) \(0 \;\Rightarrow\; \vec{u}\perp\vec{v}\)
b) \((-1)\times2+5\times3 = -2+15 =\) \(13 \;\Rightarrow\; \text{non orthogonaux}\)
c) \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}+1\times(-2) = 2-2 =\) \(0 \;\Rightarrow\; \vec{u}\perp\vec{v}\)
2Calculer un angle
1. \(\overrightarrow{AB}(2,2),\;\overrightarrow{AC}(2,0) \;\Rightarrow\; \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2\times2+2\times0 =\) \(4\)
2. \(\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2},\quad \|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{4+0} =\) \(2\)
3. \(\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{4}{2\sqrt{2}\times2} = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\Rightarrow\; \widehat{BAC} =\) \(45°\)
3Angle droit dans un triangle
En B \(\overrightarrow{BA}=(-4,3),\;\overrightarrow{BC}=(3,4) \;\Rightarrow\; \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = (-4)\times3+3\times4 = -12+12 =\) \(0\)
En A \(\overrightarrow{AB}=(4,-3),\;\overrightarrow{AC}=(7,1) \;\Rightarrow\; \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4\times7+(-3)\times1 = 28-3 =\) \(25 \neq 0\)
Conclusion \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0 \;\Rightarrow\;\) \(\text{Le triangle est rectangle en }B.\)
4Produit scalaire avec longueurs et angle
Calcul \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = BA\cdot BC\cdot\cos(\widehat{ABC}) = 5\times7\times\cos(60°) = 35\times\dfrac{1}{2} =\) \(\dfrac{35}{2}\)
5Lieu géométrique — cercle de Thalès
Vecteurs \(\overrightarrow{MA}=(1-x,\,-y),\quad\overrightarrow{MB}=(5-x,\,-y)\) \(\text{(coordonnées exprimées)}\)
Développement \((1-x)(5-x)+(-y)(-y) = 5-x-5x+x^2+y^2 = 0 \;\Rightarrow\;\) \(x^2-6x+5+y^2=0\)
Forme canonique \((x^2-6x+9)+y^2 = 9-5 \;\Rightarrow\; (x-3)^2+y^2 =\) \(4\)
Conclusion \(\text{Centre }I(3,0),\; r=2. \quad I=\text{milieu de }[AB],\; \dfrac{AB}{2}=\dfrac{4}{2}=2 \;\Rightarrow\;\) \(\mathcal{E}\text{ est le cercle de diamètre }[AB]\text{ (théorème de Thalès).}\)